球形界面对向列相液晶系统中+1 boojum缺陷结构转变的影响

The Effect of Spherical Interface on the Structural Transition of +1 Boojum within the Nematic System

摘要: 基于Landau-de Gennes理论，利用二维有限差分迭代法，研究含有+1 bojum缺陷的纳米尺度圆柱内切球向列相液晶系统。讨论当球形界面分别为强、弱两种锚定条件时，+1 boojum缺陷的结构转变。通过与圆柱液晶系统中+1 boojum缺陷的结构转变过程进行比较，探究球形界面对+1 boojum缺陷结构转变的影响。结果表明，球形界面使得+1 boojum缺陷结构变小，且不会出现有序重构现象；该结论与球形界面的强、弱锚定条件无关。

Abstract: Based on the Landau-de Gennes theory, using a two-dimensional finite-difference iterative method, a cylinder-inscribed-sphere (CIS) nematic liquid crystal (NLC) system with +1 boojum under nanoscale was established. The structural transition of +1 boojum defect induced by the anchoring conditions on the spherical interface was firstly studied. Then, by comparing with the structural transition process of +1 boojum defect in the cylindrical liquid crystal cell, we studied the effect of spherical surface on the structural transition of +1 boojum defect. Results show that, the structure of +1 boojum will shrink and system will not reach the order reconstruction (OR) state. This phe-nomenon is mainly due to the geometry of spherical interface. Furthermore, the result is irrelevant to the anchoring conditions (weak or strong) on the boundary.

1. 引言

液晶(liquid crystals, LCs)中的拓扑缺陷是一种常见的位错。在单轴向列相液晶系统中，缺陷可根据其构型分为强度为 $s=\pm 1$ 的点缺陷和强度为 $s=\pm 1/2$ 的线缺陷 [1]。对于位于有界体积内的一个有序系统，处于平衡态的液晶系统包含一定数量的缺陷 [2]，但缺陷强度总和为0。例如，对于球形微滴的超流体³He-A，平衡态时系统表面存在一些点缺陷，即boojum缺陷 [2][3]。同样，在一个具有垂直边界条件的向列相液晶微滴中，当系统到达平衡态时，会出现另一种体缺陷(hedgehogs) [4][5]。然而，当微滴的边界为沿面锚定时，液晶微滴中会产生双极结构：其特征是两个点缺陷(boojums)在微滴的两极 [2]。

Karlj和Rosso等人 [6][7]运用Landau-de Gennes 理论 [8]，研究了一个包含+1缺陷的轴对称圆柱形液晶系统，上下基板分别为足够强的沿面锚定和足够强的垂直锚定，这样的几何限制和边界条件会在上基板诱导出一个boojum缺陷。当限制条件为几十纳米时，称这样的缺陷结构为手指形boojum (fingered boojum)。随后，Xiaoyu Jiang等人 [9]同样运用Landau-de Gennes理论和二维有限差分迭代法 [10]研究了一个包含−1缺陷的圆柱形简并混合排列向列相(DHAN)液晶盒，上下基板分别为强的垂直锚定和强的沿面锚定。当盒厚较大时会在下基板中心诱导一个boojum缺陷，对于该−1 boojum缺陷，其指向矢分布不具有轴对称性，但其双轴性分布具有轴对称性。当液晶的厚度减小到足够小(~20 nm)时，这两种液晶系统内均会诱导出有序重构(order reconstruction, OR)现象，即本征值交换。有序重构(本征值交换)现象首次由Schopohl和Sluckin在 $s=\pm 1/2$ 楔形向错中发现 [11]。本征值交换即两个具有正交指向矢的单轴态在两个基板间互相交换，中间不存在本征矢的转动，但本征值随位置连续变化，且存在一系列双轴态连接两个单轴态。随后，向列相液晶薄盒中的缺陷结构 [12][13][14][15]成为研究热点。其中，陈思博等人在研究包含拓扑缺陷的混合向列相液晶薄盒时发现，当液晶系统的厚度减小到约27.4 nm时，系统由缺陷态转变为有序重构态，即发生本征值交换，我们定义此时的盒厚为临界盒厚 [15]。

