一种用于Poisson方程的四阶差分型格子Boltzmann模型
A Four-Order Difference Type Lattice Boltzmann Model for the Poisson Equation
DOI: 10.12677/IJFD.2017.51003, PDF, HTML, XML, 下载: 1,594  浏览: 3,322  国家自然科学基金支持
作者: 闫铂, 王建朝:吉林建筑大学土木工程学院,吉林 长春;闫广武:吉林大学数学学院,吉林 长春
关键词: 有限差分法格子Boltzmann模型Poisson方程Finite Difference Method Lattice Boltzmann Model Poisson Equation
摘要: 本文给出了用于求解Poisson方程的四阶差分型格子Boltzmann模型,应用定常的格子Boltzmann方程和空间多尺度展开,得到了截断误差是四阶精度的Poisson方程。数值例子表明,该模型在精度上较相应的二阶模型有所提高。
Abstract: A four-order difference type lattice Boltzmann model is employed to investigate the Poisson equation in this paper. By using the steady lattice Boltzmann equation and the multi-spatial scale expansion, the Poisson equation with four-order accuracy is obtained. Examples show that the numerical results agree well with exact solutions.
文章引用:闫铂, 王建朝, 闫广武. 一种用于Poisson方程的四阶差分型格子Boltzmann模型[J]. 流体动力学, 2017, 5(1): 22-28. https://doi.org/10.12677/IJFD.2017.51003

1. 引言

Poisson方程在流体力学中有着广泛的应用。例如,在具势流动的势函数求解和涡流系统的流函数求解等问题中,Poisson方程的求解直接影响流体力学量的精度。最近研究表明,格子Boltzmann方法(LBM)可成功应用于求解反应扩散方程 [1] 、交叉扩散方程 [2] 、Ginzburg-Landau方程 [3] 、波动方程 [4] 、Poisson方程 [5] [6] 等。本文提出了一种用于Poisson方程的有限差分格子Boltzmann模型(FDLBM)。与以前的LBM模型不同 [7] [8] [9] [10] ,本文所构造的模型没有粒子速度,在迭代中只有粒子从一个位置到相邻位置的位移。与其它调用矩阵公式和带有预处理的LBM不同,我们将有限差分格式引入到标准LBM方程中。数值结果表明,该模型与解析解吻合的很好。

2. 格子Boltzmann模型

2.1. 迭代方程

考虑一维空间,将其离散成网格,网格中心与相邻的个格点通过格线相连。每个格点的粒子可以分为个部分,每一部分的状态只与本身和相邻粒子有关。定义从位置到同一位置的位移为,从位置到其他相邻格点的位移为

. (1)

其中分别为x,y方向的单位矢量。

由于二维Poisson方程独立于时间,所以把LBM方程改写为

, (2)

其中位置粒子的分布函数,为同一位置的平衡态分布函数,为松弛因子,为空间步长的量级,方向的单位矢量。

定义宏观量

(3)

此外,局部平衡态分布函数满足守恒条件

(4)

认为模型中为迭代后的最终状态,而不是过渡状态。迭代过程从宏观量的任意分布开始到最终平衡状态结束,即Poisson方程的解。所以方程(2)写为

(5)

在方程(5)中,由于不含时间,所以迭代的表述与标准LBM方程不同。宏观量只用,即位置及其相邻位置的分布值计算。因为方程中没有项用来迭代,所以不需要流动过程。

将方程(5)中的写成五点差分格式,其精度为二阶精度。令结点坐标为,四个相邻结点坐标依次为。带入五结点差分公式,得到二阶精度Poisson方程的FDLBM模型

(6)

其中定义为

特别地,二阶精度Laplace方程的FDLBM模型表示为

(7)

四阶精度的差分格式与九个结点有关,带入方程(5),得出四阶精度Poisson方程的FDLBM模型

(8)

相应地,对于Laplace方程,(8)式可表示为

(9)

2.2. 精度分析

将(6)式两端对求和,得出关于的方程

, (10)

其中,表示的结果,为迭代步数。在点附近进行Taylor展开,有

. (11)

时,等价于。那么,

. (12)

同样地,(8)式两端对求和,得出关于的方程

(13)

点附近进行Taylor展开,得

(14)

因为,所以

. (15)

. (16)

方程(12)和(16)分别为二阶和四阶精度的修正Poisson方程。

3. 数值算例

下面应用本文所提出的FDLBM模型求解Laplace方程和Poisson方程。

例1:考虑一个二维Laplace方程

. (17)

其Dirichlet边界条件为。方程的解析解为

(18)

