不确定分数阶Bagley-Torvik方程的解

Solving the Fractional Bagley-Torvik Equations with Uncertainty

摘要: 本文研究分数阶Bagley-Torvik方程不确定边值条件下的解。基于Caputo分数阶导数定义和广义的Hukuhara可微性，引进模糊Laplace变换，不确定边界条件为模糊数，给出了问题的级数解。数值结果分析了解的性态。

Abstract: This paper investigates the problem of the fractional Bagley-Torvik equation with uncertainty boundary-value conditions. Under the Caputo’s H-differentiability, the fuzzy Laplace transform is introduced. The uncertainty boundary-value conditions are assumed to be fuzzy numbers. The se-ries solution of fractional Bagley-Torvik equation is given. Numerical results are shown to illustrate the obtained solution.

1. 引言

模糊微分方程的理论近年来引起了人们广泛的关注，这一理论为模拟实际物理、力学、工程中的不确定性问题提供了新的方法，吸引了众多学者研究和探索 [1] [2] [3] [4] 。如模糊Laplace变换 [5] [6] ，改进Euler方法 [7] ，模糊Fourier变换 [8] [9] 。此外，许多学者也给了丰富的理论基础，如文献 [10] 中给出了模糊数和三角模糊数下的方程的基本定理，文献 [11] 中介绍了模糊情形下的Laplace变换，为解决模糊分数阶微分方程奠定了坚实的基础。文献 [8] 中介绍了一些关于某些类型微分之间关系的新结果，文献 [12] 中给出了在模糊的Laplace变换下方程解的存在性定理。

其次，分数阶微积分是整数阶微积分理论的一般化，其理论与应用研究也吸引了众多学者的兴趣，比如著名的分数阶Bagley-Torvik方程 [13] 。近年来，分数阶微分方程的不确定性边值问题成为了新的研究热点 [4] [5] [7] [9] 。在本文中，我们考虑Caputo分数阶定义下Bagley-Torvik方程的模糊边值问题：

$A{\phi }^{″}\left(x\right)+B{D}^{\beta }\phi \left(x\right)+C\phi \left(x\right)=f\left(x\right),0<\beta <1,x\in \left[0,b\right]$ (1)

$\phi \left(0\right)={\alpha }_0,\phi \left(b\right)={\gamma }_0$

这里 $A,B,C$ 是常数， $\phi \left(x\right)$ 是未知的， ${\alpha }_0$ ， ${\gamma }_0$ 是模糊数，分数阶导数定义如下：

${}_{C}D{{}_x}^{\beta }\phi \left(x\right)=\frac{1}{\Gamma \left(n-\beta \right)}{\displaystyle {\int }_a^x\frac{{\phi }^n\left(s\right)}{{\left(x-s\right)}^{\beta -n+1}}\text{d}s},n-1<\beta <n$

$\Gamma \left(v\right)={\displaystyle {\int }_0^{\infty }{\text{e}}^{-x}{x}^{v-1}\text{d}x},v>0$

其中 $\Gamma \left(v\right)$ 是 $\Gamma$ 函数。将采用模糊Laplace变换方法给出问题的级数解，并通过数值实例分析解的性态。

2. 预备知识

下面介绍一些模糊数学和分数阶模糊微积分的一些概念。

定义1： [14] [15] 记 $E^n=\left\{u|u:R^n\to \left[0,1\right]\right\}$ 满足以下性质：

1) $u$ 是正规的模糊集，既存在 $x_0\in R^n$ 使得 $u\left(x_0\right)=1$ ；

2) $u$ 是凸函数集，即

$u\left(\lambda x_1+\left(1-\lambda \right)x_2\right)>\min \left\{u\left(x_1\right),u\left(x_2\right)\right\},\forall x_1,x_2\in R,\forall \lambda \in \left[0,1\right]$ ;

3) $u$ 是上半连续函数；

4) ${\left[u\right]}^0=cl\left\{x\in R^n|u\left(x\right)>0\right\}$ 是紧集；

此外，如果 $u\in E$ 且 $0\le \alpha \le 1$ ，则 $u$ 的 $\alpha$ 阶截集被定义为：

${\left[u\right]}^{\alpha }=\{\begin{array}{l}r\in R|u\left(r\right)\ge \alpha ,0<\alpha \le 1\\ cl\left(suppu\right),\alpha =0\end{array}$

