1. 引言
本文考虑下面的Kirchhoff方程
(1)
其中是具有光滑边界的有界开区域，，，是实参数，，。
在方程(1)中，当时，是通常具Dirichlet边值条件的Kirchoff型方程。
Ma et al. [1] 运用变分法得到了方程的正解。Zou [2] 使用局部极小原理和喷泉定理得到了方程非平凡解的存在性和多重性。特别地，Chen [3] 考虑下面的Kirchhoff方程
当参数充分小时，得到上面方程至少存在三个正解。而对含Hardy奇异项的Kirchhoff方程目前还没有人研究。
方程(1)对应的特征值问题
(2)
其中，第一特征值表示为
(3)
是对应于的特征函数。是Sobolev空间，它的范数是，内积为；的范数是；，；是最佳Sobolev嵌入常数，即
(4)
方程(1)的能量泛函表示为
，。
通常，对任意的，方程
成立时，则称是(1)的解。
2. 预备知识
引理2.1 如果，存在充分小，则对任意的，存在有
(5)
证明：由Hölder不等式和(4)式，有
。 (6)
由于和充分小时，有，可得
(7)
所以，由(3)，(6)和(7)，有
设，，有，。
因此，存在常数，。所以，存在常数，对任意，有。
对给定的，选择且，证明不等式
(8)
即就是对任意充分小，有。事实上，由(2)，有，也可得
(9)
另一方面，方程两边同乘,且在上两边同时积分，可得
(10)
对任意的，把(10)代入(9)，可得
这里，。对所有的充分小时，。因此，对给定的且充分小时，对所有的，有，证毕。
引理2.2 假设，存在正常数，，，泛函满足如下条件：
1)如果；
2) 存在，当时，；
证明：
1) 由引理2.1，可知引理2.2的条件(1)成立，证毕。
2) 对任意的，且，有
当。因此，存在使得时，有，证毕。
引理2.3 假设，，则对任意的，泛函满足条件。
证明：当时，使得
(11)
要证在中是有界的。假设当，有。由(11)和(3)可知
上式得出矛盾。因此在中是有界的，即存在的一个子序列，仍记为，且存在使得
在中弱收敛于，在中强收敛于， (12)
设，是一个正常数。由(11)，(12)，，可得
(13)
特别，对任意，在(13)中选，有
上式两边当取极限，可得
(14)
另一方面，当充分大时，由(11)有，
上式两边当取极限时，可得
(15)
因此，由上面不等式(14)和(15)，可知，即。则证明了当时，在中有。综上所述，可知满足条件，证毕。
3. 主要结果及其证明
定理3.1 假设，。则存在充分小，使得对任意的，方程(1)在中至少有两个不同的正解。
证明：当，则对任意的，方程(1)有一个正解满足。事实上，由于是一个闭球，这里定义
(16)
由引理2.1，有。对于给定的，由(16)，存在且使得
因此，根据Ekeland变分原理[4] ，存在且满足
和
(17)
当时，序列满足，。再由引理2.1可知在中，是泛函的一个局部极小解且。因此，由(17)，有，又因可知，当时，在中有几乎处处成立，且是方程(1)的解。由强极大值原理可知：在中，有，这里可选即可。
另一方面，当，则对，方程(1)有一个正解满足。
事实上，由于，则由引理2.2和引理2.3可知，满足山路引理[5] 的几何结构，是的一个临界值且。因此，存在一个序列，使得
(18)
其中，且
。
由引理2.2，可得
(19)
由引理2.3，可知有一个收敛的子序列，仍记为，假设当时，在中有。因此由(18)和(19)有
(20)
(20)式表明。再由的连续性，可得是(1)的一个解，即
(21)
对任意。在(21)中取测试函数，有，因此，且。
根据强极大值原理可知，是(1)的一个正解，证毕。
基金项目
贵州省科学厅自然科学基金资助项目([2013]2141号)；黔教科研发[2013]405号；2014年贵州民族大学科研校级课题。
参考文献