1. 引言
早在1957年，欧阳亮在文[1] 中利用给出了如下引理：
若：
则
利用该引理，证明了
这类二阶微分方程的解的有界性，并给出了相关的结论。在2014年，Qusuay H. Alqifiary和Soon-Mo Jung在文[2] 中利用Bellman引理证明了一类二阶微分方程的Hyers-Ulam稳定性结论。而本文则是用Bellman引理1和引理5，在欧阳亮[1] 的基础上简化其证明过程，同时也减弱了文[1] 中对二阶微分方程的系数
的要求，即只需要文[1] 中定理一中的条件(i)。除此之外，本文也与文[2] 中的定理2中对
的要求不同，即不需要当
时，
。从而对于证明微分方程的Hyers-Ulam稳定性起到了重要作用。
2. 正文
在本文中我们只讨论方程
(1)
的解的有界性。
引理1 [2] ：若
：
是可积函数，
为常量且
，如果
满足不等式
(2)
则
(3)
证明：由(2)式可得
(4)
对(4)式两边同时从0到
积分可得
(5)
整理可得
(6)
综合(2)式可得
(7)
利用引理1，我们可以证明如下定理，即
定理2：若方程(1)的系数
，
和
是可积函数，则当
时，(1)式的所有解有界。
证明：对(1)式两边同乘
，可得
(8)
对(8)式从0到
积分并且利用分部积分可得
(9)
(10)
令
可得
(11)
那么
(12)
对(12)进行变形可得
(13)
利用引理1有
(14)
即
(15)
由于
为常量，
也为一常量，故
。因而(1)式的解
是有界的。
我们来考虑方程
(16)
利用上述的(15)式我们就可以得到如下的定理，即
定理3：若(16)满足条件
，
时，则当
时，(16)的所有解有界。
证明：令
，那么由(15)式可得
(17)
这里的
。
引理4 [Biernacko]：若方程
的所有的解及其一阶微商有界，则方程
的所有的解在条件
时保持有界。
引理5 [3] ：若
，
和
是定义在
的实连续函数，
对所有的
，如果有不等式
(18)
那么就有
(19)
引理6：若
是可积函数，
为常量且
，如果
满足不等式
(20)
那么有
(21)
证明：设
，则
。将上式带入(19)可得
根据数学分析中的young不等式可得
(22)
令
，根据引理5可得
从而
(23)
定理7：若方程
(24)
满足下列条件
(i)
，
(ii) 
则当
方程(21)所有的解保持有界。
证明：显然我们只需证明(16)式的解的一阶微商在
时有界。给(16)式两边同乘
，再从0到
积分且利用分部积分可得：
(25)
因而
(26)
由定理3以及引理5可得
(27)
再根据引理4，一阶微商有界，就可以得到方程(24)是有界的。从而证得定理7成立。
定理8：若方程
(28)
满足条件
，则当
时其所有的解保持有界。
证明：给(28)两边同乘
，且从0到
积分，再利用分部积分，整理得
则
(29)
令
由引理1可得：
。从而可证得定理8。
致 谢
本文是在冯育强教授的精心指导下完成的。从本科入学以来，无论在学习上还是在生活中冯老师都给予我们大量的关心，鼓励和帮助，对本文的写作进行悉心的指导，提出了宝贵的意见。在此，我们想冯老师表示深深的敬意和感谢！
基金项目
武汉科技大学优秀科技人才培育项目(2008RC01)武汉科技大学大学生科技创新项目(13ZRA067)。
NOTES
*通讯作者。