由于液晶具有各向异性的力学和光学性质，因此，液晶中的球形胶体则具有强的各向异性相互作用 [16]，并且这些系统的一个显著特征是具有拓扑缺陷 [17]。当具有强的切面锚定的球形胶体分散在液晶中时，一对拓扑表面boojum缺陷会出现在胶体粒子相反的两极 [18][19][20]。例如：Tasinkevychp [16]等人研究了一个以强切向锚定为特征的球形胶体粒子，通过改变锚定强度、胶体粒子半径和温度，讨论了三种类型的boojum缺陷核心(单核心、双核心和分裂核心)之间的结构转变。综上，圆柱形液晶系统与液晶中球形胶体上的boojum缺陷分别存在一定的研究，但没有将二者联系起来。本文在含有+1 boojum缺陷的圆柱形液晶系统的基础上，将上基板由平面基板换成半球状的曲面基板，建立一个含有+1 boojum缺陷的圆柱内切球液晶系统，研究该系统中boojum缺陷的结构特点。

本文运用Landau-de Gennes理论和二维有限差分迭代法 [10]，研究了一个具有轴对称性的纳米级圆柱内切球向列相液晶系统，通过改变半径的大小和球形界面的边界条件，来观察+1 boojum缺陷的结构转变情况；并通过与相同条件下的圆柱形向列相液晶盒中的boojum缺陷结构进行比较，来研究球形界面对+1 boojum缺陷结构转变的影响。

2. 几何模型

在一个轴对称的圆柱形向列相液晶盒的基础上，将其上基板由平面基板设置为半球状的曲面基板，下基板保持不变。如图1(a)所示，将圆柱和球的半径设为R，圆柱的高度设为d，上下基板中心的距离设为h $\left(h=d-R\right)$ ，我们把该模型称为圆柱内切球液晶盒。由于该圆柱内切球液晶盒是轴对称的，所以本文只选取ρ-z平面的一半来说明液晶分子的排列情况。如图1(b)所示，液晶分子在上基板沿球面排列，在下基板垂面排列，对于对称轴和外壁我们采用自由边界条件。当上下基板均设置为足够强的锚定强度时，会在球形界面中心处诱导出一个+1 boojum缺陷。将图1(c)所示圆柱形液晶盒模型作为对比模型，其上基板液晶分子沿面排列，在下基板垂面排列。为了更好地比较(b)、(c)两种模型中+1 boojum缺陷结构的转变过程，图1(b)中选取abcd截面，图1(c)中选取 $a^{\prime }{b}^{\prime }{c}^{\prime }{d}^{\prime }$ 截面来进行研究。

采用柱坐标系 $\left(\rho ,\phi ,z\right)$ 来建立模型，其对应的活动基为 $\left(e_{\rho },e_{\phi },e_z\right)$ ，其中 $e_{\rho }$ 沿半径方向， $e_z$ 沿对称轴方向，且有 $e_{\phi }=e_z\times e_{\rho }$ 。在柱坐标系下，指向矢可以写成 $n=\left(n_{\rho },n_{\phi },n_z\right)=\left(\sin \theta \cos \alpha ,\cos \theta \sin \alpha ,\cos \theta \right)$ ，

Figure 1. Geometric model of the LC cell. (a) CIS model in three-dimensional space; (b) Distribution of LC molecules at the spherical interface and lower substrates in ρ-z plane within CIS model; (c) Distribution of LC molecules at the upper and lower substrates in ρ-z plane within cylinder model

图1. 液晶盒的几何模型。(a)三维空间中的圆柱内切球模型；(b)在圆柱内切球液晶盒ρ-z平面内，液晶分子在球形界面和下基板处的分布情况；(c)在圆柱形液晶盒ρ-z平面内，液晶分子在上下基板处的分布情况

其中极角 $\theta$ 为指向矢与z轴的夹角，方位角 $\alpha$ 为指向矢在ρ-φ平面的投影与 $\rho$ 轴的夹角。

3. 理论方法

根据Landau-de Gennes理论，用序参数张量Q来描述液晶分子在三维空间下的有序程度，Q在主轴系中的表达式为 [21]

