1. 引言
用数学建模的方法研究传染病的传播有助于描述传染病的发展和预测其变化趋势，为人们制定有效的预防策略提供了理论依据。现实中，很多传染病的传播效率常常受到时间上的波动，如麻疹、水痘等的疾病的感染率随着季节性的周期变化而变化[1] 。因此，传染病数学模型中引入周期因素更能精确揭示疾病传播的规律。文献[2] 研究了一类具有常数出生率的SIR传染病模型，并证明了模型周期解的存在性。文献[3] 研究了一类非自治SIR传染病模型周期解。
然而在现实情况中，生物种群的发展(疾病病菌的传播)不可避免地受到环境随机因素的干扰，并且这样的干扰在很多情况下不能被忽略，对某些实际过程的分析有必要从通常的确定性观点转到随机的观点[4] 。文献[5] 建立了一类随机SIR模型及具有分布时滞的模型，假设模型中的感染率系数受到白噪声的干扰：，表示维纳过程，得出了系统稳定的条件。文献[6] 研究了文献[5] 的模型，得出了保证平衡点稳定性更好的条件。文献[7] 建立了HIV内部病毒感染CD4受体细胞的随机动力模型，得到了易感细胞具有稳定分布和感染细胞与病毒灭绝的充分条件。文献[8] 研究了一类捕食者带有疾病的随机食饵-捕食者模型，得到了随机系统围绕确定性系统的地方病平衡点具有稳定分布的充分条件。文献[9] 提出了如下具有饱和感染率的时滞SIR模型：
(1)
其中，为易感种群数量，为已感染种群数量，表示移出类种群数量，为常数补充率或出生率，为自然死亡率，为接触系数，为因病死亡率，与表示易感种群与感染种群对传染系
数产生的抑制效应，整体项表示饱和感染率(函数)。为康复率，表示易感者染上疾
病后的潜伏期。文献[10] 提出的模型，是在模型(1)的基础上，不考虑率时滞因素，即认为；且接触系数为有正的上、下界的周期函数，即
(i.e.)研究了如下随机系统的渐近性质：
(2)
本文假设种群之间的部分作用系数受到随机因素的干扰，在模型(1)的基础上，令时滞，考虑不同于模型(2)且更全面的随机干扰因素：
, ,
, 得到如下模型：
(3)
其中，、、分别为、、的自然死亡率，，为白噪声的干扰强度，，为相互独立的标准布朗运动。其他系数与模型(1)中一致，各系数均非负。
本文中，表示具有滤子的完备概率空间，且满足通常的条件(如右连续且包含所有的零测度集)。对于维的随机微分方程[11]
.
设为定义在上的函数，对至少二阶连续可微和对至少一阶连续可微。算子定义为
(4)
将作用到函数上，则
2. 随机模型(3)的解的存在、唯一性
可以看出，模型(3)满足局部Lipschitz条件，由文献[12] 可知，对任意给定的初值，方程存在唯一的局部正解，，其中是爆炸时。事实上，可用文献[4] 的方法证明模型(3)的该局部解是全局的。
3. 随机系统(3)关于点的渐近性质
容易看出，点是确定性系统(2)无病平衡点，但不是相应随机系统(3)的无病平衡点。在传染病动力性的研究当中，无病平衡点的稳定性表明了系统中的传染病终究会灭绝，对研究系统中种群与疾病的发展规律有重要的作用。本节研究随机系统(3)关于点的渐近性质。
定理1 设是模型(3)的解，初值为。若条件：
1)，
2)，
均成立，则依指数几乎处处趋于。其中为如下负定矩阵
的最大(负)特征值。
证明 由模型(3)可知
设，则由引理有
因为
则有
上式中的可改写为
则
对于矩阵
若
成立，则矩阵为负定矩阵，即存在使得
因此有
, (5)
又，则
对上式两边积分可得
又由文献[11] 可知，
当时有
(6)
即当时，且。证毕。
4. 随机系统(3)关于点的分布稳定性
由文献[10] 可知，当时，确定性系统(1)存在地方病平衡点，其中
而该点并不是随机系统(3)的平衡点。本节研究系统(3)关于点的渐近性质。
定理2 设成立，是模型(3)的解，初值为，，，且时，随机系统(3)存在一稳定分布且该分布遍历。
其中，，。
证明 定义，其中，
, , ,.
由引理有
(7)
(8)
(9)
令，且结合基本不等式有
(10)
令，，当
且
(11)
时，可知椭球
整体在内部。
则由文献[12] 的引理4.1和定理4.1可知本定理成立。证毕。
参考文献