1. 引言
微分方程解的存在唯一性及其正则性是偏微分方程中的经典问题，其中Schauder估计和估计在正则性理论的研究中具有非常重要的作用。2003年，Wang [1] 在Caffarelli和Peral [2] 基础上利用紧方法、Vitali覆盖引理、极大函数等技巧给出了Poisson方程和热传导方程的内估计的几何化方法证明。之后，Byun和Wang利用类似的技巧在[3] -[7] 中得到了各类二阶散度型椭圆方程与抛物型方程在不同的区域(Reifenberg, Lipschitz)区域等中的全局估计。近几年，Mengesha和Phuc在[8] [9] 中应用类似的技术方法研究了散度型椭圆问题的全局加权估计。Byun，Palagachev和Ryu在文章[10] 中也讨论了散度型抛物方程在不光滑区域上的加权估计，另外，Yao在[11] 中讨论了调和椭圆方程的梯度加权估计。我们的工作主要是把相应的结论推广到双调和抛物型方程以及更高阶的多调和抛物型方程。
考虑下述四阶的双调和抛物方程S
(1.1)
这里，而，其中。另外，我们记
这里且。
本文主要目的是得到问题(1.1)解的如下估计
(1.2)
这里是不依赖于u和f的常数。事实上，如果，那么上述估计即为经典的内估计。现在我们首先介绍一下加权空间的一些概念与性质(见[8] -[13] )。
定义1.1. 假设，我们称权函数，如果，几乎处处，且存在常数使得满足下述不等式
对任意中的上成立。我们记
另外，相应的加权空间是由满足条件的全体函数h组成。
注1.2. 1) 事实上，我们可得，这里。
2) 如果，那么，
任意
3) 如果，那么，。
4) 如果，那么。
我们进一步给出重要的反Hölder不等式和权的一些其它性质。
引理1.3. 如果，那么存在常数，使得对任意有
引理1.4. 如果且，那么存在常数有
引理1.5. 如果且，那么存在常数及使得
现在我们给出本文的主要结论。
定理1.6. 假设且。如果满足双调和抛物方程且，那么我们可得加权估计(1.2)式。
注1.7. 上述定理的结论可以推广到更高阶的多调和抛物型方程，即方程
(1.3)
有类似于定理1.6的加权估计
(1.4)
2. 主要结论的证明
本节我们将完成主要结论定理1.6的证明。现在我们记
(2.1)
这里是一个充分小的待定正常数。令
(2.2)
对任意的和。另外，我们把水平集定义为
下面，我们将分解水平集并给出相应的性质。
引理2.1. 任意给定。如果，那么存在一族互不相交的，使得
(2.3)
且
(2.4)
这里且。进一步，我们可得
(2.5)
证明：1) 首先，对几乎处处的，由基本的测度理论我们可得
故存在某个满足：
(2.6)
另外，对某一固定的，且任意的由(2.1)、(2.2)和引理1.4，可得
当时，进一步可得：。
所以，我们有
。
因此，由上式和(2.6)式可知，存在使得：
， 任意的。
综上所述，可得对几乎处处的都存在满足如上条件的区域。然后，利用Vitali覆盖引理，我们找到一族互不相交的并且满足(2.3)和(2.4)。从而第一部分结论得证！
2) 由(2.2)和(2.3)，可得：
再将上式中右边的二个积分都拆为两项，可得
整理后即可得第二部分的结论!
事实上，由上面的引理可以得到如下两个不等式：
(2.7)
(2.8)
进一步，由上面的不等式我们还可以得如下引理。
引理2.2. 假设且。那么存在常数使得
证明：这里我们只证明第一式，第二式同理可证。对任意的，由Hölder不等式可得
.
由定义1.1和(2.7)式，并且，可得
最后，我们将完成主要结论：定理1.6的证明。通过基本的逼近理论(见[14] -[17] )，我们不妨假设。
证明：对于固定的，我们首先对作从到上的零延拓，并记为。则，现在我们引入下述参照方程
由估计(见[18] )，我们可得：
从而可得
由上式及引理2.2得
(2.9)
令，可知。
由引理2.2和(2.9)可得
故由基本的内部正则性理论(见[19] )，可得：，这里取。利用(2.9)和上式
我们可得
那么由引理1.4和引理1.5及上式，可得
即：
现在记，则对任意的，利用引理2.1中的(2.5)并将(2.2)式代入上式，可得
又因为的互不相交性和，
我们可得：
(2.10)
利用注1.2计算可得
的估计。事实上，首先可得下面不等式
再结合的定义，可得
这里是指仅依赖于的常数。
的估计，由于，利用(2.10)及注1.2中的(2)，可得
结合与的估计，我们可得
选取合适的满足，利用基本的迭代引理(见[19] [20] )吸收掉上式右端的第一个积分，从而可得
再由方程(1.1)即可得定理1.6的结论。
基金项目
国家自然科学基金(11471207)。
参考文献