$Q={\displaystyle \underset{i=1}{\overset{3}{\sum }}{\lambda }_i{e}_i\otimes e_i}$ (1)

其中， ${\lambda }_i$ 和 $e_i$ 分别为Q的第i个本征值和本征矢。序参数张量Q是对称无迹的，满足 $trQ=0$ ， $Q_{ij}=Q_{ji}$ 。当系统处于单轴态时，Q的三个本征值中有两个是相等的，序参数张量Q可以表示为

$Q=S\left(n\otimes n-\frac{1}{3}I\right)$ (2)

其中S为标量序参数， $n$ 为液晶分子的指向矢，I表示单位张量。当序参数张量Q的三个本征值都不相等时，系统处于双轴态。双轴性的大小用双轴性参数 ${\beta }^2$ 来确定， ${\beta }^2$ 的表达式为 [22]

${\beta }^2=1-\frac{6{\left[tr\left(Q^3\right)\right]}^2}{{\left[tr\left(Q^2\right)\right]}^3}$ (3)

其取值范围为 $\left[0,1\right]$ 。当 ${\beta }^2=0$ 时，系统处于单轴态；当 ${\beta }^2=1$ 时，系统具有最大的双轴性。

3.1. 自由能密度

液晶系统无外加电场作用时，Landau-de Gennes理论的总自由能密度表示为 [6]

$F\left(Q\right)={\displaystyle {\int }_V\left(f_{\text{bulk}}+f_{\text{elastic}}\right)\text{d}V}+{\displaystyle {\int }_s{f}_{\text{surface}}\text{d}s}$ (4)

其中 $f_{\text{bulk}}$ 为只依赖于序参数张量Q的本体自由能密度，其具体的表达式为

$f_{\text{bulk}}=\frac{A}{2}tr{Q}^2-\frac{B}{3}tr{Q}^3+\frac{C}{4}{\left(tr{Q}^2\right)}^2$ (5)

其中A随温度T变化，表达式为： $A=A_0\left(T-T^{*}\right)$ ， $T^{*}$ 为最低过冷温度， $A_0$ ，B和C为材料常数。设 $T_{IN}$ 为相变温度，当 $T>T_{IN}$ 时， $S_{eq}=0$ ，系统处于各向同性相；当 $T<T_{IN}$ 时， $S_{eq}=\frac{B}{4C}\left(1+\sqrt{1-\frac{24AC}{B^2}}\right)$ ，系统处于各向异性相。弹性自由能密度 $f_{\text{elastic}}$ 是由于液晶取向序的不均匀引起的，并且还依赖序参数张量Q的空间变化率。若只考虑Q及导数的二次项，则它的表达式为 [23][24]

$f_{\text{elastic}}=\frac{1}{2}{L}_1{Q}_{ij,k}{Q}_{ij,k}+\frac{1}{2}{L}_2{Q}_{ij,j}{Q}_{ik,k}+\frac{1}{2}{L}_3{Q}_{lk}{Q}_{ij,l}{Q}_{ij,k}$ (6)

其中，系数 $L_i$ 与展曲( $K_{11}$ )，扭曲( $K_{22}$ )和弯曲( $K_{33}$ )弹性常数有关。为了简便，本文采用单一常数近似，将Frank理论中的三个弹性常数近似为K，即 $K_{11}=K_{22}=K_{33}=K$ ，则得到 $L=L_1=K/2S^2$ ，则弹性自由能密度的表达式可以简化为

$f_{\text{elastic}}=\frac{1}{2}{L}_1{Q}_{ij,k}{Q}_{ij,k}$ (7)

3.2. 边界条件

固定表面对液晶的锚定作用可通过序参数张量Q和锚定强度系数 $W_s$ 来描述。界面对液晶指向矢分布的影响是通过表面自由能反映的，而锚定能代表的是表面自由能中的各向异性部分，同时也反映了基板对液晶分子锚定作用的强弱。 $f_s$ 表示表面自由能密度 [25]，其表达式为

