基于首次积分法求解两个非线性薛定谔方程的精确解

The First Integral Method for Solving Exact Solutions of Two Nonlinear Schrodinger Equations

摘要: 首次积分方法是由冯第一个提出的对非线性偏微分方程进行可靠处理的积分方法，该方法是基于交换代数环的理论。本文将利用首次积分法对广义非线性薛定谔方程和高阶色散非线性薛定谔方程的精确行波解进行研究。即先通过引入恰当的行波变换，将非线性薛定谔方程化为常微分方程，再根据多项式除法原理，得到两个非线性薛定谔方程的精确行波解。

Abstract: The first integral method proposed by Feng is very reliable integral method for solving nonlinear partial differential equations, which is based on the ring theory of commutative algebra. In this paper, exact travelling wave solutions of the generalized nonlinear Schrodinger equation and the high order dispersion nonlinear Schrodinger equation are studied by using the first integral me-thod. By introducing the travelling wave transformations, two nonlinear Schrodinger equations have been transformed into ordinary differential equations. Then according to the division theorem of polynomial, exact travelling wave solutions of two nonlinear Schrodinger equations are obtained.

1. 引言

非线性现象出现在各种各样的科学应用中，如等离子体物理、固态物理、流体动力学等。为了更好地理解这些非线性现象，许多数学家和物理学家都在努力寻找其精确解，运用这些精确解可以预测和解释一些重要的物理现象。所以非线性偏微分方程(PDE)在物理现象研究中起着重要的作用。近年来，许多方法被用来寻找非线性PDE的解，其中一种方法被称为首次积分法，首次积分法是基于交换代数环的理论，由Feng [1] 第一个提出的对非线性PDE进行可靠处理，并由他自己进一步发展了这个理论 [2] [3] [4] 。这一方法已被许多学者应用于解决在科学和工程中遇到的不同的偏微分方程模型 [5] [6] [7] 。为了得到非线性PDE更丰富的精确解，前人提出了如下这些方法，如tanh-sech函数法 [8] ，雅可比椭圆函数展开法 [9] ，F展开法 [10] ，指数函数法 [11] ，Hirota双线性法 [12] ，动力系统分岔理论 [13] 等等。

在本文中，我们将考虑如下广义非线性薛定谔方程 [14] 和高阶色散非线性薛定谔方程 [15] ：

$i{u}_t-r_2{u}_{xx}+c_3{\left|u\right|}^{2}u=i{\left[\left(s_0+s_2{\left|u\right|}^2\right)u\right]}_x-c_5{\left|u\right|}^{4}u,$ (1)

和

$i{q}_t-a{q}_{xx}-b{q}_{xxxx}+c\left({\left|q\right|}^2+d{\left|q\right|}^4\right)q=0.$ (2)

这里 $r_2,c_3,c_5,s_0,s_2,a,b,c,d$ 为实常数， $u,q$ 为复函数。

2. 首次积分法的基本介绍

考虑一个如下典型的非线性PDE

$P\left(u,u_t,u_x,u_{xx},u_{tt},u_{xt},u_{xxx},\cdots \right)=0.$ (3)

为了将方程(3)化为常微分方程(ODE)，我们介绍这个变换

$u\left(x,t\right)=u\left(\xi \right),\xi =x-ct.$ (4)

其中c是常数。

$\frac{\partial }{\partial t}(.)=-c\frac{\partial }{\partial \xi }(.),\frac{\partial }{\partial x}(.)=\frac{\partial }{\partial \xi }(.),\frac{{\partial }^2}{\partial t^2}(.)=c^2\frac{{\partial }^2}{\partial {\xi }^2}(.),\cdots$ (5)

步骤1：通过上述变换可将PDE转换为如下ODE形式

$Q\left(u,u_{\xi },u_{\xi \xi },\cdots \right)=0.$ (6)

步骤2：假设这里的ODE(6)能被写成

$u\left(x,t\right)=u\left(\xi \right).$ (7)

