1. 引言
本文主要考察一类带耗散项和源项的波方程初边值问题的整体的衰减稳定性：
(1.1)
(1.2)
(1.3)
其中均为实数，是中具有光滑边界的有界集，是拉普拉斯算子表示在边界外法线方向的导数。
A.Guesmia [1] 曾考虑方程
(1.4)
在(1.2)和(1.3)下的初边值问题，其中是连续增函数，，且是有界函数。在函数适当的增长性条件下，他得到了问题弱强解的衰减性结果。具体地说，在[2] 中，A.Guesmia获得了为线性函数时问题解的指数衰减性结论，但是衰减具有相同的多项式次数。另外，A.Guesmia在[3] 中对耦合半线性波动方程的研究中也得到了相关结果。将(1.4)中条件换做，M. Aassila和A. Guesmia [4] 利用V.Komornik引理获得了指数衰减定理[1] 。
针对非线性阻尼波动方程，其Cauchy问题和初边值问题解的爆破和整体解的存在性、唯一性和衰减估计，已被众多学者通过各种方法或在不同条件下进行了研究[5] -[10] 。本文运用V. Komornik引理[1] 得到了问题整体解的能量衰减估计。
我们采用通常的符号记法。设表示Sobolev空间，其中范数为，
代表中的闭包。为方便起见，今后用表示Lebesgue空间中的范数，表示中的范数，并且用范数代替中的范数。此外，表示依赖于已知常数的正数，且在不同点处的含义有所不同。
2. 预备知识
问题(1.1)~(1.3)解局部和整体解存在的重要结果([11] )。
定理2.1 假设满足
(1.5)
(1.6)
如果，则存在使得问题(1.1)~(1.3)存在唯一局部解，且
(1.7)
定理2.2 假设(1.5)和(1.6)成立，是问题(1.1)~(1.3)的局部解。如果且，则是问题(1.1)~(1.3)的整体解。
为证得主要结论，首先定义泛函：
问题(1.1)~(1.3)的能量表示为
这里，是初始总能量。
为了证明主要结果，我们需要下面的一些引理：
引理2.1 设满足或者，则存在依赖于和的常数满足
引理2.2 设是问题(1.1)~(1.3)的一个解，则是的非增函数，且
证明：用方程(1.1)乘以，并在上积分得
因此，是关于的非增函数。
引理2.3 ([1] )设是一个非增函数，并假设存在常数和满足
,
则当时有，且当时有，其中和是不依赖的正常数。
引理2.4 如果定理2.1中的假设成立，则
(2.1)
其中
且。
证明：由引理2.1得
(2.2)
设
则由(2.6)得，因此根据(2.2)，有
(2.3)
同样由(2.3)，知
所以引理2.4得证。
3. 主要结果及其证明
定理3.1 如果定理2.2中的假设成立，则有问题(1.1)~(1.3)整体解的能量衰减估计
其中是依赖初始能量的常数。
证明：设，对方程(1.1)两边同时乘以，并在上积分，得
(3.1)
其中.
因为
(3.2)
所以，将(3.2)代入(3.1)，整理得到
(3.3)
根据引理2.4，的定义和，得
(3.4)
由引理2.1知
(3.5)
同理，得
(3.6)
其中。
将估计(3.4)，(3.5)和(3.6)代入(3.3)，可得
(3.7)
利用Young不等式，
(3.8)
由Young不等式，引理2.1，
(3.9)
且
(3.10)
其中和是依赖于和的正数。
选取足够小的和，使得
将式(3.8)，(3.9)和(3.10)代入(3.7)，得
因此，由引理3.1知
其中是依赖于的常数。
基金项目
河南省教育厅自然科学基金资助项目。
参考文献