$f_s=\frac{1}{2}{W}_{s}tr{\left(Q-Q_s\right)}^2$ (8)

其中， $W_s=W/S_{eq}$ 为锚定强度系数，而W是通过Frank弹性理论得到的， $Q_s$ 为基板上易取向方向的序参数张量 [26]。

弱锚泊边界条件为：

$\frac{\partial f_s}{\partial Q_{ij}}+\frac{\partial f}{\partial Q_{ij,k}}{\stackrel{\to }{v}}_k+{\lambda }_0{\delta }_{ij}=0$ (9)

其中， ${\stackrel{\to }{v}}_k$ 为垂直于基板的外法线方向的单位矢量。

3.3. 无量纲化

根据Karlj等人 [6]提出的约化方法对系统进行无量纲化处理，引入以下无量纲化参数： $\tilde{f}=f/\left[B^4/{\left(4C\right)}^3\right]$ ， ${\tilde{Q}}_{ij}=Q_{ij}/q_0$ ， ${\tilde{W}}_s=W_s/q_{0}B\xi$ ， $\tilde{\rho }=\rho /\xi$ ， $\tilde{\phi }=\phi /\xi$ 和 $\tilde{z}=z/\xi$ ，其中 $q_0:=S_{eq}\left(T^{**}\right)=B/4C$ 是最高过热温度下的序参数， $\xi =\sqrt{L_1/B{q}_0}=\sqrt{4C{L}_1/B^2}$ 是向列相相干长度，用来约化长度变量。则约化后的本体自由能密度为：

$\begin{array}{c}{\tilde{f}}_{\text{bulk}}=\frac{\tilde{A}}{12}tr{\tilde{Q}}^2-\frac{1}{3}tr{\tilde{Q}}^3+\frac{1}{16}{\left(tr{\tilde{Q}}^2\right)}^2\\ =\frac{\tilde{A}}{12}\left({\tilde{Q}}^2{}_{\rho \rho }+{\tilde{Q}}^2{}_{\phi \phi }+{\tilde{Q}}^2{}_{zz}+2{\tilde{Q}}^2{}_{\rho \phi }+2{\tilde{Q}}^2{}_{\rho z}+2{\tilde{Q}}^2{}_{\phi z}\right)-\frac{1}{3}[{\left({\tilde{Q}}^2\right)}_{\rho \rho }{\tilde{Q}}_{\rho \rho }+{\left({\tilde{Q}}^2\right)}_{\phi \phi }{\tilde{Q}}_{\phi \phi }\\ +{\left({\tilde{Q}}^2\right)}_{zz}{\tilde{Q}}_{zz}+2{\left({\tilde{Q}}^2\right)}_{\rho \phi }{\tilde{Q}}_{\rho \phi }+2{\left({\tilde{Q}}^2\right)}_{\rho z}{\tilde{Q}}_{\rho z}+2{\left({\tilde{Q}}^2\right)}_{\phi z}{\tilde{Q}}_{\phi z}]\\ +\frac{1}{16}{\left({\tilde{Q}}^2{}_{\rho \rho }+{\tilde{Q}}^2{}_{\phi \phi }+{\tilde{Q}}^2{}_{zz}+2{\tilde{Q}}^2{}_{\rho \phi }+2{\tilde{Q}}^2{}_{\rho z}+2{\tilde{Q}}^2{}_{\phi z}\right)}^2\end{array}$ (10)

