1. 引言
在我国的教育体系中，老师主要通过考试来了解学生对所学知识的掌握程度，所选用的测验是否能正确反映出学生的真实能力对于提高教学质量非常关键，因此对测验进行质量分析是非常重要的步骤。
我国目前有关测验质量分析的研究主要是基于经典测量理论(CTT)展开的，传统的做法是用测验的总分来反映学生的能力水平(知识掌握水平)，用正确率(或通过率)来定义题目的难度。如果测验的题目很简单，那么学生得分高，意味着能力水平高，相反，如果题目很难，学生得分就低，意味着学生能力低。因此，所反映的学生能力水平的高低是取决于测验的难度，这是测验依赖(test dependent)。同样的道理，在判断题目难度时，如果将题目给能力水平高的学生作答，正确率就高，意味着题目很简单，相反，将同样的题目给能力水平低的学生作答，正确率就低，意味着题目很难，那题目的难易程度，则取决于参加考试的学生能力水平，这是样本依赖(sample-dependent)。在经典测量理论(CTT)中，学生的能力估计和题目的难度估计彼此干扰，并不是客观测量，因此运用经典测量理论进行测验质量分析的结果存在差异。于是研究者们开始关注其他的心理测量理论，薛荣(2007)的研究表明使用项目反应理论(IRT)的概率模型比经典测量理论(CTT)的确定性模型有更多的优势 [1] 。黄晓婷(2012)、王蕾(2010)和雷新勇(2007)多位学者的研究显示：在项目反应理论中，学生能力水平的估计和题目的估计是独立的，而在大规模考试质量分析中，项目反应理论对题目的分析结果明确，可以使研究者有针对性地采取措施，提高题目的质量 [2] [3] [4] 。
Rasch模型是项目反应理论中的单参数模型，由丹麦数学家和统计学家Georg Rasch提出的一个潜在特质模型，在Rasch模型中，只有一个位置参数来表示题目的难度。根据Rasch模型原理，特定的个体对特定的题目做出特定反应的概率可以用个体能力与该题目难度的一个简单函数来表示，个体回答某一题目正确与否完全取决于个体能力和题目难度之间的比较(晏子，2010) [5] 。Rasch模型能克服经典测量理论(CTT)对于测验依赖和样本依赖的问题，所计算出来的难度值与考试的考生平均水平差异在统计学上并没有显著差异，因此运用Rasch模型获得题目的难度参数更精确稳定。Rasch 模型所具有的客观性测量，为分析测验的质量提供了一种更为精确的评估方法。
本研究拟运用Rasch模型分析软件WINSTEPS对九年级数学能力测验进行质量分析，通过怀特图(Wright Map)了解该测验的整体情况，包括题目难度，学生能力水平；通过单维性检验、项目拟合度、气泡图等反映题目质量的高低，为老师以及出题者提高考试命题质量提供测量学参考依据。
2. 研究方法
2.1. 研究资料
本研究所采用九年级数学能力测验题目包含40道客观题，在广州市随机选取1000名九年级学生完成试卷，取样时尽量涵盖成绩高、中、低学生，对学生的作答情况进行分析。
2.2. 研究工具与统计方法
本研究先使用SPSS17.0对测验的数据进行预处理(即进行单维性检验)，随后使用WINSTEPS3.72对测验的数据进行Rasch分析。
3. Rasch模型的参数估计结果
3.1. 测验的单维性检验
Rasch模型是一个理想化的数学模型，它要求所收集的实证数据必须满足事先规定的标准和结构, 才能实现客观测量(晏子，2010) [5] 。Rasch模型要求所测量的潜在特质是单维的，也就是说，在本研究中，学生的作答表现只受其所掌握的数学知识影响，没有受阅读理解能力等其他额外变量的影响。因此在利用WINSTEPS进行参数估计之前，使用SPSS对本研究中的数学能力测验进行探索性因素分析，结果分析如下：
表1为KMO和Bartlett的球形检验，当KMO值大于0.7及Bartlett检验显著性P < 0.01时，说明该数据可以进行探索性因素分析。由表可知：KMO值为0.97，Bartlett检验显著性为P = 0，因此可以进行下一步检验。
表2是采用主成份分析法提取出来特征根大于1的因子，图1为因子分析的碎石图。当进行因素分析发现存在多个成分时，若成分1与成分2的特征根比值超过5时，可以说明该数据具有单维性。由表2可知，该测验存在多个因子的特征根大于1(即不只存在一个成分)，成分1的特征根为11.281，成份2的特征根为1.451，成分1与成分2的特征根比值超过5，可以说明该测验只受一个因子的影响。