本文使用了二阶和四阶模型计算例1。其模拟结果与解析解的比较如图1所示。其它参数为:格子数。计算域内宏观量的初值为0,边界条件为上述的Dirichlet边界条件。在模拟过程中,边界上函数的分布等于平衡态分布,由宏观量给出。把的新旧值之差设置为结束迭代的条件,当最大差值小于时,迭代结束。然后,的值即为Laplace方程的数值模拟结果。图1(a)和图1(b)分别给出了时的模拟结果,其中分别为五结点和九结点FDLBM模型的迭代步数;图1(c)为解析解。从图中可以看出数值模拟结果与解析解有很好的一致性。

为了进一步比较,图2给出了处的解析解和数值解曲线以及两个FDLBM模型的绝对误差曲

(a) (b) (c)

Figure 1. Comparison between the numerical results and the exact solution of Laplace equation: (a) 5-bit FDLBM model; (b) 9-bit FDLBM model; (c) Exact solution

图1. Laplace方程的数值解与解析解的比较:(a) 五结点FDLBM模型;(b) 九结点FDLBM模型;(c) 解析解

(a) (b)

Figure 2. (a) Comparison between numerical results and analytical solution at x = 0.3; (b) The absolute errors of the two FDLBM models for Laplace equation at x = 0.3

图2. (a) Laplace方程数值解和解析解在x = 0.3处的比较;(b) Laplace方程两个FDLBM模型数值解在x = 0.3的绝对误差曲线

线。绝对误差,其中为数值解,为解析解。从图2(a)中可以看出,FDLBM模型与解析解吻合的很好;图2(b)表明,九结点模型比五结点模型误差小,两个模型的误差都是可接受的。此外,表1给出了不同位置的解析解和数值解以及绝对误差。从表中可以看出,FDLBM模型的误差是令人满意的。

例2:考虑下列齐次Helmholtz方程 [5] [11]

(19)

计算域为。边界条件与解析解相同,即

在本文中,。该方程的解析解为

(20)

图3(a)、图3(b)和图3(c)分别给出了五结点模型、九结点模型和解析解的计算结果,其中五结点模型和九结点模型的迭代步数分别为。除边界外,迭代的初值条件为。程序终止的条件与例1相同。从图中可以发现,FDLBM模型的模拟结果与解析解吻合的很好。

此外,图4表2给出了FDLBM模型的计算结果与解析解的比较。格子数为,松弛因子。可以看出,两个模型的绝对误差都小于,FDLBM模拟结果与解析解有较好的一致性。图4表2表明,我们的模型可以用来模拟Poisson方程。

在两个数值例子中,松弛因子都等于0.99。在模拟过程中,我们发现;并且随着的增大,数值结果更精确。

Table 1. The comparison between exact solution and LBM results and the absolute errors of the two models at x = 0.3 for Laplace equation

表1. Laplace方程x = 0.3处的解析解和LBM结果的比较以及两个模型的绝对误差

(a) (b) (c)

Figure 3. Comparison between the numerical results and the exact solution of Poisson equation: (a) 5-bit FDLBM model; (b) 9-bit FDLBM model; (c) Exact solution

图3. Poisson方程的数值解与解析解的比较:(a) 五结点FDLBM模型;(b) 九结点FDLBM模型;(c) 解析解

(a) (b)

Figure 4. (a) Comparison between numerical results and analytical solution at x = 0.3; (b) The absolute errors of the two FDLBM models for Laplace equation at x = 0.3

图4. (a) Laplace方程数值解和解析解在x = 0.3处的比较;(b) Laplace方程两个FDLBM模型数值解在x = 0.3的绝对误差曲线

Table 2. The comparison between exact solution and LBM results and the absolute errors of the two models at x = 0.3 for Poisson equation

表2. Poisson方程x = 0.3处的解析解和LBM结果的比较以及两个模型的绝对误差

4. 结论

与以前的格子Boltzmann模型相比,本文提出的模型优势是可以直接模拟定常问题,不需要采用时间相关法。由于采用不含时间的格子Boltzmann方程,使得算法清晰,程序代码简单。

我们发现,松弛因子被限定在区间内,这是由于迭代过程是松弛迭代,而不是超松弛迭代。与经典格子Boltzmann模型不同,本算法松弛因子在区间是稳定的,而在区间不稳定。随着的增大,收敛被加速,数值结果变得精确。

从计算结果中发现,九结点模型比五结点模型误差小,这是因为九结点模型包含了更多相邻结点的信息,使得九结点模型是四阶精度而五结点模型是二阶精度。

基金项目

国家自然科学基金No. 51406067, No. 11272133;吉林省教育厅科研项目(吉教科合字[2016]第141号)。

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