1. 引言
本文研究如下非线性抛物方程组解的爆破性
(1.1)
(1.2)
(1.3)
(1.4)
其中
是
上的有界区域且有光滑边界
，
，
，
为以后给定的函数，
为正的初始函数。
近几十年来，非线性抛物方程解的爆破问题引起人们的极大兴趣，考虑爆破性自然要研究解是否会爆破以及解的爆破时间
，在这方面已经有大量的文献，如文献[1] -[5] 。问题(1.1)~(1.4)可以描述诸多化学反应、热传导过程和种群动力学过程(见文献 [6] - [17] 及其参考文献)，它有多个非线性项，处理难度较大。对型如(1.1)的单个多重非线性抛物方程
(1.5)
已有许多结果，如文献 [6] - [10] 给出了方程(1.5)的初边值问题和初值问题局部和整体解的存在性，文献 [11] - [14] 则研究了其整体吸引子的存在性和正则性，类似方程(1.1)，(1.2)的方程组问题的整体吸引子的存在性和正则性也有一些研究 [15] - [17] 。但关于该类问题解的爆破性研究则相对较少，Iami和Mochizuki [18] 给出了Neumann初边值条件下方程(1.5)的爆破条件，Levine [19] - [21] 则用凸性方法证明了单个方程(1.1)及其等价的如下问题解的爆破性
Korpusov和Sveshnikov [22] [23] 及Polat [24] 则对如下方程的初边值问题
在负初始能量时得到解的爆破条件。Wang和Ge [25] 及其参考文献则利用比较原理讨论了非线性边界时方程(1.1)，(1.2)中非线性项为
时解的爆破问题。
本文利用修正的Levine凸性方法讨论问题(1.1)~(1.4)解的爆破条件，推广了文献 [22] - [25] 的结果。在第二节将给出一些假设和基本引理，第三节给出主要结果和证明。
2. 假设和引理
本文所用符号均同文献 [6] ，记
和
为通常的Soblev空间，其范数分别记为
和
，特别是当
时，记
。
本文始终假设
。关于非线性项
的假设如下：
(A1)
，存在函数
使得
且存在常数
使得
,
其中，
当
时，
当
时。
注：满足条件(A1)的函数是存在的。事实上，一个典型的例子是取
且
，即
这时, 
,其中
，
。该例的详细情况可见文献 [26] 。
利用Galerkin方法，结合单调性理论和紧性方法 [2] ，类似文献 [27] 可得问题(1.1)~(1.4)解的局部存在性。
定理2.1. 假设条件(A1)成立且
，
，
，则问题(1.1)~(1.4)存在弱解
，即，存在
使得
且对任意
和任意分别的
(或
)成立：
以及
。
下面给出本文的基本引理。
引理2.2. [5] [27] 设
是R上非负二次连续可导函数且满足不等式
其中
为常数。若
，
，则必存在时刻
，使当
时有
，其中
3. 主要结果及证明
首先引入泛函
(3.1)
(3.2)
(3.3)
(3.4)
现给出主要引理。
引理3.1. 对任意
，下面不等式成立
(3.5)
证明 注意到
(3.6)
注意到由Holder不等式得下列不等式
(3.7)
(3.8)
考虑到(3.7)~(3.8)，则由(3.6)得
再利用不等式
得
于是，引理得证。
下面，给出主要定理。
定理3.2. 设定理2.1的条件成立，且
(3.9)
则问题(1.1)~(1.4)的弱解
必在某有限时刻
爆破，即
证明 注意到
由(3.1)，得
把(1.1)，(1.2)代入得
(3.10)
利用
由(3.2)及方程(1.1)，(1.2)得
即
(3.11)
(3.11)关于t积分得
(3.12)
再利用条件(A1)得
(3.13)
(3.10)结合(3.13)，并用到
得
即
， (3.14)
注意到
得
(3.15)
利用引理3.1，得
其中
。
如果
，由(3.1)，(3.6)和(3.9)知
，
，于是，由引理2.2得结论。如果
，取
，则(3.15)变为
(3.16)
于是，由(3.16)和标准的凸性引理得结论。综合两种情况即得
。