1. 前言
此问题虽有人研究过 [1] [2] ，但缺少详细概念论述和严格系统证明。本文根据作者早年在另一篇论文中推导出来的普遍n口网络的等效电压源定理，直接求出端口电流，再详细推导出传输功率的表示式，并用特殊方法证明传输最大功率的条件及传输最大功率时的传输效率。不仅研究结果对供电系统有理论价值，而且对非电系统的模拟研究亦有参考意义。
2. 端口电流
图1中为由线性时不变元件组成的含有正弦电源的n口连通网络，为由线性时不变元件组成的无源n口连通网络,由传输电功率给，端口的电 及端口电压的参考方向如图1所示。由作者推导出的普遍n口网络的等效电压源定理 [3] ，得出端口电流
(1)
式中及分别表示无源网络及的端口开路阻抗矩阵，而为网络内的电源不作用时的无源网络。为的端口开路电圧(见图2)，为端口电流。
关于，及的求得，在作者的普遍n口含源网络的等效电压源定理 [3] ，此次投稿的另一篇论文)中已有详细的介绍，故不再赘述，计算如图3所示。
3. 传输功率的表示式
设1个端口电压为，端口电流为，则，，角符号“”意为共轭(conjugate)。
两式左右两边相加，除以2，得一个端口传输的功率为
, (2)
因n口的传输功率等于各口的传输功率之和，得
(3)
式中,，
, ,
矩阵右上角的符号“+”表示该矩阵的共轭转置矩阵(conjugate transpose)，设网络的端口开路阻抗矩阵
Figure 1. NS connects NL
图1. NS连NL
Figure 2. NS disconnects NL
图2. NS不连NL
Figure 3. Equivalent voltage sources act on N0, NL
图3. 等效电压源作用于N0及NL
则它的共轭端口开路阻抗矩阵
，
得网络的端口的开路电阻矩阵为
因功率只消耗在电阻上，对一个电阻R而言，其值为，对矩阵而言，其值为，式中。由此得
(4)
把(1)式代入(4)式，得传输给网络的功率
(5)
4. 传输最大功率的条件
因(5)式中，及是不随而变的常量，故功率P只是的函数，那么，在什么条件下，功率P最大呢？
今由(3)式用特殊方法求证。
因
利用，，及均为常量，，，代入，得
因最大时，，，，代入上式,得
,
即
与(4)式比较，
得 (6)
这就是说当负载阻抗等于电源网络的内阻抗的共轭转置阻抗时，传输给负载网络的功率最大. 这就是最大传输功率定理。
Figure 4. One port network
图4. 单口网络
5. 传输的最大功率及其传输效率
由(3)式，
因功率P最大时，，即，故得最大实功率
(7)
网络的电源发出的总功率为
(8)
由(7)式及(8)，可知功率最大时输电效率为50%，另一半的功率消耗在电源网络的电阻上。
注意：在上面的证明中，由，，为什么？因网络及纯由电阻(R)，电感(L及M)及电容(C)组成，它们的阻抗矩阵及都是对称的。最大传输功率时，因，故为纯电阻的对称矩阵，逆矩阵亦是，而纯电阻对称矩阵的共轭转置矩阵等于原来的矩阵，故
6. 单口网络特例
如图4，这时的及各为一个复数，可看成为1 × 1阶的矩阵，转置就是它本身，所以在单口网络情况下，当时，即负载阻抗与电源的内阻抗成共轭复数时，输出的功率最大。
设，，电源的有效值为，则电流有效值的大小为，传输的最大功率为，而电源产生的功率。
参考文献