其中， $\tilde{A}=24AC/B^2$ 是约化温度。约化后的弹性自由能密度为：

$\begin{array}{c}{\tilde{f}}_{\text{elastic}}=\frac{1}{2}{\left|\tilde{\nabla }\tilde{Q}\right|}^2\\ =\frac{1}{2}[{\tilde{Q}}^2{}_{\rho \rho ,\tilde{\rho }}+{\tilde{Q}}^2{}_{\rho \rho ,\tilde{z}}+{\tilde{Q}}^2{}_{\phi \phi ,\tilde{\rho }}+{\tilde{Q}}^2{}_{\phi \phi ,\tilde{z}}+{\tilde{Q}}^2{}_{zz,\tilde{\rho }}+{\tilde{Q}}^2{}_{zz,\tilde{z}}\begin{array}{c}\\ \end{array}\\ +2\left({\tilde{Q}}^2{}_{\rho \phi ,\tilde{\rho }}+{\tilde{Q}}^2{}_{\rho \phi ,\tilde{z}}\right)+2\left({\tilde{Q}}^2{}_{\rho z,\tilde{\rho }}+{\tilde{Q}}^2{}_{\rho z,\tilde{z}}\right)+2\left({\tilde{Q}}^2{}_{\phi z,\tilde{\rho }}+{\tilde{Q}}^2{}_{\phi z,\tilde{z}}\right)\\ +\frac{2}{{\tilde{\rho }}^2}\left({\tilde{Q}}^2{}_{\rho \rho }+{\tilde{Q}}^2{}_{\phi \phi }+4{\tilde{Q}}^2{}_{\rho \phi }+{\tilde{Q}}^2{}_{\rho z}+{\tilde{Q}}^2{}_{\phi z}-2{\tilde{Q}}_{\rho \rho }{\tilde{Q}}_{\phi \phi }\right)]\end{array}$ (11)

约化后的表面锚定能密度为：

$\begin{array}{c}{\tilde{f}}_s=\frac{1}{2}{\tilde{W}}_s\xi tr{\left(\tilde{Q}-{\tilde{Q}}_s\right)}^2\\ =\frac{1}{2}{\tilde{W}}_s\xi [{\tilde{Q}}^2{}_{\rho \rho }+{\tilde{Q}}^2{}_{\phi \phi }+{\tilde{Q}}^2{}_{zz}+2{\tilde{Q}}^2{}_{\rho \phi }+2{\tilde{Q}}^2{}_{\rho z}+2{\tilde{Q}}^2{}_{\phi z}\\ +{\tilde{Q}}^2{}_{s\rho \rho }+{\tilde{Q}}^2{}_{s\phi \phi }+{\tilde{Q}}^2{}_{szz}+2{\tilde{Q}}^2{}_{s\rho \phi }+2{\tilde{Q}}^2{}_{s\rho z}+2{\tilde{Q}}^2{}_{s\phi z}\\ -2\left({\tilde{Q}}^2{}_{\rho \rho }{\tilde{Q}}^2{}_{s\rho \rho }+{\tilde{Q}}^2{}_{\phi \phi }{\tilde{Q}}^2{}_{s\phi \phi }+{\tilde{Q}}^2{}_{zz}{\tilde{Q}}^2{}_{szz}+2{\tilde{Q}}^2{}_{\rho \phi }{\tilde{Q}}^2{}_{s\rho \phi }+2{\tilde{Q}}^2{}_{\rho z}{\tilde{Q}}^2{}_{s\rho z}+2{\tilde{Q}}^2{}_{\phi z}{\tilde{Q}}^2{}_{s\phi z}\right)]\end{array}$ (12)

则约化后的弱锚定边界条件为

$\frac{\partial {\tilde{f}}_s}{\partial {\tilde{Q}}_{ij}}+\xi \frac{\partial \tilde{f}}{\partial {\tilde{Q}}_{ij,\tilde{k}}}{v}_k+{\lambda }_0{\delta }_{ij}=0$ (13)

3.4. 动力学求解

基于之前的研究 [10][27]，可得序参数张量Q的动力学方程为：

$\frac{\partial Q}{\partial t}=\Gamma \left[-\frac{\delta f}{\delta Q}+\frac{1}{3}tr\left(\frac{\delta f}{\delta Q}\right)I\right]$ (14)

其中系数 $\Gamma ={6D^{*}/\left[1-3tr\left(Q^2\right)\right]}^2$ ， $D^{*}$ 是向列相液晶的转动扩散系数。对动力学方程进行约化

$\frac{\partial \tilde{Q}}{\partial t}=\tilde{\Gamma }\left[-\frac{\delta \tilde{f}}{\delta \tilde{Q}}+\frac{1}{3}tr\left(\frac{\delta \tilde{f}}{\delta \tilde{Q}}\right)I\right]$ (15)

