与广义逼近恒等式相关的弱BMO型空间

Weak BMO-Type Spaces Associated with Generalized Approximations to the Identity

摘要: 在本篇文章中，我们引入了齐型空间χ 上与广义逼近恒等式相关的一类新的弱BMO型空间WBMO^p_A(χ) ，1∠p∠∞ ，它是WBMO^p(χ) 空间的推广。我们证明了BMO^p_A(χ) 空间与WBMO^p_A(χ) 空间的等价性，并给出了WBMO^p_A(χ) 空间与L^P(χ) 空间的插值定理。

Abstract: In this paper, we introduce a new weak BMO-type space WBMO^p_A(χ) (1∠p∠∞ )on the homogeneous space χ , which is associated with generalized approximations to the identity and generalizes WBMO^p(χ) space. We show the equivalence of BMO^p_A(χ) space and WBMO^p_A(χ) space, and give the interpolation theorem of WBMO^p_A(χ) space and L^P(χ) space.

1. 引言

19世纪60年代引入的经典 $BMO\left({ℝ}^n\right)$ 函数空间在现代调和分析中具有重要作用(可参见文献 [1] [2] )。设 $f\in L_{loc}^1\left({ℝ}^n\right)$ ，对任意的球 $B\subset {ℝ}^n$ ，称 $f\in BMO\left({ℝ}^n\right)$ ，若

,

其中 $f_B=\frac{1}{\left|B\right|}{\displaystyle {\int }_{B}f\left(x\right)\mathrm{d}x}$ 。在文献 [1] 中，John和Nirenberg证明了对任意的 $1<p<\infty$ ， $BMO\left({ℝ}^n\right)$ 空间与 $BM{O}^p\left({ℝ}^n\right)$ 空间等价，其中 $BM{O}^p\left({ℝ}^n\right)$ 空间定义如下：对任意的 $f\in L_{loc}^1\left({ℝ}^n\right)$ ，任意的球 $B\subset {ℝ}^n$ ，称 $f\in BM{O}^p\left({ℝ}^n\right)$ ，若

${\Vert f\Vert }_{BM{O}^p\left({ℝ}^n\right)}=\underset{B\subset {ℝ}^n}{\sup }{\left(\frac{1}{\left|B\right|}{\displaystyle {\int }_B{\left|f\left(x\right)-f_B\right|}^p}\text{d}x\right)}^{1/p}<\infty$ .

众所周知，许多算子并不是从 $L^1$ 到 $L^1$ 有界的，而是从 $L^1$ 到 $L^{1,\infty }$ 有界的，例如Ricci-Stein震荡奇异积分算子，Carderón-Zygmund算子，Hardy-Littlewood极大算子。因此，弱型空间在算子理论研究中具有重要的意义。最近，王定怀等 [3] 引进了弱型BMO空间 $WBM{O}^p\left({ℝ}^n\right)$ ，，它是类似于弱型Lebesgue空间 $L^{p,\infty }$ 所对应的BMO空间。并且他们证明了 ${\Vert \cdot \Vert }_{BMO}$ 与 ${\Vert \cdot \Vert }_{WBM{O}^p}$ 的等价性。

空间 [3] 定义如下：设 $f\in L_{loc}^1\left({ℝ}^n\right)$ ，对任意的球 $B\subset {ℝ}^n$ ，称 $f\in WBM{O}^p\left({ℝ}^n\right)$ ，若

${\Vert f\Vert }_{WBM{O}^p\left({ℝ}^n\right)}=\underset{B\subset {ℝ}^n}{\sup }\frac{1}{{\left|B\right|}^{1/p}}\underset{\lambda >0}{\sup }\lambda {\left|\left\{x\in B:\left|f\left(x\right)-f_B\right|>\lambda \right\}\right|}^{1/p}<\infty$ .