步骤3：现在我们引入一个新的独立变量，即

$X\left(\xi \right)=u\left(\xi \right),Y\left(\xi \right)=u_{\xi }\left(\xi \right).$ (8)

并给出了ODE的系统

$\{\begin{array}{l}{X}_{\xi }\left(\xi \right)=Y\left(\xi \right),\hfill \\ Y_{\xi }\left(\xi \right)=F\left(X\left(\xi \right),Y\left(\xi \right)\right).\hfill \end{array}$ (9)

步骤4：根据常微分方程的定性理论 [16] 。如果我们能在相同条件下找到方程(9)的积分，那么方程(9)的解就可以直接得到。但是，目前还没有一个系统的理论告诉我们如何去找到首次积分，因此我们将运用除法原理去寻找方程(9)的首次积分，它将会减少常微分方程(6)的一阶积分。通过解这个方程可以得到方程(3)的精确解。现在，我们来介绍除法原理。

定理(除法原理)：设 $P\left(x,y\right)$ 和 $Q\left(x,y\right)$ 为两个变量x和y在域 $C\left(x,y\right)$ 中的多项式，并令 $P\left(x,y\right)$ 在 $C\left(x,y\right)$ 中不可约。如果 $Q\left(x,y\right)$ 在所有零点 $G\left(x,y\right)$ 上可约，那么在 $C\left(x,y\right)$ 中存在一个多项式 $G\left(x,y\right)$，使得 $Q\left(x,y\right)=P\left(x,y\right)G\left(x,y\right)$。

3. 应用

在这一节中，我们将利用首次积分法来详细求解两个非线性薛定谔方程的精确解。

首先我们考虑方程(1)。假设方程(1)的解满足如下形式

$u\left(x,t\right)=\phi \left(\xi \right){\text{e}}^{i\left(x-\omega t\right)}.$ (10)

其中 $\xi =x-\lambda t$，这里 $\lambda ,\omega$ 是实参数。

将方程(10)代入(1)中，并令虚部和实部分别为零，整理可得

$\left(2r_2-\lambda -s_0\right){\phi }^{\prime }-3s_2{\phi }^2{\phi }^{\prime }=0,$ (11)

$r_2{\phi }^{″}+\left(\omega +s_0-r_2\right)\phi -\left(c_3+s_2\right){\phi }^3+c_5{\phi }^5=0.$ (12)

将方程(11)积分一次代入(12)得

${\phi }^{″}+\frac{\omega +r_2-\lambda }{r_2}\phi +\frac{c_3}{r_2}{\phi }^3+\frac{c_5}{r_2}{\phi }^5=0.$ (13)

为了计算简便，我们定义： $k_1=-\frac{\omega +r_2-\lambda }{r_2}$， $k_2=-\frac{c_3}{r_2}$ 及 $k_3=-\frac{c_5}{r_2}$。

根据方程(13)和(8)我们得

$\{\begin{array}{l}{X}^{\prime }\left(\xi \right)=Y\left(\xi \right),\hfill \\ Y^{\prime }\left(\xi \right)=k_{1}X\left(\xi \right)+k_{2}X{\left(\xi \right)}^3+k_{3}X{\left(\xi \right)}^5.\hfill \end{array}$ (14)

其次，我们考虑方程(2)。假设方程(2)的解满足如下形式

$q\left(x,t\right)=\varphi \left(\xi \right){\text{e}}^{i\left(kx-\omega t\right)}.$ (15)

其中 $\xi =\beta x-\lambda t$，这里 $\beta ,\lambda ,k,\omega$ 是实参数。

将方程(15)代入(2)中，并令虚部和实部为零，整理可得

$-4bk{\beta }^3{\varphi }^{″}+\left(-\lambda +2a\beta k+4b\beta k^3\right){\varphi }^{\prime }=0.$ (16)