其中 $\tilde{\Gamma }=\Gamma \times \left(B{q}_0\right)$ 。使用有限差分迭代法 [10]，将上式离散成差分形式

$\left[\tilde{Q}\left(t+\Delta t\right)-\tilde{Q}\left(t\right)\right]/\Delta t=-\tilde{\Gamma }\left[-\frac{\delta \tilde{f}}{\delta \tilde{Q}}+\frac{1}{3}tr\left(\frac{\delta \tilde{f}}{\delta \tilde{Q}}\right)I\right]$ (16)

其中，

$\frac{\delta \tilde{f}}{\delta \tilde{Q}}=\frac{\delta \tilde{f}}{\delta {\tilde{Q}}_{ij}}-\frac{\partial }{\partial \tilde{\rho }}\frac{\delta \tilde{f}}{\delta {\tilde{Q}}_{ij,\tilde{\rho }}}-\frac{1}{\tilde{\rho }}\frac{\delta \tilde{f}}{\delta {\tilde{Q}}_{ij,\tilde{\rho }}}-\frac{\partial }{\partial \tilde{z}}\frac{\delta \tilde{f}}{\delta {\tilde{Q}}_{ij,\tilde{z}}}$ (17)

4. 数值结果

模拟时采用液晶材料为5CB [28][29]，各个参数的数值为： $A_0=0.195\times {10}^6\text{J}/{\text{m}}^{\text{3}}\cdot \text{K}$ ， $B=7.155\times {10}^6\text{J}/{\text{m}}^{\text{3}}$ ， $C=8.82\times {10}^6\text{J}/{\text{m}}^{\text{3}}$ ， $L_1=10.125\times {10}^{-12}\text{N}$ 。因此可得到相干长度 $\xi$ 约为2.64 nm。约化温度设为 $\tilde{A}=2/3$ ，相应的约化标量序参数取值为 $\tilde{S}=1+\sqrt{1-\tilde{A}}\approx 1.577$ ，转动扩散系数 $D^{*}$ 设为 $0.35{\text{m}}^2\cdot {\text{N}}^{-1}\cdot {\text{s}}^{-1}$ [27]。在数值计算中，我们设圆柱的高度 $d=40\xi$ 不变，半径r的初值为 $10\xi$ ，则上下基板中心的距离为 $h=d-r$ ，随着半径r的增大，h逐渐减小。

4.1. 强锚定边界条件

在球形界面和下基板均为强锚定的圆柱内切球液晶盒中，液晶分子在下基板垂面排列，在上基板沿面排列。当系统到达平衡态时，会在球形界面的中心处诱导出一个+1 boojum缺陷。首先逐渐增大液晶盒的半径，观察boojum缺陷的结构转变过程。随后，通过与相同边界条件的圆柱形液晶盒中的结构转变过程进行比较，研究球形界面对+1 boojum缺陷结构转变的影响。最后，通过对比序参数张量Q在对称轴 $r=0$ 处的本征值图，来观察boojum缺陷结构中指尖位置的变化情况。

图2为在圆柱内切球液晶盒中，不同半径下的球形界面上的+1 boojum缺陷的双轴性局部放大图。图2(a)所示，当 $r=10\xi$ 时，在球形界面上诱导出了一个很小的+1 boojum缺陷结构，其他区域均为单轴态。继续增大半径，球形界面上的+1 boojum缺陷结构逐渐变大。当半径增大到 $27\xi$ (图2(b))时，系统的双轴性结构开始发生变化，除了+1 boojum缺陷外还出现了一个缺陷环。继续增大半径，如图2(c)和图2(d)所示，缺陷环的双轴性逐渐变大，最后缺陷环沿着球形界面向上扩散。

为了更好的探究球形界面对boojum缺陷结构转变的影响，下面研究以R为半径，h为盒厚的圆柱形向列相液晶盒中boojum缺陷结构的转变过程。为了方便进行对比分析，把圆柱模型上下基板的锚定条件

