对角无穷维哈密顿算子点谱关于虚轴的对称性

Imaginary Axis Symmetry of the Point Spectrum of the Diagonal Infinite Dimensional Hamiltonian Operators

摘要: 本文将无穷维数Hamilton算子点谱划分为四个部分，得到每个部分的点谱关于虚轴对称的充要条件。运用无穷维数Hamilton算子的谱的结构特点，从而实现了运用内部元素的剩余谱来刻画整体的点谱的关于虚轴的对称性。最后证明了结论的正确性。

Abstract: In this article, the point spectrum of infinite dimension of Hamilton operators is divided into four parts, getting the sufficient and necessary condition about symmetry of each part of the point spectrum. Using structural characteristics of spectrum of infinite dimension of Hamilton operators, then the symmetry axis of the point spectrum is characterized by using the residual spectrum of internal elements. In the end, some examples are constructed to illustrate the effectiveness of criterion.

1. 引言

无穷维Hamilton算子的谱理论是解决数学及力学方程的重要方法之一，逐渐在数学，天文学，物理学以及航天科学领域受到关注。Kurina和Azizov [1] [2] 等人研究了非负无穷维Hamilton算子的可逆性和一类分块的算子函数的可约性；阿拉坦仓等人研究了无穷维Hamilton算子的谱理论，Cauchy主值意义下的完备性和可逆性等问题[3] -[5] 。[6] 研究了上三角文无穷维Hamilton算子点谱的特点，利用其结构特点，得到点谱关于虚轴对称的充要条件。 [7] 研究了无穷维Hamilton算子的点谱和剩余谱的并集关于虚轴的对称性。本文主要是将对角无穷维Hamilton算子点谱划分为四个部分，从内部元素谱的性质出发从而分别进行讨论，这将与 [4] [5] 的证明方法有本质区别。

2. 预备知识

定义2.1 设是Hilbert空间，是稠定线性算子，如果满足，，为稠定闭算子，均为自伴算子，则称为无穷维Hamilton算子。

定义2.2 [8] 若为Banach空间，为线性算子，称以下集合为T的预解集。

称为的谱集。它可分为三个互不相交的集合，

其中

;

;

;

分别称作的点谱、剩余谱和连续谱。

定义2.3 此外，对于点谱和剩余谱还可以进一步细化：

;

;

;

;

;

注 我们约定关于虚轴对称。

引理2.1 [9] [10] 设为Hilbert空间，是稠定闭线性算子，则

1) 若，则;

2) 若，则;

引理2.2 [11] 设是Hilbert空间中的线性算子，则有

1);

2);

3);

4);

3. 主要结果及证明

对于对角型的无穷维Hamilton算子

其点谱有如下的刻画

.

定理3.1 对角型的无穷维Hamilton算子有下列性质

1);

2);

证明：因为为对角型的无穷维Hamilton算子，则有

再应用引理2.2则以上结论得证。

推论3.1关于虚轴对称当且仅当，分别关于虚轴对称。

证明：容易证明，当关于虚轴对称且关于虚轴对称时，结合定理3.1知道关于虚轴对称。而关于虚轴对称时，设，当时，且有，进而，假设，则，这与矛盾。同理。则。类似可证时，。再由定理3.1则推论3.1即证。

于是关于虚轴对称的问题自然的转化为，分别关于虚轴对称的问题，下列定理刻画了，分别关于虚轴对称的充要条件。

定理3.2

1)时，关于虚轴对称当且仅当。

2)时，关于虚轴对称当且仅当。

3)时，关于虚轴对称当且仅当。

4)时，是关于虚轴对称的。

证明：对于，有如下刻画

记

.

当时，，可发现与并没有交集，进。同理证明。若关于虚轴对称则，另外，则关于虚轴对称。综上若关于虚轴对称当且仅当。

当时，，可发现与并没有交集，进。同理有。于是若关于虚轴对称，则。另一方面，当时，为空，这样关于虚轴对称当且仅当。

当时，，可发现与并没有交集，进。同理可证明。若关于虚轴对称，则。另一方面，当时，为空，这样关于虚轴对称当且仅当。综上可知

1) 当时，有，则关于虚轴对称。

2) 当时，有，则关于虚轴对称。

3) 当时，有，关于虚轴对称。

4)时，是平凡的，所以是关于虚轴对称的。

定理3.3

1)时，关于虚轴对称。

2)时，关于虚轴对称。

3)时，关于虚轴对称。

4)时，是关于虚轴对称。

证明：对于，有如下刻画

记

当时，,我们发现与并没有交集，。同理。若关于虚轴对称则，，则关于虚轴对称。综上若关于虚轴对称当且仅当。

当时，，我们发现与并没有交集，。同理。若关于虚轴对称则，时，关于虚轴对称，进而关于虚轴对称当且仅当。同理可证明关于虚轴对称当且仅当。关于虚轴对称当且仅当。关于虚轴对称当且仅当，关于虚轴对称当且仅当。关于虚轴对称当且仅当。综上可知

1)时，关于虚轴对称。

2)时，关于虚轴对称。

3)时，关于虚轴对称。

4)时，是平凡的，所以关于虚轴对称。

4. 举例与应用

例4.1 设为线性算子，对于，而

，则无穷维Hamilton算子

中，，进而关于虚轴对称。

通过计算知道，结合定理3.2，3.3，则，再由定理3.1知道是关于虚轴对称的。

例4.2设为线性算子，，则

，考虑无穷维Hamilton算子

由，，则关于虚轴对称。

通过计算有。由定理3.2可判断是关于虚轴对称的，即判断，由，则，进而，关于虚轴对称。

由定理3.2知对于关于虚轴对称性要看是否成立。是显然的，由，则成立。且也成立。综上分别关于虚轴对称成立。再由定理3.1知道关于虚轴对称。

例4.3 设为线性算子，对于，，则无穷维Hamilton算子

中，，则不关于虚轴对称。

通过计算有，由定理3.2知道关于虚轴对称即判断是否为；由于，，则，即不关于虚轴对称，进而不关于虚轴对称成立。