涉及fⁿf^(k)+H(f)-b 的零点重级的正规定则

A Normality Criterion Concerning the Zeros’ Multiplicity of fⁿf^(k)+H(f)-b

摘要: 本文研究全纯函数族的正规性,证明了如下结论：设M，n，k为三个正整数，其中当n=k=1 时，M≥9 ；当nk>1 时， ，b 为一个非零有穷复数，设F 为区域D 内的一族全纯函数，H(f) 为f 的微分多项式且满足 ，若对于F 中的每一个函数f(z) 均有(1)f(z) 的零点重级≥k ；(2)f⁽ⁿ⁾f^(k)+H(f)-b 的零点重级≥M ，则F 在D 内正规。

Abstract: In this paper, we study the normality of holomorphic functions and prove the following results: Let M, n, k be three positive integers satisfying M≥9 when n=k=1 and when nk>1, b(≠0) , is a finite complex number; let F be a family of holomorphic functions in a domain D and H(f) be a differential polynomial of f and satisfy , if for each f∈ F  , satisfies (1) all zeros of f have multiplicity at least k; (2) all zeros of f⁽ⁿ⁾f^(k)+H(f)-b have multiplicity ≥M ,  then F  is normal in D  .

1. 引言及主要结果

本文采用Nevanlinna理论中的记号 [1] [2] ，如，，，，，，等，其中 (除去一个有穷测度集)，表示的极点重数的密指量，表示的极点重数的不计重数的密指量。

设为区域内的亚纯函数，均在内全纯，是非负整数，则称为的微分单项式，和分别称为的次数和权。设均为的微分单项式，则称为的微分多项式，与分别称为的次数和权，称为的权与次数的比。

设是复平面上的一个区域，是内的一族亚纯函数。在内正规是指从中任取一个函数序列，必存在一个子序列在内按球面距离内闭一致收敛到一个亚纯函数或。另外，设是内的一点，如果存在的一个邻域使得在内正规，则称在处正规。在内正规当且仅当在内的每一点都正规。

在亚纯函数正规族理论中，寻找新的正规定则是一个重要问题。

1965年，杨乐和张广厚 [3] 证明了

定理A [3] ：设为区域内的一族全纯函数，为一个正整数，为一个非零有穷复数。如果对于中的每一个函数均有，则在内正规。

1982年，Oshkin [4] 进一步证明了

定理B [4] ：设为区域内的一族全纯函数，为一个非零有穷复数。如果对于中的每一个函数均有，则在内正规。

1993年，方明亮和徐万松 [5] 推广了上述定理，把换成了的线性微分多项式，证明了

定理C [5] ：设为区域内的一族全纯函数，为两个正整数，为一个非零有穷复数，均在内全纯，若对于中的每一个函数均有：(1)的零点重级；(2)，则在内正规。

定理D [5] ：设为区域内的一族全纯函数，为两个正整数，为一个非零有穷复数，若对于中的每一个函数均有：(1)的零点重级；(2)，则在内正规。

本文进一步证明了

定理1：设为三个正整数，其中当时，；当时，，为一个非零有穷复数，设为区域内的一族全纯函数，为微分多项式且满足，若对于中的每一个函数均有：(1)的零点重级；(2)的零点重级，则在内正规。

推论2：设为三个正整数，其中当时，；当时，，为一个非零有穷复数，设为区域内的一族全纯函数，若对于中的每一个函数均有：(1)的零点重级；(2)的零点重级，则在内正规。

2. 几个引理

引理1 [6] ：设为一个正整数，为单位圆内的一族亚纯函数，且中的每个函数的零点的重级至少是，则对于任意实数，在处不正规的充要条件是，存在

a) 实数，；

b) 点列，；

c) 正数列；

d) 函数列，

使得函数列在内按球面距离内闭一致收敛于一个非常数亚纯函数，且的零点重级至少是。

引理2：设为一个非常数整函数，为一个非零有穷复数，则有

(1)

证明：不妨设不是一个线性多项式。令

(2)

则

(3)

(4)

由(2) (3)得，。于是有，

(5)

令，则有

(6)

根据Nevanlinna第一基本定理得

(7)

设是的一个重零点，那么是的重零点，则，于是由(6),(7)得

(8)

由(2) (3)可得

(9)

其中

(10)

(11)

显然，且

由Nevanlinna第一基本定理以及(9) (10)和(11)得

(12)

令

(13)

由于不是一个线性多项式，故。由(13)得

(14)

令

(15)

由(13) (15)得，的极点来自的零点，则有

(16)

令，且

(17)

我们断言。

事实上，假设。由(13)得

(18)

由(15) (18)得。于是有

(19)

(20)

对(20)式求导得

(21)

结合(19) (21)得

(22)

进一步结合(20) (22)得到，即

(23)

因为，由(23)得，。即

(24)

(25)

对(24)式求导得

(26)

结合(25) (26)得

(27)

进一步结合(24) (27)得

(28)

由于没有极点，故也没有极点。由(13)式知，要么是整函数，要么是只含简单极点且在极点处的留数为正整数的亚纯函数。以下分两种情形讨论。

情形1：是整函数。

由(28)得，不可能是多项式，则只能是超越整函数。于是有

故，这与是超越整函数矛盾。

情形2：是只含简单极点且在极点处的留数为正整数的亚纯函数。

设是的简单极点，且在处的留数是，则有

故(28)式左边可写成

显然，故(28)式不可能成立，矛盾。因此。

由(17)得，的单零点必为的零点，又因为，结合(14) (16)，则有

(29)

由于

(30)

综合(5) (8) (12) (29)和(30)得

于是引理2得证。

注：引理2的证明方法参考了文献 [7] [8] 。

引理3：设为三个正整数，其中当时，；当时，，为一个非零有穷复数，设是一个整函数，若满足：(1)的零点重级均；(2)的零点重级均，则恒为常数。

证明：假设不恒为常数. 以下分两种情况讨论。

情形1：。

根据引理2及Nevanlinna第一基本定理得

即，即。矛盾。

情形2：。

若，则(为一个常数)。如果，则为次数的多项式，又因为的零点重级，则恒为常数，矛盾；如果，显然没有零点也没有极点，且，由Nevanlinna第一基本定理得

进而即，则恒为常数，矛盾。因此。

根据Nevanlinna第一基本定理得

上式两边同时加上，得

于是有

由得，，故，矛盾。

于是引理3得证。

3. 定理1的证明

不妨设区域为单位圆。假设定理1不真，则必存在内一点，使得在处不正规。因而由引理1知，存在

a) 实数,；

b) 点列,；

c) 正数列；

d) 函数列，

使得函数列在复平面上的任意紧子集上一致收敛到一个非常数整函数，且的零点重级均。因为

所以

由于在内全纯，，，故在内任意紧子集上当充分大时一致有

又因为，所以。故函数

在内任意紧子集上一致收敛于零。故

在内任意紧子集上一致趋于

于是有，在内任意紧子集上一致收敛到。由Hurwitz定理知，的零点重级均，则根据引理3得恒为常数，矛盾。于是在内正规。定理1证毕。

4. 推论2的证明

推论2的证明方法与定理1的证明方法完全一样，故在此省略。

致谢

作者由衷地感谢方明亮教授的悉心指导！

基金项目

国家自然科学基金(No.11371149)资助。