Figure 2. Biaxiality profiles of partial enlargement of +1 boojum defect in CIS LC cell. (a) $r=10\xi ,h=30\xi$ ; (b) $r=27\xi ,h=13\xi$ ; (c) $r=30\xi ,h=10\xi$ ; (d) $r=37\xi ,h=3\xi$

图2. 圆柱内切球液晶盒中，+1 boojum缺陷的双轴性局部放大图。(a) $r=10\xi ,h=30\xi$ ；(b) $r=27\xi ,h=13\xi$ ；(c) $r=30\xi ,h=10\xi$ ；(d) $r=37\xi ,h=3\xi$

设成与圆柱内切球液晶盒相同的锚定条件，即下基板为强的垂面锚定，上基板为强的沿面锚定。

首先，在 $r=10\xi ,h=30\xi$ 的圆柱形液晶盒中除了在上基板中心处诱导出一个boojum缺陷外，由于液晶盒半径较小还发生了有序重构(图3(a))，这与图2(a)相比具有很大的差异。当 $r=27\xi ,h=13\xi$ (图3(b))时，在圆柱形液晶盒中诱导出了一个+1 boojum缺陷和一个缺陷环。与图2(b)比较，圆柱形液晶盒内诱导出的boojum缺陷和缺陷环的双轴性都相对较大。当 $r=30\xi ,h=10\xi$ (图3(c))时，由于到达了与 [15]中临界盒厚相同的尺度条件，圆柱形液晶盒内发生了有序重构现象，而在圆柱内切球液晶盒中只是缺陷环的双轴性变大。继续增大半径，减小盒厚，当 $r=37\xi ,h=3\xi$ 时，如图3(d)所示，由于盒厚足够小圆柱形液晶盒内发生有序重构，而在圆柱内切球液晶盒内没有发生有序重构，只是缺陷环的双轴性变得更大并且沿着球形界面向上扩散(图2(d))。通过对比发现，在强锚定边界条件下，由于球形界面的影响，boojum缺陷结构变小并且有序重构现象消失。

Figure 3. Biaxiality profiles about the structural transition of the +1 boojum in the cylindrical LC cell with the increases of radius and decreases of the cell gap. (a) $r=10\xi ,h=30\xi$ ; (b) $r=27\xi ,h=13\xi$ ; (c) $r=30\xi ,h=10\xi$ ; (d) $r=37\xi ,h=3\xi$

图3. 在含有+1缺陷的圆柱形液晶盒内，随着半径的增大和盒厚的减小，以双轴性表征的+1 boojum缺陷的转变过程。(a) $r=10\xi ,h=30\xi$ ; (b) $r=27\xi ,h=13\xi$ ; (c) $r=30\xi ,h=10\xi$ ; (d) $r=37\xi ,h=3\xi$

当系统处于平衡态时，在对称轴 $r=0$ 处，boojum核心处为负序参数单轴态，其末端为一个各向同性点，这个点称为指尖(finger tip) [6][7]；沿着对称轴 $r=0$ 向下，指尖下端液晶分子处于正序参数单轴态。下面通过序参数张量Q在对称轴 $r=0$ 的本征值图来确定boojum缺陷结构中指尖的位置；随后，通过比较指尖位置的变化情况来表征球形界面对boojum缺陷结构的影响。

图4(a)和图4(b)分别描述了，圆柱内切球液晶盒和圆柱形液晶盒中， $r=27\xi ,h=13\xi$ 时，序参数张量Q在对称轴 $r=0$ 处的本征值图，其中三个本征值相交的地方代表指尖(finger tip)所在的位置 $\left(q_1=q_2=q_3\right)$ 。从图中我们可以看出，在交点的左侧液晶分子处于正序参数单轴态 $\left(q_3>0>q_1=q_2\right)$ ，而在右侧液晶分子处于负序参数单轴态 $\left(q_1=q_2>0>q_3\right)$ 。对比图4(a)和图4(b)，我们发现图(a)中指尖的位置更靠近球形界面。随着盒厚的增大，两种液晶盒中指尖的位置呈现出一个线性升高的趋势，如图4(c)所示。同时在相同盒厚下，圆柱内切球液晶盒中boojum缺陷结构指尖的位置更靠近球形界面。通过这种现象也可以表征

