1. 引言
2013年12月14日，嫦娥三号(CE-3)在月球表面实现软着陆，这是1976年后人类探测器首次落月探测，对人类科学考察月球资源、环境具有重大意义 [1] - [3] 。
CE-3的软着陆过程是指CE-3从近月点降落到月面的过程，共分为6个阶段(图1)：
1) 主减速段：从距离月面15 km减少到3 km，实现CE-3减速；
2) 快速调整段：距月面3 km到2.4 km，在2.4 km处将水平速度减为0 m/s，期间调整姿态，使发动机推力竖直向下；
3) 粗避障段：距月面2.4 km到100 m，主要避开大的陨石坑，拍照获得数字高程图，并初步确定落月地点；
4) 精避障段：距月面100 m到30 m，CE-3拍照获得数字高程图，确定最佳着陆地点；
5) 缓速下降段：距月面30 m到4 m，实现在距月面4 m处速度降为0 m/s；
6) 自由落体段：距月面4 m到月面，此阶段CE-3关闭发动机，自由落体到精确的落月点。
以上6个阶段的研究方法都不尽相同，其中主减速段和快速调整段主要实现了CE-3减速和姿态调整，使CE-3基本调整到预定着陆点上方，因此对这两个阶段的研究是对整个软着陆过程研究的关键内容。目前对软着陆过程的研究中，和兴锁等 [4] 给出最优推力控制方向的计算公式，周净扬等 [5] 将问题转化为两点边值问题，利用Pontryagin极大值原理，得到发动机推力的最优控制律。还有多名学者 [6] 利用Simulink
Figure 1. Chang’e-3 soft landing process
图1. 嫦娥三号月球软着陆过程示意图
软件进行轨迹仿真，等等。这些方法都是针对软着陆整体过程进行研究的，忽略了软着陆不同阶段研究方法不尽相同的事实，没有对主减速段和快速调整段的进行专门研究。
本文针对CE-3软着陆的主减速段和快速调整段，基于牛顿第二定律，燃耗最优原则，建立起这两个阶段CE-3的数学模型，给出针对两个阶段的最优控制策略。
2. 最优控制策略研究
最优控制策略是指达到燃耗最少、轨道与实际最相符这两个目标的控制策略。文献 [7] 指出主减速段和快速调整段CE-3不仅受月球引力，而且也受自身多台发动机的推力。推力方向和大小会随实际需要做微小调整，引力方向和大小也会随着CE-3轨迹的变化有微小变动。为了简化问题，在实际情况允许的范围内，本文做出如下假设：
(A1) 嫦娥三号在软着陆的主减速段和快速调整阶段的受力状态相同；
(A2) 在主减速和快速调整阶段发动机推力f方向恒定，大小可变；
(A3) 月球对CE-3的引力恒定(即：CE-3所受重力恒定)；
(A4) 不考虑月球自转对轨迹的影响。
文献 [7] 指出CE-3在主减速阶段的开始点速度方向水平，大小为近月速度。故这两个阶段CE-3做初速度水平，受恒力的类平抛运动，且水平方向CE-3所受合力方向与初速度方向相反，竖直方向CE-3所受合力指向月球。
由假设(A1)~(A4)和以上的分析，主减速段和快速调整段CE-3的受力分析见图2。
图中发动机推力大小为
，该力与水平方向夹角为
，
是比冲(单位米/秒)，
是单位时间燃料消耗(单位：公斤)。
由牛顿第二定律，对CE-3的受力沿水平x方向和竖直y方向分解，分别取水平向右和竖直向下为水平、竖直方向的正方向，有如下结果：
式中
是CE-3的质量，随时间间
的增大而减少。
整理得：
根据假设(A2)，
方向不变。取
为经历这两个阶段共需要的时间，在区间
上，沿x方向两次对
积分，有
式中，
为水平末速度0，
为水平初速度
(
方向与正方向相反，故符号取负)，由此得
(1)
式中
表示这两个阶段结束后CE-3的质量，即：CE-3的剩余质量。
在区间
上，沿y方向两次对
积分，并用
表示这两个阶段的高度差，即
从0时刻的高度到
Figure 2. Force analysis of Chang’e-3 in the main reduction phase and quick adjustment phase