显然地，当 $1\le p_1\le p_2<\infty$ 时， $BM{O}^{p_2}\subset WBM{O}^{p_1}$ 。

此外，Duong和Yan [4] 引进了齐型空间 $\chi$ 上适当的函数集 ${\rm M}\left(\chi \right)$ ，并进一步引进了与广义逼近恒等式相关的一类新的BMO型函数空间 $BM{O}_A\left(\chi \right)$ ，它是经典BMO函数空间的推广。确切地说，设 ${\left\{A_t\right\}}_{t>0}$ 是由核 ${\left\{a_t\right\}}_{t>0}$ (其衰减速度足够快)所定义的一类积分算子，对任意的 $x\in \chi$ 和满足 $\chi$ 上某类增长条件的任意函数 $f$ ，

$A_{t}f\left(x\right)={\displaystyle {\int }_{\chi }{a}_t\left(x,y\right)f\left(y\right)\text{d}\mu \left(y\right)}$ .

称 $f\in BM{O}_A\left(\chi \right)$ ，如果对任意的 $f\in {\rm M}\left(\chi \right)$，任意的球 $B\subset \chi$，

${\Vert f\Vert }_{BM{O}_A(\chi )}=\underset{B\subset \chi }{\sup }\frac{1}{\mu \left(B\right)}{\displaystyle {\int }_B\left|f\left(x\right)-A_{t_B}f\left(x\right)\right|\text{d}\mu \left(x\right)}<\infty$ ,

其中 $t_B=r_B^m$ ， $r_B$是球B的半径，m是一个正常数。相应地，他们证明了对任意的 $1<p<\infty$， $BM{O}_A\left(\chi \right)$ 空间与 $BM{O}_A^p\left(\chi \right)$空间等价，其中 $BM{O}_A^p\left(\chi \right)$ 空间定义如下：称 $f\in BM{O}_A^p\left(\chi \right)$ ，如果对任意的 $f\in {\rm M}\left(\chi \right)$ ，任意的球 $B\subset \chi$ ，

${\Vert f\Vert }_{BM{O}_A^p(\chi )}=\underset{B\subset \chi }{\sup }{\left(\frac{1}{\mu \left(B\right)}{\displaystyle {\int }_B{\left|f\left(x\right)-A_{t_B}f\left(x\right)\right|}^p}\text{d}\mu \left(x\right)\right)}^{1/p}<\infty$ .

本文将文献 [4] 中的一些结论进行推广，引进了一类齐型空间 $\chi$ 上与广义逼近恒等式相关的新的弱BMO型函数空间 $WBM{O}_A^p\left(\chi \right)$ ，它是 [4] 中所引进的 $WBM{O}^p\left(\chi \right)$ 空间的推广。而且我们证明了 $BM{O}_A^p\left(\chi \right)$ 空间和 $WBM{O}_A^p\left(\chi \right)$ 空间的等价性，并对 $WBM{O}_A^p\left(\chi \right)$ 空间与 $L^p\left(\chi \right)$ 空间的插值理论进行了研究。

在本文中，字母 $c$ 表示与主要参数无关的常数，并且每一处取值不一定相等。

2. 预备知识和主要结果

我们首先回忆齐型空间上的一些基本定义，可见文献 [4] [5] [6] 。

给定非空集合 $\chi$ ，满足下列条件的函数 $d$ ： $\chi \times \chi \to \left[0,\infty \right)$ 称为 $\chi$ 上的拟度量：

i) 对任意的 $x,y\in \chi$ ， $d\left(x,y\right)\ge 0$ ， $d\left(x,y\right)=0$ 当且仅当 $x=y$ ；

ii) 对任意的 $x,y\in \chi$ ， $d\left(x,y\right)=d\left(y,x\right)$ ；

iii) 存在常数 $C_1\in \left[1,\infty \right)$ ，使得对任意的 $x,y,z\in \chi$ ，

$d\left(x,y\right)\le C_1\left(d\left(x,z\right)+d\left(z,y\right)\right)$ . (1)

拟度量d决定了一个拓扑，且对任意的 $x\in \chi$ 和 $r\in \left(0,\infty \right)$ ，所有的球 $B\left(x,r\right)=\left\{y\in \chi :d\left(y,x\right)<r\right\}$ 组成一个拓扑基。但当 $C_1>1$ 时，这些球不一定为开集(可参见文献 [6] )。

定义1：设 $\chi$ 是一个集合，称 $\left(\chi ,d,\mu \right)$ 是齐型空间，其中d是 $\chi$ 上的拟度量， $\mu$ 是 $\chi$ 上满足二倍条件的Borel测度，即存在常数 $C_2\in \left[1,\infty \right)$ ，对任意的 $x\in \chi$ ， $r\in \left(0,\infty \right)$ ，使得

$\mu \left(B\left(x,2r\right)\right)\le C_2\mu \left(B\left(x,r\right)\right)<\infty$ .

