1. 引言
Gronwall不等式是一个重要的积分不等式,在研究和论证诸如Cauchy问题解的唯一性、解对初值和参数的连续性和可微性等方面起着重要的作用。详见 [1] [2] [3] [4] [5] 等诸多文献。本文给出了(准确的)广义Gronwall不等式及其证明,并指出了文献 [1] 和 [2] 中的错误。
定理(广义Gronwall不等式)假设函数
满足
(1)
其中
且
。则有下面两个不等式成立:
(2)
和
(3)
2. 不等式(2)的另一种证法
令
(4)
则
上式两端同乘以
,得
即
上式两端从0到t积分,得
由(4)知
,于是
即
再次用已知条件
,即得式(2)。
3. 不等式(3)的证明
在
的情形,因
,所以
。 再由条件
,我们有
(5)
式(5)两端从0到t积分,得
即有
由于
,故当
时
从而
即
当
时,由上面的过程可推得
。
当
时,由所设条件(1)知,
。
此时式(3)中等号成立。又由于
,因此当
时,式(3)显然成立。至此式(3)得证。
4. 相关注记
文献 [1] 中,式(2-33)中指数函数里
的积分区间是错误的,不是
,应是
;同时,其式(2-34)成立的条件:“如果,另外对
有
”是不需要的,这一点,从上述式(3)的证明过程中可以看出;还有,其式(2-34)中
应改为
。
文献 [2] 中,b)的条件:“若
还是非负的单调不减函数”是不需要的,只需将结论中不等式右端的
改为
即可,或者,将上述条件中的“单调不减函数”的假设去掉,同样能保证其结论成立。
参考文献