很容易发现 $u$ 的 $\alpha$ 截集是闭集和有界的，为此我们用区间 $\left[\underset{\_}{u}\left(\alpha \right),\bar{u}\left(\alpha \right)\right]$ 来表示， $\underset{\_}{u}\left(\alpha \right)$ 即 ${\left[u\right]}^{\alpha }$ 的左端点， $\bar{u}\left(\alpha \right)$ 是 ${\left[\alpha \right]}^{\alpha }$ 右端点。

定义2： [15] [16] [17] 对 $u\in E^1,u=\left(\underset{\_}{u}\left(\alpha \right),\bar{u}\left(\alpha \right)\right)$ ，则 $\underset{\_}{u}\left(\alpha \right),\bar{u}\left(\alpha \right)$ 均为 $\left[0,1\right]$ 上的函数且满足：

$\underset{\_}{u}\left(\alpha \right)$ 单调非降左连续；

$\bar{u}\left(\alpha \right)$ 单调非增连续；

$\underset{\_}{u}\left(\alpha \right)\le \bar{u}\left(\alpha \right)$ ;

$\underset{\_}{u}\left(\alpha \right),\bar{u}\left(\alpha \right)$ 在 $r=0$ 处连续；

记 ${\left[u\right]}^{\alpha }=cl\left\{x\in R|u\left(x\right)\ge \alpha \right\}\left(0<\alpha \le 1\right)$ ，

$\underset{\_}{u}\left(\alpha \right)=\min {\left[u\right]}^{\alpha },\bar{u}\left(\alpha \right)=\max {\left[u\right]}^{\alpha },\alpha \in \left[0,1\right]$ ,

则 $\underset{\_}{u}\left(\alpha \right)$ 和 $\bar{u}\left(\alpha \right)$ 在 $\left[0,1\right]$ 上连续。

基于Zadeh扩张原理的和、差及乘运算将分别记为 $\oplus$ ， $\ominus$ ， $\otimes$ 。则有：

$u\oplus v=\left(\underset{\_}{u}+\underset{\_}{v},\bar{u}+\bar{v}\right)$

$u\ominus v=\left(\underset{\_}{u}-\bar{v},\bar{u}-\underset{\_}{v}\right)$

$k\otimes u=\{\begin{array}{c}\left(k\underset{\_}{u},k\bar{u}\right),k\ge 0\\ \left(k\bar{u},k\underset{\_}{u}\right),k<0\end{array}$

定义3： [2] 若 $f:\left(a,b\right)\to E$ ，存在 $x_0\in \left(a,b\right)$ ，且 $f^{\prime }\left(x_0\right)\in E$ ，那么可以称 $f$ 在 $x_0$ 是广义的强可微，且对 $\forall h\to 0,h>0,\exists f\left(x_0+h\right)\ominus f\left(x_0\right)$ 和 $\exists f\left(x_0\right)\ominus f\left(x_0-h\right)$ ，满足：

$\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f\left(x_0+h\right)\ominus f\left(x_0\right)}{h}=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f\left(x_0\right)\ominus f\left(x_0-h\right)}{h}=f^{\prime }\left(x_0\right)$ (2)

或

$\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f\left(x_0+h\right)\ominus f\left(x_0\right)}{h}=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f\left(x_0\right)\ominus f\left(x_0-h\right)}{-h}=f^{\prime }\left(x_0\right)$ (3)

或

$\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f\left(x_0\right)\ominus f\left(x_0+h\right)}{-h}=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f\left(x_0-h\right)\ominus f\left(x_0\right)}{-h}=f^{\prime }\left(x_0\right)$ (4)

或

$\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f\left(x_0\right)\ominus f\left(x_0+h\right)}{-h}=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f\left(x_0\right)\ominus f\left(x_0-h\right)}{h}=f^{\prime }\left(x_0\right)$ (5)

定理1： [18] 若 $f\left(x\right)=\left(\underset{\_}{f}\left(x,\alpha \right),\bar{f}\left(x,\alpha \right)\right)$ 是定义在 $\left[a,\infty \right)$ 上的模糊函数，对 $\forall \alpha \in \left[0,1\right],\forall b\ge a,\underset{\_}{f}\left(x,\alpha \right),\bar{f}\left(x,a\right)$ 都是在 $\left[a,b\right]$ 是可积的。如果 $\underset{\_}{M}\left(\alpha \right),\bar{M}\left(\alpha \right)$ 是正函数， ${\displaystyle \underset{a}{\overset{b}{\int }}\left|\underset{\_}{f}\left(x,\alpha \right)\right|\text{d}x}\le \underset{\_}{M}\left(\alpha \right)$ ， ${\displaystyle \underset{a}{\overset{b}{\int }}\left|\bar{f}\left(x,\alpha \right)\right|\text{d}x}\le \bar{M}\left(\alpha \right)$ ，那么称 $f\left(x\right)$ 在 $\left[a,\infty \right)$ 上是模糊可积的，此外：