由上述二倍条件可得如下强齐次性：存在常数n和c，使得对任意的 $x\in \chi$ ， $r\in \left(0,\infty \right)$ 和 $\lambda \in \left[1,\infty \right)$ ，

$\mu \left(B\left(x,\lambda r\right)\right)\le c{\lambda }^n\mu \left(B\left(x,r\right)\right)$ , (2)

其中参数n是空间的维数。且存在 $c$ 和 $N$ ， $0\le N\le n$ ，使得对任意的 $x,y\in \chi$ 和 $r>0$ ，

$\mu \left(B\left(y,r\right)\right)\le c{\left(1+\frac{d\left(x,y\right)}{r}\right)}^N\mu \left(B\left(x,r\right)\right)$ , (3)

事实上， $N=n$ 时，(3)式可由拟度量d的三角不等式和强齐次性直接得到。若 $\chi$ 是 ${ℝ}^n$ 空间或多项式增长李群，则 $N=0$ 。

定义2：设 $\epsilon$ 是(6)式(见定义3)中的常数，且 $0<\beta <\epsilon$ ， $f\in L_{loc}^1\left(\chi \right)$ ，称 $f$ 为以 $x_0\in \chi$ 为心的 $\left(x_0,\beta \right)$ 型函数，如果f满足

${\displaystyle {\int }_{\chi }\frac{\left|f\left(x\right)\right|}{{\left(1+d\left(x_0,x\right)\right)}^{2N+\beta }\mu \left(B\left(x_0,1+d\left(x_0,x\right)\right)\right)}\text{d}\mu \left(x\right)}\le c<\infty$ . (4)

记 ${{\rm M}}_{\left(x_0,\beta \right)}$ 为所有 $\left(x_0,\beta \right)$ 型函数的集合，若 $f\in {{\rm M}}_{\left(x_0,\beta \right)}$ ，则 $f$ 在 ${{\rm M}}_{\left(x_0,\beta \right)}$ 中的范数定义为

${\Vert f\Vert }_{{{\rm M}}_{\left(x_{{}_0},\beta \right)}}=\inf \left\{c\ge 0:\left(4\right)成立\right\}$ .

对一个固定的 $x_0\in \chi$ ，易知当 ${\Vert f\Vert }_{{{\rm M}}_{\left(x_{{}_0},\beta \right)}}<\infty$ 时， ${{\rm M}}_{\left(x_0,\beta \right)}$ 是一个Banach空间。此外，对任意的 $x_1\in \chi$ ， ${{\rm M}}_{\left(x_1,\beta \right)}={{\rm M}}_{\left(x_0,\beta \right)}$ ，且它们的范数等价。

记

${\rm M}\left(\chi \right)=\underset{x_0\in \chi }{\cup }\underset{\beta :0<\beta <\epsilon }{\cup }{{\rm M}}_{\left(x_0,\beta \right)}$ ,

其中 $\epsilon$ 是(6)式中的常数。

定义3：设函数f满足增长条件(4)，对任意的 $t>0$ ，广义逼近恒等式 ${\left\{A_t\right\}}_{t>0}$ 定义为：

$A_{t}f\left(x\right)={\displaystyle {\int }_{\chi }{a}_t\left(x,y\right)f\left(y\right)\text{d}\mu \left(y\right)}$ .

