一类四元数线性正则变换的不确定性原理

Uncertainty Principle for a Kind of Quaternionic Linear Canonical Transform

摘要: 基于左边四元数线性正则变换的相关性态，本文建立左边四元数线性正则变换的不确定性原理。其表明四元数值的信号在时域和频域中方差的乘积具有下界，仅有二维的高斯信号能满足不确定性原理的等式。

Abstract: In this paper, based on the properties of the left-sided quaternionic linear canonical transform (QLCT), an uncertainty principle is established for the left-sided QLCT. It states that the product of the variances of quaternion-valued signals in the spatial and frequency domains has a lower bound and only a 2D Gaussian signal minimizes the uncertainty principle.

1. 引言

Hamilton在1843年提出四元数的概念[1] [2] ，作为最简单的超复数，人们不断地对其进行探讨，结合经典的傅立叶变换，学者们提出了四元数傅立叶变换[3] -[7] 。由于四元数乘法的不可交换性，人们可以定义三种不同类型的四元数傅立叶变换，即左边四元数傅立叶变换，右边四元数傅立叶变换和双边四元数傅立叶变换。目前，众多文献在四元数域内运用右边四元数傅立叶变换取得了大量的研究成果。基于右边四元数傅立叶变换的性质，文献[7] 解决了右边四元数傅立叶变换的不确定性原理。

经典的线性正则变换是由Moshinsky和Collins在20世纪70年代首先提出来的[8] [9] ，作为傅立叶变换，分数阶傅立叶变换和菲涅尔变换的推广，其运用更加灵活且计算的复杂性和傅立叶变换的计算量大致相当[10] 。与分数阶傅立叶变换一样，线性正则变换最早是被用于微分方程求解和光学系统分析，随着20世纪90年代分数阶傅立叶变换的发展，线性正则变换也开始逐渐在信号处理领域受到重视[11] -[18] 。最近，结合四元数和线性正则变换，文献[19] 提出了四元数线性正则变换，运用线性正则变换的相关性质推出了右边四元数线性正则变换的不确定性原理。其表明四元数值的信号在时域和频域的方差的乘积具有下界，仅有二维的高斯信号能最小化不确定性原理的不等式。

然而，右边四元数线性正则变换的不确定性原理不能直接推广到左边四元数线性正则变换和双边四元数线性正则变换。本文着重探讨左边四元数线性正则变换的不确定性原理。其主要难点在于文献[19] 中定义的内积意义下的Plancherel定理不再成立。为此，为了克服四元数乘法的不可交换性，在Plancherel定理的证明过程中，借助四元数循环相乘的对称性质，我们运用标量内积的形式来解决此问题。结合已有的右边四元数线性正则变换不确定性原理的证明[19] ，本文证明了左边四元数线性正则变换的不确定性原理。

2. 预备知识

四元数是一种将复数推广到四维空间的代数，即

其中i，j，k满足, , ,。四元数可以表示成标量和非标量 (通常也叫纯四元数)和的形式，即。通过改变纯四元数的符号我们得到的共轭，同时的模。四元数值的函数可表示为，, ,。同时，对定义在上的四元数值的函数,引入对称的标量内积如下

(1)

其中，为向量值内积，为的共轭函数。在(1)中取可得的模为，空间，对，下面的Cauchy-Schwarz不等式成立

(2)

3. 主要结论

本节中首先给出左边四元数线性正则变换的定义，然后证明Parseval等式与左边线性正则变换的偏导性质。

当时，是一个系数矩阵且满足，，则对，左边四元数线性正则变换定义为

其中，。

定理1 当时，若，则如下关系成立

特别地，当时，可以得到Parseval等式，即。

证明 运用对称的标量内积(1)，得到

其中

应用四元数循环相乘的对称性质，即

可得

其中表示的狄拉克函数。

定理1 说明四元数值函数在时域中能量和在四元数线性正则变换域中能量是守恒的。接下来，我们探讨左边线性正则变换的偏导性质。

引理2 当时，对，有如下等式成立

证明 因为

当时，

则运用应用四元数循环相乘的对称性质可得

当时，同理可得相应结论。证毕。

若当时，若，且，，那么的空间宽度定义为，其中

类似地，在四元数域定义谱宽度为，其中

定理3 当时，若，且，，则如下不确定性原理成立

进一步可得

等式成立当且仅当是二维高斯函数，即，其中，是正实数，。

证明 应用引理2和Cauchy-Schwarz不等式(2)，可得

剩下的证明同[19] 的定理5.1证明类似，略去。

NOTES

^*通讯作者。