图1碎石图中曲线在X轴1处出现明显的弯折，也可以说明测验只受一个因子的影响。因此可以认为在测验中，学生的作答表现只受其所掌握的数学知识影响，符合Rasch模型单维性的要求，可以进行Rasch模型分析。
3.2. 题目难度与学生能力变量关系图
图2显示了题目难度与学生能力水平间的关系，图中左边代表题目学生能力水平的分布情况，右边
Table 1. The spherical test of KMO and Bartlett
表1. KMO和Bartlett的球形检验
Table 2. Explain the total variance
表2. 解释的总方差
提取方法：主成份分析。
为题目难度的分布。从上往下，学生能力水平逐渐减低，题目难度也逐渐减小。学生之间的距离代表学生能力水平之间的差异，距离靠得越近，差异越小；题目间的距离也如此。处在同一位置的学生能力水平相等，处在同一位置的题目难度相等。当学生能力水平与题目难度越接近时，测验所获得的学生信息量越大，越能精确低估计出学生能力水平。
从图2可知，学生能力水平范围宽度约为5.8个logits，分布形式为负偏态；题目难度分布范围约为4个logits，分布形式为正偏态分布。学生能力水平范围大于题目难度分布，题目没有覆盖到2到4 logit的高能力水平学生。图2也清楚地呈现了题目难度的顺序，题目难度基本都在±2 logit左右，难度分布均匀，其中第1题是最简单题目，第21题为最难题目。
3.3. 项目拟合和误差统计
表3显示的是运用WINSTEPS进行参数估计所得到的拟合指标、标准误和相关系数。数据从上到下按照题目的难度进行排序。
Figure 1. Problem difficulty and student ability diagram (each # mean 10 candidates)
图1. 题目难度与学生能力关系图(每个#表示10名考生)
Rasch模型分析程序通常报告两个拟合指标：Outfit MNSQ和Infit MNSQ，这两个指标都是通过计算残差得到的，Outfit MNSQ是标准残差的均方，Infit MNSQ是加权后的残差均方。Outfit MNSQ和Infit MNSQ值为1表示数据与模型完全拟合。本研究采用研究者经常使用的0.7到1.3取值标准来进行拟合度检验。从表3可知Infit MNSQ的取值范围在0.80~1.39之间，题目与模型拟合的很好；Outfit MNSQ的取值范围在0.61~1.62之间，除了第21、40题稍微超过了正常的取值范围(0.5~1.5)外，其余38题都与模型拟合的很好。
Table 3. Project Fitting and Error Statistics
表3. 项目拟合和误差统计表
标准误是进行数据与Rasch模型拟合时的稳定程度，标准误越小说明所得到的结果越稳定。从表3中可知，除了第12、5、4、1题，其余36题的标准误都在0.10以下，标准误较小，但12、5、4、1题的标准误都在0.10以上。
相关系数表示的是题目与题目测量目标的接近程度，相关系数越高，则题目越接近题目的测量目标。除了第一题为0.27，略低于可接受的最低值为0.30，其他题目的相关系数都比较高。
3.4. 气泡图
图3为气泡图，一个气泡代表一个题目，气泡大小表示Rasch标准误，气泡越小说明误差越小，测量的结果就越精确；气泡位置表示题目Outfit MNSQ 参数大小，气泡越靠近气泡图的中轴线则说明题目与模型拟合得越好。气泡图能形象反映出题目的情况，帮助研究者快速查找出不符合Rasch模型的题目。
从图3中可以看出，除了题目21、40题外，其余题目的Outfit MNSQ参数值都在0.5~1.5范围内，图中有少部分题目重合在一起，说明题目之间难度水平相近。从图3中可以看出，第21题难度最大，第1题难度最小，且第1、4题的气泡大于其他气泡，说明第1、4题标准误大，所测量的精确性小，没有准确估计出学生的能力水平。
4. 讨论
4.1. 题目难度与学生能力水平
