1. 引言
令S为一半群，为S的幂等元集合.取定的一个非空子集U，称其为S的投射元集。由Lawson的文献[1] ，半群S上的关系和分别定义如下：
易知，，均为S上的等价关系。它们的交用来表示，它们的连用来表示。易证，。据文献[2] 知，当S为正则半群时，，。
若半群S的每一个类和每一个类都含有U中的元素，则称U-半群S为半富足半群。若U-半富足半群S满足同余条件，即为S上的右同余，为S上的左同余，则称S为富足半群。每一个类都含有U中的元素的U-富足半群，称其为U-超富足半群，记为。易知，完全正则半群，超富足半群都是U-超富足半群。
2. 准备知识
令为U-超富足半群，且。本文总记元素a所在的-类的U中的元素为。为由a生成的最小U允许左理想；对偶地，为由a生成的最小U允许右理想。本文将主要研究U-超富足半群上的几个偏序。我们先给出以下几个引理。
引理1 [3] 在U-超富足半群中，令，则有
(1)；
(2)。
引理2 [4] 令为U-超富足半群，且。若，则。
引理3 [4] 在U-超富足半群中，。
引理4 [4] 在U-超富足半群中，。
引理5 [4] 令S为半群，，则
(1)，当且仅当；
(2)，当且仅当。
推论6 令S为半群，对任意的，则
证明 (1) 因是包含a的S的一个左理想，而是包含a的最小左理想，故。于是，。这就证明了。
类似地，我们可以证明(2)。
引理7 [4] 在U-超富足半群中，若，，则下列两款成立：
(1)，当且仅当对于任意，。特别地，。
(2)，当且仅当对于任意，。特别地，。
引理8 [5] 令为U-超富足半群，。若，则。
3. 主要结果及证明
首先，回忆在半群S的幂等元集上的两个前序和。
令，如下定义前序与：
，当且仅当；
，当且仅当。
现在，我们给出U-超富足半群上的几个偏序的定义。
定义1 令为U-超富足半群，则关于任意，
(1)，当且仅当且；
(2)，当且仅当且；
(3)，当且仅当且。
定理2 令为U-超富足半群，则及均为上的偏序。
证明 我们只需证明定义1(1)，类似地可证明(2)，由(1)及(2)，即可得(3)。
自反性。令，因为U-超富足半群，则，由引理7，有，又由，即，故。
反对称性。令，且。则由定义1(1)得，，且，即。注意到，则。
传递性。令，且，则由定义1(1)得，，且，。则，，注意到，，，则，，因此，，注意到，故，类似可得，，故，，注意到，则，即，因此。
命题3 令为U-超富足半群，且，则。
证明 因,且，则且。由引理1可得，且，即，则。
命题4 令为U-超富足半群，且，若，则。
证明 据定义1(1)，，当且仅当且。由假设，若，注意到，由命题3，则。从而。
半群S上的关系r称为左相容的，若关于任意，蕴涵，对偶地，可有r为右相容的，半群S上的关系r称为相容的，如果r既为左相容的，又为右相容的。
定义5 完全正则半群S称为Clifford半群，若S中每个幂等元都是可交换的。
定义6 U-富足半群S称为广义Clifford半群，若S中每个投射元都在S的中心里。
定义7 半群S称为局部P半群，若关于任意，满足性质P。
定理8 若是U-超富足半群，则关于上的乘法是相容的，当且仅当为局部广义Clifford半群。
证明 必要性。首先，证明关于任意，为的一个子半群。
若，则存在，使得，由此可得，，即为的一个子半群。
其次，容易验证，若为U-超富足半群，则也为U-超富足半群。
最后，若关于S上的乘法是相容的，则关于任意，且，有及，。据命题3，可得。注意到，，又若，则。若，则。
由文献[4] 知，在U-超富足半群中，有，即。又因且，则，又据引理4得，，则据引理3，存在，使得且。注意到，故且。因在正则条件下，，则且，因此根据以上的推导，可得，
又，因此中的投射元都在中心上。至此，我们证明了是一个局部广义Clifford半群。
充分性。首先，证明关于上的乘法是左相容的。
令且，由定义1(1)知，，。则，且关于任意，有。因且，则。由此可得
从而，且，因此。注意到为局部广义Clifford半群，为一个半格，则我们可得
(a)；
(b)；
(c)；
(d)。
据引理5及推论6，可得
因，故存在，使得。因此，另外，由(a)，(d)及命题3得，，则有，
.
因此，。即关于上乘法是左相容的。
下证，关于上的乘法是右相容的。
令，且，则，从而，注意到为U-超富足半群，则有
则可得到，且注意到，则有
据引理8，可得，
从而，。
因此，可得
且。这蕴含着，由此可得
。
从而，，注意到，为局部广义Clifford半群且为一个半格，有
易知，。令，则且。因为为局部广义Clifford半群，有为广义Clifford半群，从而可得
注意到，且为上的右同余，则可得，从而可得
由左相容性的证明过程可知，，即关于上乘法是右相容的。
至此，关于上乘法是相容的得到了证明。
基金项目
国家自然科学基金项目(批准号：11471255)。
参考文献