设核 $a_t$ 满足：对任意的 $x,y\in \chi$ ，

$\left|a_t\left(x,y\right)\right|\le h_t\left(x,y\right)$ ,

其中

$h_t\left(x,y\right)=\frac{1}{\mu \left(B\left(x,t^{1/m}\right)\right)}g\left(\frac{d{\left(x,y\right)}^m}{t}\right)$ , (5)

m是一个正常数，g是一个正的、有界的、递减函数且对某个 $\epsilon >0$ ，

$\underset{r\to \infty }{\lim }{r}^{n+2N+\epsilon }g\left(r^m\right)=0$ , (6)

其中N取值与(3)式中相同，n取值与(2)式中相同。

引理1 [4] ：对任意的 $1\le p<\infty$ ， $BM{O}_A^p\left(\chi \right)=BM{O}_A\left(\chi \right)$ ，且当p取值不同时，范数 ${\Vert \cdot \Vert }_{BM{O}_A^p\left(\chi \right)}$ 是等价的。

引理2 [4] ：设 $1\le s\le q$ ，T是一个次线性算子。若T在 $L^q\left(\chi \right)$ 上是有界的， $1\le q<\infty$ ，且

${\Vert M_{A,s}^{\#}Tf\Vert }_{L^{\infty }\left(\chi \right)}\le c{\Vert f\Vert }_{L^{\infty }\left(\chi \right)}$ ,

则对任意的 $q<p<\infty$ ，T在 $L^p\left(\chi \right)$ 上是有界的。

现在我们介绍与广义逼近恒等式 ${\left\{A_t\right\}}_{t>0}$ 相关的 $WBM{O}_A^p\left(\chi \right)$ 空间。

定义4：设 $1<p<\infty$ ，对任意的 $f\in {\rm M}(\chi )$ ，任意的球 $B\subset \chi$ ，称 $f\in WBM{O}_A^p\left(\chi \right)$ ，如果

${\Vert f\Vert }_{WBM{O}_A^p\left(\chi \right)}=\underset{B\subset \chi }{\sup }\frac{1}{\mu {\left(B\right)}^{1/p}}\underset{\lambda >0}{\sup }\lambda \mu {\left(\left\{x\in B:\left|f\left(x\right)-A_{t_B}f\left(x\right)\right|>\lambda \right\}\right)}^{1/p}<\infty$ .(7)

本文的主要结果如下。

定理1：设 $1<p<\infty$ ， ${\left\{A_t\right\}}_{t>0}$ 是定义3中的广义逼近恒等式。则 $BM{O}_A^p\left(\chi \right)=WBM{O}_A^p\left(\chi \right)$ ，且它们的范数等价。

定理2：设 $1<p<\infty$ ， $\chi$ 是齐型空间。假设 ${\left\{A_t\right\}}_{t>0}$ 是满足(5)和(6)的广义逼近恒等式，且对任意的 $t>0$ ， $A_t\left(1\right)=1$ 几乎处处成立，即对几乎所有的 $x\in \chi$ ， ${\displaystyle {\int }_{\chi }{a}_t\left(x,y\right)\text{d}\mu \left(y\right)=1}$ ，则有 $WBM{O}^p\left(\chi \right)\subset WBM{O}_A^p\left(\chi \right)$ ，且存在一个正常数c使得

${\Vert f\Vert }_{WBM{O}_A^p\left(\chi \right)}\le c{\Vert f\Vert }_{WBM{O}^p\left(\chi \right)}$ . (8)

但反向不等式不一定成立。

注：注意到对(8)式来说，条件 $A_t\left(1\right)=1$ 几乎处处成立是必要的。事实上，对任意的 $x\in \chi$ ，考虑 $f\left(x\right)=1$ ，由(8)式得 ${\Vert 1\Vert }_{WBM{O}_A^p\left(\chi \right)}=0$ 。因此，对任意的 $t>0$ ， $A_t\left(1\right)=1$ 几乎处处成立。

由定理1和引理2，我们可得如下插值定理。

定理3：设T是一个次线性算子。对 $1<p<\infty$ ，若T在 $L^p\left(\chi \right)$ 上是有界的，且

${\Vert Tf\Vert }_{WBM{O}_A^p\left(\chi \right)}\le c{\Vert f\Vert }_{L^{\infty }\left(\chi \right)}$ ,