${\displaystyle \underset{a}{\overset{\infty }{\int }}f\left(x\right)\text{d}x}=\left({\displaystyle \underset{a}{\overset{\infty }{\int }}\underset{\_}{f}\left(x,\alpha \right)\text{d}x,{\displaystyle \underset{a}{\overset{\infty }{\int }}\bar{f}\left(x,\alpha \right)\text{d}x}}\right)$ (6)

注释：如果 $f\left(t\right)=\left(\underset{\_}{f}\left(t,\alpha \right),\bar{f}\left(t,\alpha \right)\right)$ ， $\underset{\_}{f}\left(t,\alpha \right)$ 和 $\bar{f}\left(t,\alpha \right)$ 都可微，则有:

$f^{\prime }\left(t\right)=\left(\underset{\_}{f}\left(t,\alpha \right),\bar{f}\left(t,\alpha \right)\right)$ ,

$f^{\prime }\left(t\right)=\left(\bar{f}\left(t,\alpha \right),\underset{\_}{f}\left(t,\alpha \right)\right)$ ,

分别称为情况(i)和情况(ii)。

定理2：(模糊卷积定理)假设函数 $f\left(t\right)$ 和 $g\left(t\right)$ 是定义在 $[0,\infty )$ 上的分段连续函数，并且带有模糊边值，则

$L\left\{f\left(t\right)\ast g\left(t\right)\right\}=L\left\{g\left(t\right)\ast f\left(t\right)\right\}=L\left\{f\left(t\right)\right\}\cdot L\left\{g\left(t\right)\right\}$ (7)

注意到函数的经典模糊Laplace变换表示为：

$\hat{F}\left(P;\alpha \right)=L\left\{f\left(t;\alpha \right)\right\}=\left[L\left(\underset{\_}{f}\left(t;\alpha \right)\right),L\left(\bar{f}\left(t;\alpha \right)\right)\right]$ (8)

$L\left\{\underset{\_}{f}\left(t;\alpha \right)\right\}={\displaystyle {\int }_0^{\infty }{\text{e}}^{-pt}\odot \underset{\_}{f}\left(t;\alpha \right)\text{d}t}={\displaystyle {\int }_0^{\infty }{\text{e}}^{-pt}\odot \underset{\_}{f}\left(t;\alpha \right)\text{d}t}$ ; (9)

$L\left\{\bar{f}\left(t;\alpha \right)\right\}={\displaystyle {\int }_0^{\infty }{\text{e}}^{-pt}\odot \bar{f}\left(t;\alpha \right)\text{d}t}={\displaystyle {\int }_0^{\infty }{\text{e}}^{-pt}\odot \bar{f}\left(t;\alpha \right)\text{d}t}$ ; (10)

定理3： [19] 如果 $0<\beta <1$ ， $J=\left(a,b\right]$ ， $f\left(x,\alpha \right)=\left(\underset{\_}{f}\left(x;\alpha \right),\bar{f}\left(x;\alpha \right)\right)\in C\left(J,E\right)$ ，则对任意 $0\le \alpha \le 1$ ，Caputo分数阶导数有：

当 $f$ 是第(i)种的情况时有：

$\left({}_{c}D{}_{a^{+}}^{\beta }f\right)\left(x;\alpha \right)=\left[{}_{c}D{}_{a^{+}}^{\beta }\underset{\_}{f}\left(x;\alpha \right),{}_{c}D{}_{a^{+}}^{\beta }\bar{f}\left(x;\alpha \right)\right]$ ;

当 $f$ 是第(ii)种的情况时有：

$\left({}_{c}D{}_{a^{+}}^{\beta }f\right)\left(x;\alpha \right)=\left[{}_{c}D{}_{a^{+}}^{\beta }\bar{f}\left(x;\alpha \right),{}_{c}D{}_{a^{+}}^{\beta }\underset{\_}{f}\left(x;\alpha \right)\right]$ ;