图2. 嫦娥三号在主减速阶段和快速调整阶段受力分析
时刻的高度变化(高度由高降到低的变化)，有
即：
(2)
将式(1)平方后与式(2)平方后相加，得：
(3)
由于
，所以使等式右端取值最大的
值为
，此时嫦娥三号剩余质量
最大，为
(4)
式(4)就是针对主减速段和快速下降段所建立的燃耗最优模型。
3. 相关数据和参数的选取和计算
根据文献 [7] ，相关参数取值为：初始速度
，初始质量
，发动机比冲
，主减速和快速下降段的高度差
，月球表面重力加速度
。
代入参数值到模型(4)中，求出最大剩余质量
。
此时，嫦娥三号的推力为
。根据假设(A2)，该力为恒力，水平分力为
亦为恒定值，所以水平方向可以看做速度由
减为0的匀减速运动，加速度
，由
，得
。
故主减速和快速调整段的最优控制策略是发动机推力大小恒为24989.95 N，方向与轨迹方向相反且与水平方向夹角为
。
4. 敏感性分析和误差检验
根据上述研究结果，主减速阶段和快速调整阶段建立的数学模型是式(4)。在该模型中，取月球表面重力加速度
，比冲
，主要讨论燃料初始质量
、主减速段初至快速调段末的高度差
、近月点的速度
三者在它们的估计值附近存在微小变化时对问题结论的影响 [8] 。
① 初始速度
固定
，
，分析
的变化对最终剩余质量的影响，这时模型1变为
。
令参数
在估计值1962上下各改变1%和5%，计算剩余燃料质量，数值结果见表1。
随参数
变化的敏感度，记为
。代入相关参数值，模型(4)为：
在
时，
关于
的敏感度为：
它表明初始速度每降低1%将导致剩余燃料质量增加0.571%，表明剩余燃料质量对初始速度的敏感性很低。
② 垂直高度
固定
，
，分析
的变化对
的影响。令参数
在估计值
上下各改变1%和5%，分别估计剩余燃料质量，数值结果见表2。
此时高度差与剩余燃料质量的关系为
，所以在
附近，H关于
的灵敏度为：
结果表明，高度差每增加1%，剩余燃料的质量减少0.0048%，表明剩余燃料质量对高度差的敏感性非常低。
③ 初始质量
固定主减速阶段
、
，分析
的变化对
的影响。此时，模型为
，令参数
在估计值 2400 上下各改变1%和5%，分别估计剩余燃料质量，得到数值如表3。
此时CE-3初始质量与剩余质量的关系为
，所以在
附近，
。
关于
的灵敏度为：
结果表明，飞船初始质量每增加1%，剩余燃料的质量增加0.999%，说明剩余燃料质量对初始质量
Table 1. Sensitivity analysis of initial velocity v0
表1. 初始速度v0敏感性分析
Table 2. Sensitivity analysis of vertical height H
表2. 垂直高度H敏感性分析
Table 3. Sensitivity analysis of initial mass m0
表3. 初始质量m0敏感性分析
的敏感性非常低。
另外，模型1所得结论合理，和文献 [7] 相关结论吻合，可认为误差比较小，相关结论是可靠的。
本文误差主要产生在假设部分，假设(A2)认为发动机推力f方向恒定，实际操作中f方向是有微小变化的，故产生误差。具体误差大小还要在以后继续进行研究。
5. 结论
本文针对嫦娥三号主减速和快速下降这两个飞行阶段，忽略了非重点因素的影响，提出适当合理的假设，构建了理论模型来解决燃耗最优问题。模型得出的最终结果与实际资料相吻合，误差及敏感性分析的结果表明计算结果是可以接受的。但是，本文在忽略了其它阶段的研究，其进一步的工作还需要在将来的研究中继续进行。
基金项目
本文受到西北农林科技大学基本科研业务专项资金资助(No. 2014YB023)，西北农林科技大学博士科研启动项目资助(No.Z109021414)，西北农林科技大学本科优质课程建设项目资助(数学模型)及西北农林科技大学教改项目资助(No.JY1504078)。