则对任意的 $p<q<\infty$ ，T在 $L^q\left(\chi \right)$ 上是有界的。

3. 定理证明

为了证明定理1，我们首先证明以下两个引理。

引理3：设 $1\le p_1\le p_2<\infty$ ，则有 $BM{O}_A^{p_2}\left(\chi \right)\subset WBM{O}_A^{p_1}\left(\chi \right)$ ，且存在一个正常数c使得

${\Vert \cdot \Vert }_{WBM{O}_A^{p_{{}_1}}\left(\chi \right)}\le c{\Vert \cdot \Vert }_{BM{O}_A^{p_{{}_2}}\left(\chi \right)}$ .(9)

证明：设 $f\in BM{O}_A^{p_2}\left(\chi \right)$ ，由引理1得

$\begin{array}{l}\frac{1}{\mu {\left(B\right)}^{1/p_1}}\lambda \mu {\left(\left\{x\in B:\left|f\left(x\right)-A_{t_B}f\left(x\right)\right|>\lambda \right\}\right)}^{1/p_1}=\frac{1}{\mu {\left(B\right)}^{1/p_1}}{\left({\displaystyle {\int }_{\left\{x\in B:\left|f\left(x\right)-A_{t_B}f\left(x\right)\right|>\lambda \right\}}{\lambda }^{p_1}}\text{d}\mu \left(x\right)\right)}^{1/p_1}\\ \le \frac{1}{\mu {\left(B\right)}^{1/p_1}}{\left({\displaystyle {\int }_{\left\{x\in B:\left|f\left(x\right)-A_{t_B}f\left(x\right)\right|>\lambda \right\}}{\left|f\left(x\right)-A_{t_B}f(x)\right|}^{p_1}}\text{d}\mu \left(x\right)\right)}^{1/p_1}\le {\left(\frac{1}{\mu \left(B\right)}{\displaystyle {\int }_B{\left|f\left(x\right)-A_{t_B}f\left(x\right)\right|}^{p_1}}\text{d}\mu \left(x\right)\right)}^{1/p_1}\\ \le {\Vert f\Vert }_{BM{O}_A^{p_{{}_1}}\left(\chi \right)}\le c{\Vert f\Vert }_{BM{O}_A^{p_{{}_2}}(\chi )}\end{array}$

引理4. 设 $1\le p_1<p_2<\infty$ ，则有 $WBM{O}_A^{p_2}\left(\chi \right)\subset BM{O}_A^{p_1}\left(\chi \right)$ ，且存在一个正常数c使得

${\Vert \cdot \Vert }_{BM{O}_A^{p_{{}_1}}\left(\chi \right)}\le c{\Vert \cdot \Vert }_{WBM{O}_A^{p_{{}_2}}\left(\chi \right)}$ .(10)

证明：设 $f\in WBM{O}_A^{p_2}\left(\chi \right)$ ，对任意给定的球 $B\subset \chi$ 和 $\lambda >0$ ，

$\frac{1}{\mu {\left(B\right)}^{1/p_2}}{\left({\lambda }^{p_2}\mu \left(\left\{x\in B:\left|f\left(x\right)-A_{t_B}f\left(x\right)\right|>\lambda \right\}\right)\right)}^{1/p_2}\le {\Vert f\Vert }_{WBM{O}_A^{p_{{}_2}}\left(\chi \right)}$ ,

即

$\mu \left(\left\{x\in B:\left|f\left(x\right)-A_{t_B}f\left(x\right)\right|>\lambda \right\}\right)\le {\Vert f\Vert }_{WBM{O}_A^{p_{{}_2}}\left(\chi \right)}^{p_{{}_2}}\mu \left(B\right){\lambda }^{-p_2}$ .