这里有：

${}_{c}D{}_{a^{+}}^{\beta }\underset{\_}{f}\left(t;\alpha \right)=\frac{1}{\Gamma \left(m-\beta \right)}{\displaystyle {\int }_0^x\frac{{\underset{\_}{f}}^m(\tau )}{{\left(x-\tau \right)}^{\beta +1-m}}\text{d}\tau },m-1<\alpha <m,m\in N$ ,

${}_{c}D{}_{a^{+}}^{\beta }\bar{f}\left(t;\alpha \right)=\frac{1}{\Gamma \left(m-\beta \right)}{\displaystyle {\int }_0^x\frac{{\bar{f}}^m\left(\tau \right)}{{\left(x-\tau \right)}^{\beta +1-m}}\text{d}\tau },m-1<\alpha <m,m\in N$ ,

定理4： [20] 如果 $f$ 和 $f^{\prime }$ 在 $[0,\infty )$ 上连续并且带有模糊的初值， $f^{″}$ 是在 $[0,\infty )$ 上的分段连续函数并带有模糊的初值，则有：

当 $f$ 和 $f^{\prime }$ 都是第(i)种情况:

$L\left[f^{″}\left(x\right)\right]=s^{2}L\left[f\left(x\right)\right]\ominus sf\left(0\right)\ominus f^{\prime }\left(0\right)$ , (11)

当 $f$ 是第(i)种情况， $f^{\prime }$ 是第(ii)种情况：

$L\left[f^{″}\left(x\right)\right]=-f^{\prime }\left(0\right)\ominus \left(-s^2\right)L\left[f\left(x\right)\right]-sf\left(0\right)$ , (12)

当 $f$ 和 $f^{\prime }$ 都是第(ii)种情况：

$L\left[f^{″}\left(x\right)\right]=s^{2}L\left[f\left(x\right)\right]\ominus sf\left(0\right)-f^{\prime }\left(0\right)$ , (13)

当 $f$ 是第(ii)种情况， $f^{\prime }$ 是第(i)种情况：

$L\left[f^{″}\left(x\right)\right]=-sf\left(0\right)\ominus \left(-s^2\right)L\left[f\left(x\right)\right]\ominus f^{\prime }\left(0\right)$ (14)

3. 问题的求解

这里我们假设 $\phi \left(x\right)\in C\left[0,b\right]$ ， $f\left(x\right)\in C\left[0,b\right]$ ， $A,B,C$ 均为常数， ${\alpha }_0,{\gamma }_0$ 均为模糊数。

由Laplace变换作用(1)式等价为

$A\left\{s^{2}L\left[\phi \left(x\right)\right]-s\phi \left(0\right)-{\phi }^{\prime }\left(0\right)\right\}+B\left\{s^{\beta }L\left[\phi \left(x\right)\right]-s^{\beta -1}\phi \left(0\right)\right\}+CL\left[\phi \left(x\right)\right]=L\left[f\left(x\right)\right]$ (15)

根据(15)式可以得到

$\underset{\_}{\phi }\left(x\right)=L^{-1}\left[\frac{L\left[f(x)\right]+As\underset{\_}{\phi }\left(0\right)+A\underset{\_}{{\phi }^{\prime }}\left(0\right)+B{s}^{\beta -1}\underset{\_}{\phi }\left(0\right)}{A{s}^2+B{s}^{\beta }+C}\right]$

$\bar{\phi }\left(x\right)=L^{-1}\left[\frac{L\left[f(x)\right]+As\bar{\phi }\left(0\right)+A{\bar{\phi }}^{\prime }\left(0\right)+B{s}^{\beta -1}\bar{\phi }\left(0\right)}{A{s}^2+B{s}^{\beta }+C}\right]$

根据模糊的Laplace变换的卷积定理，上式可以得到

$\begin{array}{c}\underset{\_}{\phi }\left(x\right)=\left(f\left(x\right)+A\underset{\_}{{\phi }^{\prime }}\left(0\right)\right)\{\frac{1}{A}{\displaystyle \underset{k=0}{\overset{\infty }{\sum }}\frac{{\left(-1\right)}^k}{k!}}{\left(\frac{C}{A}\right)}^k{t}^{2\left(k+1\right)-1}{E}_{2-\beta ,2+\beta k}^k\left(-\frac{B}{A}{t}^{2-\beta }\right)\}\\ +\underset{\_}{\phi }\left(0\right)\{{\displaystyle \underset{k=0}{\overset{\infty }{\sum }}\frac{{\left(-1\right)}^k}{k!}}{\left(\frac{C}{A}\right)}^k{t}^{2k}{E}_{2-\beta ,1+\beta k}^k\left(-\frac{B}{A}{t}^{2-\beta }\right)\}\\ +B\underset{\_}{\phi }\left(0\right)\{\frac{1}{A}{\displaystyle \underset{k=0}{\overset{\infty }{\sum }}\frac{{\left(-1\right)}^k}{k!}}{\left(\frac{C}{A}\right)}^k{t}^{\left(2-2\beta k\right)+2+\beta }{E}_{2-\beta ,3-\beta \left(k-1\right)}^k\left(-\frac{B}{A}{t}^{2-\beta }\right)\}\end{array}$ (16)