$-b{\beta }^4{\varphi }^{\left(4\right)}+\left(a{\beta }^2+b{\beta }^2{k}^2\right){\varphi }^{″}+\left(\omega -a{k}^2-b{k}^4\right)\varphi +c{\varphi }^3+dc{\varphi }^5=0.$ (17)

对(16)微分一次代入(17)中，令 $p_1=-\lambda +2a\beta k+4b\beta k^3,p_2=a{\beta }^2+b{\beta }^2{k}^2,p_3=\omega -a{k}^2-b{k}^4$。则

${\varphi }^{″}-\frac{4bk{p}_3{\beta }^3}{p_{1}b{\beta }^4-4p_{2}bk{\beta }^3}\varphi -\frac{4bck{\beta }^3}{p_{1}b{\beta }^4-4p_{2}bk{\beta }^3}{\varphi }^3-\frac{4bcdk{\beta }^3}{p_{1}b{\beta }^4-4p_{2}bk{\beta }^3}{\varphi }^5=0.$ (18)

根据方程(18)和(8)我们得

$\{\begin{array}{l}{X}^{\prime }\left(\xi \right)=Y\left(\xi \right),\hfill \\ Y^{\prime }\left(\xi \right)=\frac{4bk{p}_3{\beta }^3}{p_{1}b{\beta }^4-4p_{2}bk{\beta }^3}X\left(\xi \right)+\frac{4bck{\beta }^3}{p_{1}b{\beta }^4-4p_{2}bk{\beta }^3}X{\left(\xi \right)}^3+\frac{4bcdk{\beta }^3}{p_{1}b{\beta }^4-4p_{2}bk{\beta }^3}X{\left(\xi \right)}^5.\hfill \end{array}$ (19)

这里如果我们仍然定义

$k_1=\frac{4bk{p}_3{\beta }^3}{p_{1}b{\beta }^4-4p_{2}bk{\beta }^3},k_2=\frac{4bck{\beta }^3}{p_{1}b{\beta }^4-4p_{2}bk{\beta }^3},k_3=\frac{4bcdk{\beta }^3}{p_{1}b{\beta }^4-4p_{2}bk{\beta }^3}$ 方程(19)和(14)有相同的首次积分，要找到它们的精确解，我们仅需讨论其中一个方程即可，下面我们将给出对方程(14)的求解过程。

现在，根据除法原理，我们假设 $X=X\left(\xi \right)$ 和 $Y=Y\left(\xi \right)$ 是方程(14)的非平凡解。且

$P\left(X,Y\right)={\displaystyle \underset{i=0}{\overset{m}{\sum }}{a}_i\left(X\right)Y^i}.$ (20)

在复数域 $C\left(X,Y\right)$ 中是一个不可约多项式，即

$P\left(X\left(\xi \right),Y\left(\xi \right)\right)={\displaystyle \underset{i=0}{\overset{m}{\sum }}{a}_i\left(X\left(\xi \right)\right)Y{\left(\xi \right)}^i}=0.$ (21)

这里 $a_i\left(X\right)\left(i=1,2,\cdots ,m\right)$ 是X的多项式以及 $a_m\left(X\right)\ne 0$。方程(21)称为(14)的首次积分。定义 $P\left(X\left(\xi \right),Y\left(\xi \right)\right)$ 关于X和Y的多项式，且 ${\frac{\text{d}P}{\text{d}\xi }|}_{\left(20\right)}=0$。根据除法定理，我们可以看到在复数域 $C\left(X,Y\right)$ 中存在一个多项式 $H\left(X,Y\right)=h\left(X\right)+g\left(X\right)Y$，使得

${\frac{\text{d}P}{\text{d}\xi }|}_{\left(20\right)}={\left(\frac{\text{d}P}{\text{d}X}\frac{\text{d}X}{\text{d}\xi }+\frac{\text{d}P}{\text{d}Y}\frac{\text{d}Y}{\text{d}\xi }\right)|}_{\left(20\right)}=\left(h\left(X\right)+g\left(X\right)Y\right)\left({\displaystyle \underset{i=0}{\overset{m}{\sum }}{a}_i\left(X\right)Y^i}\right).$ (22)