Rasch模型通过对数转换，将学生能力和题目难度标定在同一个logit量尺上，直接反映题目与题目之间的难度以及学生能力水平和题目难度之间的关系。从题目难度与学生能力变量关系图可知，在九年级数学能力测验中，第21题是最难题目，第1题为最简单题目。参与测验的学生能力水平远大于题目难度，说明该测验相对于样本学生来讲偏向简单，高能力水平的学生没有相对应难度的题目，应该在测验中增加部分高难度题目，使测验能够对高能力水平的学生进行更精确的估计。
4.2. 测验质量情况
Rasch模型分析程序WINSTEPS所报告的拟合指标Outfit MNSQ和Infit MNSQ，可以反映实证数据与Rasch模型的拟合程度，从而可以判断该测验是否测出所要测的潜在特质。当拟合指标的值不好时，可能存在其他影响的无关变量。对九年级数学能力测验进行项目拟合分析发现，Infit MNSQ的值均处于正常范围，说明学生的能力水平与题目难度比较吻合，两者都能得到比较精确的估计；Outfit MNSQ的取值，除了第21、40题稍微超过了正常的取值范围(0.5~1.5)外，其余38题都与模型拟合的很好。这意味着学生在回答该题目时，部分高能力水平的学生选择错误，而低能力水平学生可能由于猜测选择了正确的答案。
除了个别题目，绝多数题目的Rasch标准误较小，说明该测验信度比较高，能比较稳定地估计学生的能力水平，题目能较为准确的反映出学生能力。而Rasch标准误在0.10以上的12、5、4、1，在结合题目难度与学生能力变量关系图后发现，几题的难度水平较低，其中第4、1题都没有相对应的学生能力水平，说明估计学生能力水平时误差较大，需进一步分析其内容与答题状况，确定是否对其进行修改或删除。总体题目的相关系数较高，在可接受的范围水平，表明每道题目与整套样本题目测量的目标一致。
总的来说，该测验大部分题目的拟合度和标准误都处于正常范围内，表明九年级能力测验题目难度有一定的区分度，能较好地反映出学生的能力水平，能较为客观、公平地考查学生的数学知识掌握情况。
4.3. 与模型预期的结果不一致题目的处理
对于那些与模型预期的结果不一致的题目，如第4、1题都没有相对应的学生能力水平，且第1、4题标准误比较大，说明估计学生能力水平时误差较大，所测量的精确性小，没有准确估计出学生的能力水平，结合所分析的数据可知，这两道题目都比较简单。又如第21、40题的Outfit MNSQ参数值稍微超过了正常的取值范围(0.5~1.5)，结合所分析的数据可知，这两道题目的难度水平都比较高。
题目与模型预期的结果不一致可能存在很多原因，如题意不清，导致高能力水平的学生钻牛角尖反而答错简单的题目，低能力水平的学生也可能因为使用了某些特殊的解题技巧，因此通过猜测幸运地答对了高难度的题目。而这些题目是否真的需要修正或者删除？不同的研究者有不同的看法。
王文中(2004)认为当发现某个题目不吻合模式预期，这个题目所测量到的特质跟其他题目所测量到的潜在特质并不相同，应该将此一题目排除，但这并不表示该题目不重要 [6] 。而Bond和Fox(2007)认为拟合度指标可以用来查找表现异常的题目和个体,但它们并不是作为决定是否删除某个题目的简单标准，简单的删除拟合度不好的题目并不是值得提倡的方法 [7] 。罗德红和龚婧(2015)认为若项目本身符合测量目标的要求，并在学生的最近发展区之间，不存在独立于背景材料的经验性项目等，可以将题目暂时保留下来 [8] 。因此本研究对于拟合度不好的题目先予以保留，进一步分析其内容与答题状况，看是否在下一次测试中出现同样的情况，若题目本身不符合测量目标要求，则需要对其修改或删除。
5. 结论
本研究使用Rasch模型分析软件WINSTEPS对九年级数学能力测验进行质量分析。研究结果显示，本研究所分析的九年级数学能力测验总体上能够准确地进行参数估计，大部分题目的拟合程度与标准误差都在接受范围之内，个别题目不符合模型要求。该九年级数学能力测验总体来说是一套质量较高的测验，该测验基本符合其测量目标，测验题目难度有一定的区分度，能较好地反映出学生的能力水平，能较为客观、公平地考查学生的数学知识掌握情况。但是测验的高难度题目较少，略微偏简单，有一部分高能力水平的学生没有被相对应难度的题目所覆盖。应该在测验中增加部分高难度题目，使测验能够对高能力水平的学生进行更精确的估计。而对于那些拟合度不好的题目需进一步分析其内容与答题状况，根据Rasch模型的分析结果可以对题目进行修改，使其能够符合测量的目标。