1. 引言和主要结果
整函数是在整个复平面上全纯的函数。众所周知，整函数的皮卡定理是全纯函数的一个重要性质，它告诉我们：整函数在中取到每个有穷复值，最多只有一个例外 [1] 。全纯函数的例外值、临界值、完全歧义值、渐近值等的性态一直是复变函数领域中引起人们兴趣的研究内容，在这些方面也有许多丰富的结果 [2] - [4] 。对高维的全纯函数考虑类似的问题是很有意义的，也是很复杂的 [5] [6] 。
本文中我们将整函数的Picard定理推广到一类全纯矩阵函数上，并考虑其例外值的相关性质。为后面叙述方便，下面先介绍一些所需的概念和符号 [2] - [7] ：
表示所有的3阶复矩阵构成的集合；
设，若在中矩阵与一个对角矩阵相似，则称是可对角化矩阵，否则称为不可对角化矩阵，矩阵的相似类指的是所有与相似的矩阵构成的集合；
为的子集，表示的9维复勒贝格测度；
设为整函数，表示在上的自由延拓；
若，则称为的例外值，记为，且记；
若存在，使得并且，则称点为在上的临界值；
若的每一个原像至少是2重的，则称为在上的完全歧义值；
若存在一条趋于无穷的曲线，使得成立，则称是的渐近值；
运用复分析的知识和矩阵分析的技巧，我们研究了上全纯矩阵函数的解析性质，得到下面的结果。
定理1：设是上的非线性整函数，且是在上的自由延拓，则。
定理2：设是上的非线性整函数，且是在上的自由延拓，如果并且
，则。
定理3：设是上的非线性整函数，且是在上的自由延拓，如果并且
不存在完全歧义值，则。
更进一步，我们发现上述定理中的条件亦是成立的必要条件。
定理4：设是上的非线性整函数，且是在上的自由延拓，如果，则，或不存在完全歧义值。
渐近值理论是复分析中重要的理论，我们知道整函数的Picard例外值是渐近值。考虑自由延拓的渐近性，我们有类似的结论。
定理5：设是上的非线性整函数，且是在上的自由延拓，如果，则在中的每一个例外值都是一个渐近值。
另一方面，我们进一步讨论了上自由延拓的整函数$F$的动力学性质。令
，
及，，称为Fatou集，称为Julia集。
Misiurewicz [8] 证明了的Julia集为复平面。我们受Misiurewicz的启发得到了下面两个结论。
定理6：设是上的非线性整函数，且是在上的自由延拓，如果，则
。
定理7：设是上的非线性整函数，且是在上的自由延拓，如果，则。
2. 引理
为了证明定理，我们需要下面的引理。
引理1：如果，则。
证明：因为集合在中是有限个低维复子流形的并集，并且每一个复子流形最多是在8维的复空间中，所以我们可以得到。
引理2：如果是中所有可对角化矩阵构成的集合，则，其中是所有3阶非奇异复矩阵构成的集合。
证明：设是中所有不可对角化矩阵构成的集合，表示集合中的每一个矩阵至少有两个相同的特征值，我们可以得到。因为在中是有限个低维复子流形的并集，并且每一个复子流形最多是在8维的复空间中。从而可以得到，故。
下面引理3是关于矩阵谱的连续性结果。
引理3： [9] :设，为的谱集，为的谱集，两个谱集之间的距离定义为，其中是3元置换群，则上的距离函数是连续的。
除此之外，我们还需要复动力系统中的几个重要结论。
引理4： [10] [11] : 设为整函数，则为斥性周期点的闭包。
引理5： [10] [11] : 设为整函数，则的任一连通分支为以下类型之一：吸引周期分支、超吸引周期分支、抛物周期分支、Siegel盘、Baker分支、预周期分支、游荡分支。
3. 定理1的证明
证明：设，且可以对角化，则存在非奇异矩阵及，其中，使得
如果的每一个像都有原像，则对于中的，我们有，其中。从而对于中的所有可对角化矩阵，存在矩阵
使得成立。
如果中有一个像没有原像，不妨设，，则对于中的一类可对角化矩阵