取

$N={\Vert f\Vert }_{WBM{O}_A^{p_{{}_2}}\left(\chi \right)}{\left(\frac{p_1}{p_2-p_1}\right)}^{1/p_2}$ ,

因此

$\begin{array}{c}{{\displaystyle {\int }_B\left|f\left(x\right)-A_{t_B}f\left(x\right)\right|}}^{p_1}\text{d}\mu \left(\chi \right)=p_1{\displaystyle {\int }_0^{\infty }{\lambda }^{p_1-1}\mu \left(\left\{x\in B:\left|f\left(x\right)-A_{t_B}f\left(x\right)\right|>\lambda \right\}\right)\text{d}\lambda }\\ \le p_1{\displaystyle {\int }_0^N{\lambda }^{p_1-1}\mu \left(B\right)}\text{d}\lambda +p_1{\displaystyle {\int }_N^{\infty }{\lambda }^{p_1-1}{\Vert f\Vert }_{WBM{O}_A^{p_{{}_2}}\left(\chi \right)}^{p_2}\mu \left(B\right)}{\lambda }^{-p_2}\text{d}\lambda \\ =\mu \left(B\right)N^{p_1}+\frac{p_1}{p_2-p_1}{\Vert f\Vert }_{WBM{O}_A^{p_{{}_2}}\left(\chi \right)}^{p_2}\mu \left(B\right)N^{p_1-p_2}\end{array}$ .

于是

${\left(\frac{1}{\mu \left(B\right)}{\displaystyle {\int }_B{\left|f\left(x\right)-A_{t_B}f\left(x\right)\right|}^{p_1}\text{d}\mu \left(x\right)}\right)}^{1/p_1}\le 2{\left(\frac{p_1}{p_2-p_1}\right)}^{1/p_2}{\Vert f\Vert }_{WBM{O}_A^{p_{{}_2}}\left(\chi \right)}$ ,

则

${\Vert f\Vert }_{BM{O}_A^{p_{{}_1}}\left(\chi \right)}\le 2{\left(\frac{p_1}{p_2-p_1}\right)}^{1/p_2}{\Vert f\Vert }_{WBM{O}_A^{p_{{}_2}}\left(\chi \right)}$ .

定理1的证明：对任意的 $1<p<\infty$ ，由引理3可得 $BM{O}_A^p\left(\chi \right)\subset WBM{O}_A^p\left(\chi \right)$ 。因此，我们只需证明 $WBM{O}_A^p\left(\chi \right)\subset BM{O}_A^p\left(\chi \right)$ 。对任意的 $f\in WBM{O}_A^p\left(\chi \right)$ ，由引理1和引理4得

${\Vert f\Vert }_{BM{O}_A^p\left(\chi \right)}\le c{\Vert f\Vert }_{BM{O}_A\left(\chi \right)}\le c{\Vert f\Vert }_{WBM{O}_A^p\left(\chi \right)}$ .

定理2的证明：当 $1<p<\infty$ 时，由定理1得

${\Vert f\Vert }_{WBM{O}_A^p\left(\chi \right)}\le c{\Vert f\Vert }_{BM{O}_A^p\left(\chi \right)}$ ,

再由命题2.5 [4] 和命题2.3 [3] 可得

${\Vert f\Vert }_{BM{O}_A^p\left(\chi \right)}\le c{\Vert f\Vert }_{BM{O}^p\left(\chi \right)}\le c{\Vert f\Vert }_{WBM{O}^p\left(\chi \right)}$ ,

因此， ${\Vert f\Vert }_{WBM{O}_A^p\left(\chi \right)}\le c{\Vert f\Vert }_{WBM{O}^p\left(\chi \right)}$ 。

下证(8)的反向不等式不一定成立。

设 $\chi =ℝ$ ，对任意的 $x,y\in \chi$ ，设 ${\left\{A_t\right\}}_{t>0}$ 的核

$a_t\left(x,y\right)=\frac{1}{2t^{1/m}}{\chi }_{\left(x-t^{1/m},x+t^{1/m}\right)}\left(y\right)$ ,

对任意的 $x\in \chi$ ，令 $f\left(x\right)=x$ 。则对任意的 $t>0$ ， $A_{t}f\left(x\right)=x$ 且 ${\Vert f\Vert }_{WBM{O}_A^p\left(\chi \right)}=0$ ，但 ${\Vert f\Vert }_{WBM{O}^p\left(\chi \right)}\ne 0$ 。

因此，(8)的反向不等式不一定成立。