1. 引言
随机信号通过线性系统是“随机信号分析”课程教学中的重要部分[1] ，并对于工程应用中随机信号通过线性系统 [2] [3] 有着重要的指导意义。
关于随机信号通过线性系统的教学，重点在于理解线性系统的定义和随机信号通过线性系统的时频域分析、掌握信号和噪声经过线性系统或窄带系统的运用。在理论教学和实验教学中，学生普遍反映随机信号通过窄带系统是难以掌握和应用的。因此，笔者认为，在随机信号通过线性系统的内容教学中不能脱离实际的工程应用背景，并根据以往的教学和科研经验，展开对“随机信号分析”课程中随机信号以及白噪声通过线性系统进行研讨。
2. 线性系统
2.1. 线性时不变系统
我们以确定性信号为例来说明线性系统，这里输入
和输出(响应)
均是确定性信号。线性系统如图1所示，其输出
与输入
之间的关系可表示为：
(1)
式中符号
是对输入信号
进行某种运算的标志，称作算子。
若对于任意常数
和
，输入信号
和
，有
(2)
则称系统为线性系统。线性系统满足齐次性和可加性原理。若输入
时移
段时间，输出
也只引起一个相同的时移，即
(3)
则称此系统为时不变系统。满足式(2)和式(3)的系统称作线性时不变系统 [4] 。
2.2. 窄带系统
在无线通信中，基带信号需要调制到一个载频上才能发射出去，通常这种已调信号的带宽远远小于载波频率，这种信号称为窄带信号，多数无线电接收机接收并处理的信号几乎都是窄带信号。因此研究窄带信号和窄带系统 [5] 是十分有意义的。
若实平稳过程
的功率谱密度满足
(4)
且
，称
为高频窄带随机过程，简称窄带随机过程，图2为其功率谱密度。
窄带随机过程有两种表达形式，一种为实窄带随机过程的莱斯表达式，可表示为：
(5)
其中，
，
，
是
的希尔伯特变换。另外一种是窄带实随机过程的准正弦振荡表达式，表示为：
(6)
其中，
，
是窄带过程的包络，
，
是窄带过程的相位。
3. 随机信号通过线性系统
随机信号通过线性系统所采用的分析方法有两种：时域的卷积积分分析法和频域分析法 [6] 。
3.1. 时域分析法
1) 系统输出的均值
(7)
若
为平稳随机过程，则
(8)
2) 系统输入与输出之间的互相关函数
(9)
3) 系统输出的自相关函数
(10)
如果
为平稳随机过程，则
(11)
4) 系统输出的高阶距
(12)
5) 系统输出的平稳性和遍历性
若输入
是宽平稳的，则系统输出
也是宽平稳的，且输入与输出联合宽平稳；若输入
是
Figure 2. Power spectral density of narrow band random process
图2. 窄带随机过程的功率谱密度
严平稳的，则输出
也是严平稳的；若输入
是宽遍历性的，则输出
也是宽遍历性的，且联合遍历。
3.2. 频域分析法
假定系统处于稳态，输入信号
是平稳随机信号，则输出
也是宽平稳的，且
与
是联合平稳的，则有：
1) 系统输出的均值
(13)
2) 系统输出的功率谱密度
(14)
用复频率
表示，有：
(15)
3) 系统输入与输出间互谱密度
(16)
显然有：
(17)
或
(18)
3.3. 线性系统输出的概率分布
线性系统输入是一个随机信号，它的输出也是随机信号，因此具有一定的分布，通常情况，难以确定一个线性系统输出的分布。但在下述两种情况下，线性系统的输出为高斯分布：
1) 线性系统输入为高斯过程，则输出也是高斯过程；
2) 若输入为非高斯过程，其等效噪声带宽远大于系统带宽，则系统输出近似高斯过程。
4. 白噪声通过线性系统
设连续线性系统的传递函数为
或
，其输入白噪声功率谱密度为
，那么系统输出的功率谱密度为 [7] ：
(19)
或物理谱密度为：
(20)
输出自相关函数为：
(21)
输出平均功率为：
(22)
在上述的线性系统、随机信号通过线性系统以及白噪声通过线性系统之后，同学们可以综合所学的知识，思考如下的实例，以更好地理解和掌握概念及性质，从而进一步的应用。
实例：在如图3(a)所示的系统中，零均值的平稳随机信号
的功率谱密度
如图3(b)所示，
为一个均值为0，双边功率谱密度为
的高斯白噪声，其中
为常数，窄带带通滤波器的系统传递函数如图3(c)所示，其中
(rad/s)为窄带带通滤波器的带宽，并且
，
和
均为常数，
与
相互独立，则系统输出
的功率谱如何求得？
(a) 系统框图 (b)
的功率谱密度
5. 通过线性系统的设计实验
在此，给出一个通过线性系统的实验，通过该实验使学生掌握随机信号和噪声通过线性系统的特性及性质，以便于学生能够学以致用。
实验的参数设置为：输入信号为方波信号
，其方波的基频为1000 Hz，
为高斯分布的白噪声，其中输入方波信号的时频域波形图如图4所示，
的时频域图如图5所示，输入信号通过如图6所示的串并系统，其中
、
是线性系统，
是非线性系统，
系统要求设计成滤波器，输入信号经
后输出为1 Khz正弦信号；
系统要求设计成滤波器，输入信号经
后输出为3 KHz正弦信号；
系统要求设计成平方律器件，输出信号
的频率为3个频率成分的叠加，即1 KHz、2 KHz、3 KHz。自选MATLAB或C/C++仿真软件之一编程和仿真。滤波器的结构及参数和所涉及到的采样频率取值根据滤波器在这里所起的作用、输入信号本身的特点来确定，因此这里不作规定。
通过编写仿真程序并正确地运行程序，并用波形图来表示出仿真的结果，分析
的均值、均方值、方差，自相关函数、概率密度、频谱及功率谱密度；测试滤波器的频率特性并画出频率特性曲线，以验证是否符合要求，其中输出信号
的时频域波形图如图7所示。
(a) 输入信号时域波形图 (b) 输入信号频域波形图
Figure 4. Time frequency domain oscillogram of input signal
图4. 输入信号的时频域波形图
(a) 白噪声信号时域波形图 (b) 白噪声信号频域波形图
Figure 5. Time frequency domain oscillogram of Gaussian white noise
图5. 高斯白噪声的时频域波形图
Figure 6. Principle block diagram of series parallel systems
图6. 串并系统的原理框图
(a) 信号时域波形图 (b) 输出信号频域波形图
Figure 7. Time frequency domain oscillogram of output signal
图7. 输出信号的时频域波形图
基金项目
陕西省资源共享课、信息工程拔尖人才培养模式创新实验区和西安电子科技大学教学质量提升计划项目资助。