不存在使得。
因为在所有可对角化矩阵构成的集合中是零测的，所以在所有可对角化矩阵构成的集合中稠密。由引理1和引理2可得所有可对角化矩阵构成的集合在稠密，则在中稠密，所以。
4. 定理2和定理3的证明
定理2的证明 (1) 如果是可以对角化的矩阵, 则存在非奇异矩阵及，其中，使得
由于，所以存在，，使得。令
把代入中可得
(2) 否则，与一个Jordan标准型相似, 即存在非奇异矩阵及，使得
(1)
或
(2)
对于(1)式，因为，所以存在使得。由，可得。现在考虑矩阵
它的线性无关的特征向量只有一个即，所以上述矩阵不可对角化，从而存在非奇异矩阵使得
令
可得。
对于(2)式，因为，所以存在使得，又由可知。由于矩阵
它的线性无关的特征向量只有两个即，，所以上述矩阵不可对角化。从而存在非奇异矩阵使得
定理3的证明 (1) 对于中可对角化矩阵的证明与定理2的证明相同。
(2) 否则，与一个Jordan标准型相似，即存在非奇异矩阵及，使得(1)或(2)成立。对于(1)式，因为，所以的原像为，，又因为不存在完全歧义值，所以存在使得。令
对于(2)式，因为，所以的原像为，，的原像为又因为不存在完全歧义值，所以存在使得。令
5. 定理4的证明
证明：(1) 首先，假设，则存在，使得。等式在中没有解，与相矛盾，故。
(2) 其次，假设且存在，使得是的一个完全歧义值。如果可以对角化，因为，则存在矩阵使得。否则，与一个Jordan标准型相似，即存在非奇异矩阵及，使得(1)或(2)成立。
对于(1)式，如果存在非奇异矩阵及，使得，则
因为是的一个完全歧义值, 则。把代入到中得
整理得
从而
可知上述等式矛盾。
对于(2)式，如果存在非奇异矩阵及，使得，则
因为是的一个完全歧义值，则。进一步得
可知上述等式也是矛盾的。
当不可对角化时，，所以假设不成立，故或不存在完全歧义值。
6. 定理5的证明
证明：(1) 假定，设，由定理4的证明可知中的矩阵都不可对角化，所以不可对角化。则存在非奇异矩阵及使得(1)或(2)成立。
因为，则存在使得，又因为，则。
对于(1)式，我们考虑充分大的，并且定义曲线即
把代入到中可得
进一步取极限得
利用上述的证明方法，类似地可以证明(2)式也是满足的。
(2) 假定，其中。设，根据一维单复变函数中的渐近值
理论可知对于充分大的存在曲线使得。下面分4种情形讨论。
情形1：如果是可对角化矩阵且不是矩阵的谱，则。
情形2：如果是可对角化矩阵且是矩阵的谱，则存在非奇异矩阵及，使得
且，。因为，则存在使得，。我们考虑充分大的，并且定义曲线即
对于其它类型的
和
证明与上述证明类似。
情形3：如果不可对角化且不是矩阵的谱，则此情形的证明与(1)相同。
情形4：如果不可对角化且是矩阵的谱，则存在非奇异矩阵使得
通过对渐近曲线做细微的改变使得上没有临界点。我们考虑充分大的，并且定义曲线即
对于另一种类型的
证明是类似的。
7. 定理6和定理7的证明
定理6的证明 设。由引理1和引理2，我们只需要证明在中稠密即可。设，则存在非奇异矩阵使得
由引理4可知是的所有斥性周期点的闭包, 则对任意的，存在周期为的周期点，其中，使得。进行迭代得
则
定理7的证明 假设，则。如果是周期Fatou分支里的吸性域，由引理1和引理2我们只考虑可对角化情形。令
其中，，，。由可知，在的邻域内存在周期为的周期矩阵。由的矩阵结构可得的谱是互不相同的且是可对角化矩阵，则存在非奇异矩阵使得
根据引理3矩阵谱的连续性结果可得。又由吸性域的性质可知不是周期矩阵，矛盾。对于其它类型的Fatou周期分支和游荡分支的证明类似。
基金项目
国家自然科学基金资助项目(11571049)。
参考文献