3.1. 情形一

在方程(21)中我们假设 $m=1$，即方程(22)可以被写成

${\displaystyle \underset{i=0}{\overset{1}{\sum }}{a^{\prime }}_i\left(X\right)Y^{i+1}}+{\displaystyle \underset{i=0}{\overset{1}{\sum }}i{a}_i\left(X\right)Y^{i-1}\left(Y^{\prime }\left(\xi \right)\right)}=\left(h\left(X\right)+g\left(X\right)Y\right)\left({\displaystyle \underset{i=0}{\overset{1}{\sum }}{a}_i\left(X\right)Y^i}\right).$ (23)

然后，在方程(23)中通过比较两边 $Y^i\left(i=2,1,0\right)$ 的系数，我们得到

${a^{\prime }}_1\left(X\right)=g\left(X\right)a_1\left(X\right),$ (24)

${a^{\prime }}_0\left(X\right)=h\left(X\right)a_1\left(X\right)+g\left(X\right)a_0\left(X\right),$ (25)

$a_1\left(X\right)\left(k_{1}X+k_2{X}^3+k_5{X}^5\right)=h\left(X\right)a_0\left(X\right).$ (26)

因为 $a_i\left(x\right)\left(i=0,1\right)$ 是X的一个多项式，从方程(24)中我们得出 $a_1\left(X\right)$ 是一个常数，且 $g\left(X\right)=0$。为了便于计算，我们令 $a_1\left(X\right)=1$。平衡 $h\left(X\right)$ 和 $a_0\left(X\right)$ 的阶数，我们得出 $\mathrm{deg}\left(h\left(x\right)\right)=2$。假设 $h\left(X\right)=A{X}^2+BX+C$，这里的 $A\ne 0$，那么

$a_0\left(X\right)=\frac{1}{3}A{X}^3+\frac{1}{2}B{X}^2+CX+D.$ (27)

其中D是任意的积分常数。将 $a_0\left(X\right),a_1\left(X\right),h\left(X\right)$ 代入方程(26)中，通过比较系数得到如下代数方程组

$\{\begin{array}{l}\begin{array}{l}\frac{1}{3}{A}^2=k_3\hfill \\ \frac{5}{6}AB=0\hfill \\ \frac{4}{3}AC+\frac{1}{2}{B}^2=k_2\hfill \end{array}\hfill \\ AD+\frac{3}{2}BC=0\hfill \\ BD+C^2=k_1\hfill \\ CD=0\hfill \end{array}$ (28)

用Maple求解它们，可得到

$D=0,B=0,A=\pm \sqrt{3k_3},C=\pm \sqrt{k_1},$ (29)

这里 $k_1,k_3<0$ 且满足约束条件

$k_1{k}_3=\frac{3}{16}{k}_2^2.$ (30)

把条件(29)代入(21)中，得

$Y=-\frac{1}{3}A{X}^3-CX.$ (31)

再由方程(8)有

${\phi }^{\prime }\left(\xi \right)=-\frac{1}{3}A\phi {\left(\xi \right)}^3-C\phi \left(\xi \right).$ (32)

为了求解(32)的解，我们引入伯努利方程 [17] 有

$Z^{\prime }=aZ+b{Z}^p,$ (33)

这里 $a,b,p\in R,ab\ne 0,p\ne 1$。则方程(33)有如下形式的解

$Z\left(\xi \right)={\left[\frac{-a/b}{{\xi }_{{}_0}{\text{e}}^{a\left(1-p\right)}+1}\right]}^{\frac{1}{p-1}},$ (34)