$\begin{array}{c}\bar{\phi }\left(x\right)=\left(f\left(x\right)+A{\bar{\phi }}^{\prime }\left(0\right)\right)\{\frac{1}{A}{\displaystyle \underset{k=0}{\overset{\infty }{\sum }}\frac{{\left(-1\right)}^k}{k!}}{\left(\frac{C}{A}\right)}^k{t}^{2\left(k+1\right)-1}{E}_{2-\beta ,2+\beta k}^k\left(-\frac{B}{A}{t}^{2-\beta }\right)\}\\ +\bar{\phi }\left(0\right)\{{\displaystyle \underset{k=0}{\overset{\infty }{\sum }}\frac{{\left(-1\right)}^k}{k!}}{\left(\frac{C}{A}\right)}^k{t}^{2k}{E}_{2-\beta ,1+\beta k}^k\left(-\frac{B}{A}{t}^{2-\beta }\right)\}\\ +B\bar{\phi }\left(0\right)\{\frac{1}{A}{\displaystyle \underset{k=0}{\overset{\infty }{\sum }}\frac{{\left(-1\right)}^k}{k!}}{\left(\frac{C}{A}\right)}^k{t}^{\left(2-2\beta k\right)+2+\beta }{E}_{2-\beta ,3-\beta \left(k-1\right)}^k\left(-\frac{B}{A}{t}^{2-\beta }\right)\}\end{array}$ (17)

根据(1)式中的边值条件和方程(16)，(17)我们可以得到未知的 $\underset{\_}{{\phi }^{\prime }}\left(0\right),{\bar{\phi }}^{\prime }\left(0\right)$ 表示为:

$\begin{array}{c}\underset{\_}{{\phi }^{\prime }}\left(0\right)=\frac{\underset{\_}{{\gamma }_0}-f\left(b\right)\left\{\frac{1}{A}{\displaystyle \underset{k=0}{\overset{\infty }{\sum }}\frac{{\left(-1\right)}^k}{k!}{\left(\frac{C}{A}\right)}^k{t}^{2\left(k+1\right)-1}{E}_{2-\beta ,2+\beta k}^k\left(-\frac{B}{A}{t}^{2-\beta }\right)}\right\}}{{\displaystyle \underset{k=0}{\overset{\infty }{\sum }}\frac{{\left(-1\right)}^k}{k!}{\left(\frac{C}{A}\right)}^k{t}^{2\left(k+1\right)-1}{E}_{2-\beta ,2+\beta k}^k\left(-\frac{B}{A}{t}^{2-\beta }\right)}}\\ -\frac{{\underset{\_}{\alpha }}_0{\displaystyle \underset{k=0}{\overset{\infty }{\sum }}\frac{{\left(-1\right)}^k}{k!}}{\left(\frac{C}{A}\right)}^k\left\{t^{2k}{E}_{2-\beta ,1+\beta k}^k\left(-\frac{B}{A}{t}^{2-\beta }\right)+B{t}^{\left(2-2\beta k\right)+2+\beta }{E}_{2-\beta ,3-\beta \left(k-1\right)}^k\left(-\frac{B}{A}{t}^{2-\beta }\right)\right\}}{{\displaystyle \underset{k=0}{\overset{\infty }{\sum }}\frac{{\left(-1\right)}^k}{k!}}{\left(\frac{C}{A}\right)}^k{t}^{2\left(k+1\right)}{E}_{2-\beta ,2+\beta k}^k\left(-\frac{B}{A}{t}^{2-\beta }\right)}\end{array}$

