1. 引言
众所周知，积分不等式在研究常微分方程和积分方程的解的性质中起着十分重要的作用 [1] - [4] 。1919年，Gronwall在研究微分方程关于参数依赖性时建立了一类基本的积分不等式，被称为Gronwall不等式，Bellman于1943年 [5] 、Bihari于1956年 [6] 得到类似的一系列不等式。目前众所周知的Gronwall-Bellman不等式结果叙述如下：
引理1.1 [2] (Gronwall-Bellman不等式) 设为非负常数，和为在区间上的非负连续函数，且满足不等式，，则有
，
上世纪五、六十年代以后, Gronwall-Bellman不等式被广泛用于研究常微分方程、差分方程、测度微分方程、泛函微分方程及偏微分方程的解的存在性、唯一性、有界性、稳定性等,从而引起数学家们的广泛注意,已发表的大量研究工作对不等式作了各式各样的推广。
近些年来，国内有学者通过变动上、下积分限对Gronwall-Bellman不等式结果进行一系列推广 [7] 。特别地，一些学者对Gronwall-Bellman不等式的高维情况进行了大量深入的研究 [8] [9] 。
本文的主要目的是运用Cauchy矩阵级数作为工具对Gronwall-Bellman不等式进行研究，将一维的Gronwall-Bellman不等式结果 [2] 推广到高维形式，将与线性齐次方程组有关联的Gronwall-Bellman不等式结果 [8] 推广到与线性非齐次方程组相关联的Gronwall-Bellman不等式，并给出本文所得结果在微分不等式组方面的一个应用。
首先，给出一个定理证明中用到的一个已知结果。
引理1.2 [3] 设为矩阵，它的元素是个函数，设，，
则，若为的基解矩阵，则线性方程组满足的解由给出。
其次，为了能清晰方便地表述我们的结果，给出以下定义：
定义1 设，是二个矩阵，时，与是二个维列向量。若，则称不超过，记为。当且仅当。
2. 主要结果及其证明
定理2.1若阶方阵，并且的每个分量函数都连续，而且当(为一实常数)时，有
(i);
(ii);
(iii)。
其中，，是维列向量，，，，，则当时，有
证明：令
则。将之写成,。
设为的一个标准基解矩阵，则由引理1.2知
其中，
特别时，有
由(ii)有
将换成，对在区间上积分上述不等式得：
由(i)和(ii)，有
将换成，对在区间上积分上述不等式得
。
同理可得
由(3),得
由，可知,即
此时
这样就得到了：
至此运用引理1.2，定理2.1得证。
注记1 若则条件(ii)成立，结论正是原始的Gronwall-Bellman引理(即本文中的引理1.1)。故本定理是此不等式的推广。
3. 应用
在本节，我们利用已得定理研究微分不等式组的解的性质。
定理3.1： 若为维列向量，为实数，满足，，，，则。
证明：由条件知，，于是满足定理条件(i)。又因为为实数，且，于是满足条件(ii)。因为，两边在区间上积分得于是满足条件(iii)。所以
，其中，，所以。又因为，所以。
致谢
本文得到了曲阜师范大学“国家级大学生创新创业训练计划项目”(编号：201410446007)的资助，在此作者表示感谢。
参考文献