1. 引言
设是复平面上的亚纯函数，假设读者熟知Nevanlinna值分布理论中通用的记号[1] -[3] 例如。如果，则称是的小函数。现在假设和是两个非常数亚纯函数，。如果与有相同的零点并且零点
重数也相同(不计重数)，我们称与分担CM (IM)。用表示的重数不超过的零点的计数函数(记重数)，用表示的重数不超过的零点的精简计数函数(不记重数)，并且令。
为了方便，定义
(*)
其中且。
2010年，徐俊峰等人[4] 证明了下面两个定理：
定理A：设和是两个非常数数亚纯函数，是两个正整数且。如果与分担1 CM，和分担IM，则或者，其中和是三个常数且满足，或者，其中是个常数且有。
定理B：设和是两个非常数数亚纯函数且，是两个正整数且。 如果与分担1 CM，和分担IM，则。
更多相关结果参考文献[5] -[8] ，本文中，我们推广并改进了定理A和定理B。主要结果如下：
定理1：设和是两个非常数亚纯函数，，是三个整数且，由(*)定义。如果和分担1 CM，和分担IM，则
(1) 当，；
(2) 当，下面两种情形必有一种成立：
(3)，其中是个常数且有，
(4)，其中和是三个常数且满足。
推论1：设和是两个非常数数亚纯函数，是两个正整数且。如果与分担1 CM，和分担IM，则或者，其中和是三个常数且满足，或者，其中是个常数且有。
推论2：设和是两个非常数数亚纯函数且，是两个正整数且。如果与分担1 CM，和分担IM，则。
2. 主要引理
定义：
(1)
其中是非常数亚纯函数。
(2)
(3)
引理2.1[9] ：设是非常数亚纯函数，是的小函数，那么
引理2.2[7] ：设是非常数亚纯函数，是两个正整数，则
引理2.3[3] ：设是个非常数亚纯函数，是个正整数，若，则
类似于文献[5] 中引理3的证明，我们可以得到下面的引理。
引理2.4：假设由(1)，(2)定义。如果分担1 CM以及IM，则有
对有同样的不等式成立。
引理2.5[10] ：设和由(1)中所定义，如果和分担IM，且，则。
引理2.6：假设,是两个非常数亚纯函数，假设由(1)，(3)定义。由(*)定义，，，是三个整数。如果，和分担1 CM，和分担IM，则
(4)
证明：由于，和分担IM，假设是的重极点，是的重极点，则是的重极点，从而是的重极点，同理也是的重极点，故而至少是的重零点。因此
(5)
由对数导数引理，，注意到和分担1 CM，故得到
(6)
由(5)，(6)即得(4)，这就证明了引理2.6。
引理2.7[4] ：假设,是两个非常数亚纯函数，是两个正整数。如果，则其中是个常数且有。
仿照文献[4] 中引理5的证明可得
引理2.8：假设,是两个非常数亚纯函数，由(*)定义，是三个整数且。如果，则。
引理2.9[11] ：假设,是两个非常数亚纯函数，由(*)定义，是两个正整数且，是的小函数且有有限个零点和极点，如果，和分担IM，则退化为一个单项式。
利用文献[11] 中定理3的证明可得
引理2.10：假设,是两个非常数亚纯函数，由(*)定义，是两个正整数。如果，和分担IM，则，其中和是三个常数且满足。
3. 定理1的证明
假设和由(1)~(3)定义，再设，，则和分担1 CM以及IM。
假设，则，且。
情形1：。由引理2.4得
(7)
由引理2.2，并令可得
(8)
以及
(9)
由(7)~(9)得到
由引理2.1和上面的不等式得到
(10)
类似可得
(11)
由(10)和(11)得到
(12)
注意到，我们得到(4)。利用引理2.2并令，得到
(13)
(14)
注意到,由(4)，(13)和(14)得到
(15)
由(12)~(15)得到
(16)
这与矛盾。因此。仿照文献[5] (Lemma 3)的证明，可得
(i)，或者
(ii)。
注意到为多项式，由引理2.9，情形(i)不可能发生。根据引理2.8，从(ii)即得。
情形2：。仿照情形1的证明得到，
(17)
这与矛盾。因此且有
(iii)，或者
(iv)。
对于(iii)，根据引理2.10，得到，其中和是三个常数且满足。
对于(iv)，由引理2.7得到，其中是个常数且。
这就完成了定理1的证明。
基金项目
天津市自然科学基金(13JCQNJC04400)。
参考文献