$\begin{array}{c}{\bar{\phi }}^{\prime }\left(0\right)=\frac{\overline{{\gamma }_0}-f\left(b\right)\left\{\frac{1}{A}{\displaystyle \underset{k=0}{\overset{\infty }{\sum }}\frac{{\left(-1\right)}^k}{k!}{\left(\frac{C}{A}\right)}^k{t}^{2\left(k+1\right)-1}{E}_{2-\beta ,2+\beta k}^k\left(-\frac{B}{A}{t}^{2-\beta }\right)}\right\}}{{\displaystyle \underset{k=0}{\overset{\infty }{\sum }}\frac{{\left(-1\right)}^k}{k!}{\left(\frac{C}{A}\right)}^k{t}^{2\left(k+1\right)-1}{E}_{2-\beta ,2+\beta k}^k\left(-\frac{B}{A}{t}^{2-\beta }\right)}}\\ -\frac{{\bar{\alpha }}_0{\displaystyle \underset{k=0}{\overset{\infty }{\sum }}\frac{{\left(-1\right)}^k}{k!}}{\left(\frac{C}{A}\right)}^k\left\{t^{2k}{E}_{2-\beta ,1+\beta k}^k\left(-\frac{B}{A}{t}^{2-\beta }\right)+B{t}^{\left(2-2\beta k\right)+2+\beta }{E}_{2-\beta ,3-\beta \left(k-1\right)}^k\left(-\frac{B}{A}{t}^{2-\beta }\right)\right\}}{{\displaystyle \underset{k=0}{\overset{\infty }{\sum }}\frac{{\left(-1\right)}^k}{k!}}{\left(\frac{C}{A}\right)}^k{t}^{2\left(k+1\right)}{E}_{2-\beta ,2+\beta k}^k\left(-\frac{B}{A}{t}^{2-\beta }\right)}\end{array}$

这里有

$E_{\lambda ,\mu }^k\left(y\right)=\frac{{\text{d}}^k}{\text{d}{y}^k}{E}_{\lambda ,\mu }\left(y\right)={\displaystyle \underset{j=0}{\overset{\infty }{\sum }}\frac{\left(j+k\right)!y^j}{j!\Gamma \left(\lambda j+\lambda k+\mu \right)}},\left(k=0,1,2,\cdots \right)$

$\left(\begin{array}{c}m\\ k\end{array}\right)=\frac{m\left(m-1\right)\cdots \left(m-k+1\right)}{k!}$

从而得到了Bagley-Torvik方程模糊边值问题的级数解。

4. 数值实例

例1：考虑以下Bagley-Torvik方程的两点模糊边值问题：

$\{\begin{array}{l}{\phi }^{″}\left(x\right)+3D^{\frac{1}{2}}\phi \left(x\right)+2\phi \left(x\right)=0,x\in \left[0,1\right]\\ \phi \left(0\right)=\left(\alpha -1,1-\alpha \right),\phi \left(1\right)=\left(\alpha -0.5,1-\alpha \right)\end{array}$

根据公式(16)，(17)我们可以得到以下数值解。选择部分参数值进行计算，如当 $k=j=m=8$ ，并 $\phi ,{\phi }^{\prime }$ 均为第(i)种情况，我们得到表1。当 $k=j=m=8$ ，并且 $\phi$ 为第(i)种情况， ${\phi }^{\prime }$ 为第(ii)种情况我们得到表2。

通过表1和表2的数值结果进行分析，可以发现表1中的数值结果稳定，符合实际情形。而当 $\phi$ 为第(i)种情况， ${\phi }^{\prime }$ 为第(ii)种情况时，所得表2中的数值结果不收敛，故此种情况不成立。同样的，当 $\phi$ 和 ${\phi }^{\prime }$ 都是第(ii)种情况时，所得结果和表1中的数值结果的区间左右端点刚好互换；当 $\phi$ 为第(ii)种情况， ${\phi }^{\prime }$

Table 1. Numerical solution of the fuzzy boundary value problem of Bagley-Torvik equation

表1. Bagley-Torvik模糊边值问题的数值解

Table 2. Numerical solution of the fuzzy boundary value problem of Bagley-Torvik equation

表2. Bagley-Torvik模糊边值问题的数值解

为第(i)种情况时，所得结果和表2的数值结果的区间左右端点刚好互换。故其他另外两种情况也得出结果不符合逻辑。因此，只有第一种情形是问题的解。

5. 结论

本文采用模糊Laplace变换求解了分数阶Bagley-Torvik方程模糊边值条件下的解。结果表明，相同的问题可能给出不同的结果，而这些结果需要根据实际情形从理论上进行研究和分析。

基金项目

广西自然科学基金(2016GXNSFAA380261)，广西研究生教育创新计划项目(No. YCSW2017048)。