$=\{\begin{array}{l}{\left\{\frac{-a}{2b}\left[1+\tanh \left(\frac{a\left(p-1\right)}{2}\xi -\frac{\ln {\xi }_0}{2}\right)\right]\right\}}^{\frac{1}{p-1}}\text{if}{\xi }_0>0,\hfill \\ {\left\{\frac{-a}{2b}\left[1+\coth \left(\frac{a\left(p-1\right)}{2}\xi -\frac{\ln \left(-{\xi }_0\right)}{2}\right)\right]\right\}}^{\frac{1}{p-1}}\text{if}{\xi }_0<0,\hfill \\ {\left\{\frac{-a}{b}\right\}}^{\frac{1}{p-1}}\text{if}{\xi }_0=0.\hfill \end{array}$ (35)

这里 ${\xi }_0$ 为任意常数。令 $a=-C,b=-\frac{1}{3}A,p=3$ 代入方程(35)中有

$u\left(\xi \right)=\{\begin{array}{l}{\left\{\pm \frac{1}{2}\sqrt{\frac{3k_1}{k_3}}\left[1+\tanh \left(\sqrt{k_1}\xi -\frac{\ln {\xi }_0}{2}\right)\right]\right\}}^{\frac{1}{2}}\text{if}{\xi }_0>0,\hfill \\ {\left\{\pm \frac{1}{2}\sqrt{\frac{3k_1}{k_3}}\left[1+\coth \left(\sqrt{k_1}\xi -\frac{\ln \left(-{\xi }_0\right)}{2}\right)\right]\right\}}^{\frac{1}{2}}\text{if}{\xi }_0<0,\hfill \\ {\left\{\pm \sqrt{\frac{3k_1}{k_3}}\right\}}^{\frac{1}{2}}\text{if}{\xi }_0=0.\hfill \end{array}$ (36)

则广义非线性薛定谔方程(1)的行波解可写为

$u\left(x,t\right)=\{\begin{array}{l}{\left\{\pm \frac{1}{2}\sqrt{\frac{3k_1}{k_3}}\left[1+\tanh \left(\sqrt{k_1}\left(x-\lambda t\right)-\frac{\ln {\xi }_0}{2}\right)\right]\right\}}^{\frac{1}{2}}{\text{e}}^{\left(x-\omega t\right)}\text{if}{\xi }_0>0,\hfill \\ {\left\{\pm \frac{1}{2}\sqrt{\frac{3k_1}{k_3}}\left[1+\coth \left(\sqrt{k_1}\left(x-\lambda t\right)-\frac{\ln \left(-{\xi }_0\right)}{2}\right)\right]\right\}}^{\frac{1}{2}}{\text{e}}^{\left(x-\omega t\right)}\text{if}{\xi }_0<0,\hfill \\ {\left\{\pm \sqrt{\frac{3k_1}{k_3}}\right\}}^{\frac{1}{2}}{\text{e}}^{\left(x-\omega t\right)}\text{if}{\xi }_0=0.\hfill \end{array}$ (37)

3.2. 情形二

在方程(21)中我们假设 $m=2$，通过比较两边 $Y^i\left(i=2,1,0\right)$ 系数，我们得到

${a^{\prime }}_2\left(X\right)=g\left(X\right)a_2\left(X\right),$ (38)

${a^{\prime }}_1\left(X\right)=h\left(X\right)a_2\left(X\right)+g\left(X\right)a_1\left(X\right),$ (39)

${a^{\prime }}_0\left(X\right)+2a_2\left(X\right)\left(k_{1}X+k_2{X}^3+k_5{X}^5\right)=h\left(X\right)a_1\left(X\right)+g\left(X\right)a_0\left(X\right),$ (40)

$a_1\left(X\right)\left(k_{1}X+k_2{X}^3+k_5{X}^5\right)=h\left(X\right)a_0\left(X\right).$ (41)

