1. 引言
求解偏微分方程精确解的方法有很多,如双线性导数法 [1] [2] ,齐次平衡法 [3] ,辅助方程法 [4] [5] [6] ,Lie对称 [7] [8] [9] ,达布变换 [10] ,tanh函数法 [11] ,G展开法 [12] 等等。但这些方法很难应用于偏微分方程的(初)边值问题。对偏微分方程(初)边值问题,近期人们提出并发展了很多方法,如摄动法 [13] ,Adomian分解法 [14] 、同伦摄动法 [15] [16] 、同伦分析法 [17] 等等。而这些求解偏微分方程的边值问题的方法,求解过程中主要依赖部分边界条件,不是所有边界条件。那么,基于部分边界条件能否得到满足所有边界条件的解呢?即满足部分边界条件的解是否唯一呢?针对该问题,我们基于Adomian分解考虑三角形地下水域上的补给效应模型。
Adomian分解法是美国数学物理学家Georgie Adomian [18] [19] 提出的一种分解法。该方法克服了传统摄动方法对小参数的依赖性,并且具有很好的收敛性和易计算性。对偏微分方程的(初)边值问题,传统的Adomian分解法只基于部分边界条件,不是所有边界条件(见文 [20] [21] [22] [23] [24] )。Serrano [24] [25] 等人研究地下水流补给效应模型。地下水流模型控制微分方程为:
(1.1)
其中
,假设附加的边界条件为
(1.2)
(1.3)
(1.4)
其中
(1.5)
(1.6)
(1.7)
为了方便令其中
则方程(1.1)可改写为
(1.8)
2. 基于边界条件(1.2)和(1.3)的Adomian近似解
根据Adomian算法 [23] ,把逆算子
作用于方程(1.8)两边,并考虑边界条件(1.2),(1.3)可得
(2.1)
由上式构造迭代公式
(2.2)
从迭代公式(2.2),我们得到
由此得到方程(1.1)的满足边界条件(1.2)和(1.3)的精确解:
(2.3)
经验证
不满足边界条件(1.4)。
3. 基于(1.3)和(1.4)的Adomian近似解
将逆算子
作用于方程(1.8)两侧,考虑边界条件(1.3)和(1.4),可得
(3.1)
从上式,我们构造迭代公式:
(3.2)
从(3.2),我们得到
(3.3)
(3.4)
(3.5)
由此得到方程满足边界条件(1.3)和(1.4)的精确解:
(3.6)
通过验证发现
满足所有边界条件。
4. 总结
从上述求解结果可以发现: 基于(1.2),(1.3)用Adomian算法求出的解(2.3)只满足边界条件(1.2),(1.3),不满足(1.4);而基于(1.3),(1.4)的Adomian解满足所有边界条件(1.2)~(1.3)。这说明,利用部分边界条件求出的解有时满足所有的边界条件,有时只满足部分边界条件,不是所有边界条件。Adomian解(2.3)和(3.6)都满足边界条件(1.2)与(1.3),从而得知满足偏微分方程部分边界条件的解不是唯一,是多样的。并且说明了有Adomian分解法得到的解是满足部分边界条件的某一个特解。
致谢
感谢银山老师的支持与帮助。
基金项目
内蒙古自治区项目(2016MS0109),内蒙古自治区高等学校科研研究项目(NJZY094),内蒙古工业大学重点项目(ZD201515)。
NOTES
*通讯作者。