因为 $a_i\left(x\right)\left(i=0,1,2\right)$ 是X的一个多项式，从方程(38)中我们得出 $a_2\left(X\right)$ 是一个常数，且 $g\left(X\right)=0$。为了便于计算，我们令 $a_2\left(X\right)=1$。平衡 $h\left(X\right),a_1\left(X\right)$ 和 $a_0\left(X\right)$ 的阶数，我们得出 $\mathrm{deg}\left(h\left(x\right)\right)=2$， $\mathrm{deg}\left(a_1\left(x\right)\right)=3$， $\mathrm{deg}\left(a_0\left(x\right)\right)=6$。假设 $h\left(X\right)=A{X}^2+BX+C$，这里的 $A\ne 0$，那么

$a_1\left(X\right)=\frac{1}{3}A{X}^3+\frac{1}{2}B{X}^2+CX+D.$ (42)

$\begin{array}{c}{a}_0\left(X\right)=\left(\frac{1}{18}{A}^2-\frac{1}{3}{k}_3\right)X^6+\left(\frac{1}{6}AB\right)X^5+\left(\frac{1}{3}AC+\frac{1}{8}{B}^2+\frac{1}{2}{k}_2\right)X^4\\ +\left(\frac{1}{3}AD+\frac{1}{2}BC\right)X^3+\left(\frac{1}{2}BD+\frac{1}{2}{C}^2-k_1\right)X^2+DCX+E.\end{array}$ (43)

其中D是任意的积分常数。将 $a_0\left(X\right),a_1\left(X\right),a_2\left(X\right),h\left(X\right)$ 代入方程(41)中，通过比较系数得到如下代数方程组

$\{\begin{array}{l}\begin{array}{l}\begin{array}{l}\frac{1}{18}{A}^3=\frac{2}{3}A{k}_3\hfill \\ \frac{2}{9}{A}^{2}B=\frac{5}{6}B{k}_3\hfill \\ \frac{7}{18}{A}^{2}C+\frac{7}{24}A{B}^2=\frac{5}{6}A{k}_2+\frac{4}{3}C{k}_3\hfill \\ \frac{1}{3}{A}^{2}D+ABC+\frac{1}{8}{B}^2=B{k}_2+D{k}_3\hfill \end{array}\hfill \\ \frac{7}{6}ABD+\frac{5}{6}A{C}^2+\frac{1}{8}{B}^{2}C=\frac{4}{3}A{k}_1+\frac{3}{2}C{k}_2\hfill \\ \frac{4}{3}ACD+\frac{1}{2}D{B}^2+B{C}^2=\frac{3}{2}B{k}_1+2D{k}_2\hfill \end{array}\hfill \\ \frac{3}{2}BCD+\frac{1}{2}{C}^2+AE=2C{k}_1\hfill \\ D{C}^2+BE=D{k}_1\hfill \\ EC=0,\hfill \end{array}$ (44)

用Maple求解它们，可得到

$D=0,B=0,A=\pm 2\sqrt{3k_3},C=\pm 2\sqrt{k_1},$ (45)

这里 $k_1,k_3<0$ 且满足约束条件

$k_1{k}_3=\frac{3}{16}{k}_2^2.$ (46)

把条件(37)代入(21)中，得

$Y=-\frac{1}{6}A{X}^3-\frac{1}{2}CX.$ (47)

再由方程(8)有

${\phi }^{\prime }\left(\xi \right)=-\frac{1}{6}A\phi {\left(\xi \right)}^3-\frac{1}{2}C\phi \left(\xi \right).$ (48)

同理，令 $a=-\frac{1}{2}C,b=-\frac{1}{6}A,p=3$ 代入方程(34)和(35)中，则方程(48)和(32)有相同的精确解。

4. 总结

在本文中，首次积分法成功地求解了广义非线性薛定谔方程和高阶色散非线性薛定谔方程，丰富了其解空间。与其他方法不同的是，它是求解精确行波解的一种有效的方法，即我们可以轻松地借助计算机软件完成其复杂的代数计算，从而得到了更精确的行波解，因此，该方法可以推广到求解更多非线性偏微分方程的精确解。