Figure 4. Profiles about the eigenvalue configurations of the order parameter tensor Q at the symmetry axis $r=0$ when $r=27\xi ,h=13\xi$ . (a) Eigenvalue profiles within the CIS LC cell; (b) Eigenvalue profiles within the cylindrical LC cell. (c) Comparison of the positions of the fingertips in the +1 boojum defect structure in the LC cells of the two models with different cell gaps

图4. $r=27\xi ,h=13\xi$ 时的序参数张量Q在对称轴 $r=0$ 处的本征值图。(a)圆柱内切球液晶盒；(b)圆柱形液晶盒；(c)为在不同盒厚下，这两种模型的液晶盒内+1 boojum缺陷结构中指尖位置的对比图

出，球形界面的影响导致boojum缺陷结构减小。

综上所述，在圆柱内切球液晶盒中，当球形界面设定为强锚定边界条件时，较小的半径R会在球形界面中心处诱导出一个小的+1 boojum缺陷，而圆柱形液晶盒内不仅诱导出了一个boojum缺陷，由于液晶盒半径较小还发生了有序重构。随着半径的增大，在圆柱内切球液晶盒内，除了球形界面上的+1 boojum缺陷之外，还会出现缺陷环，且缺陷环会沿着球形界面向上扩散。而在圆柱形液晶盒中，随着半径的增大，盒厚的减小，首先是有序重构现象消失，只存在一个boojum缺陷；然后继续增大半径，会出现一个缺陷环，最终当 $r\ge 30\xi ,h\le 10\xi$ 时，由于到达了临界盒厚 [15]，缺陷环会发展成新的有序重构。

4.2. 弱锚定边界条件

本节研究球形界面为弱锚定边界条件时，+1 boojum缺陷结构的转变情况。根据文献 [7]中表述，boojum缺陷的出现需要足够强的锚定能，因此，本节中锚定能设置为相对较大的数值。首先，设定锚定强度系数 $W=1\times {10}^{-3}\text{J}/{\text{m}}^{\text{2}}$ ，约化后的锚定强度系数 ${\tilde{W}}_s=0.82$ 。通过研究在不同半径下+1 boojum缺陷的双轴性的局部放大图(图5(a)，图5(b))和在对称轴 $r=0$ 处的本征值图(图5(c)，图5(d))来观察液晶盒内+1 boojum缺陷结构的转变情况。最后通过与相同弱锚定条件下圆柱形液晶盒内的boojum缺陷的结构转变过程进行比较，来探究弱锚定条件下球形界面对+1 boojum缺陷结构形变的影响。

当圆柱内切球液晶盒的半径 $r=10\xi$ 时，如图5(a)所示，由于半径较小的原因，导致在球形界面中心处诱导出一个特殊的boojum缺陷，通过观察与之对应的在对称轴 $r=0$ 处的本征值图(图5(c))可知，在对称轴上液晶分子一直处于正序参数单轴态，并没有出现指尖结构和负序参数单轴态，且不符合典型的boojum缺陷结构的特征。所以我们将此特殊的boojum缺陷定义为无指尖boojum缺陷。然而，当半径 $r=20\xi$ 时(图5(b))，由于锚定强度的原因，球形界面中心处诱导出一个非常小的+1 boojum缺陷和一个缺陷环，此结构与图2(b)中所示结构类似。图5(d)为与图5(b)相对应的对称轴 $r=0$ 处的本征值图，从图中

Figure 5. Profiles of biaxiality partial enlargement of the boojum defect in the CIS LC cell and the eigenvalue diagrams of the order parameter tensor Q at the symmetry axis $r=0$ under the weak anchoring boundary condition when $W=1\times {10}^{-3}\text{J}/{\text{m}}^{\text{2}}$ . (a) and (c) $r=10\xi ,h=30\xi$ ；(b) and (d) $r=20\xi ,h=20\xi$

图5. 在弱锚定边界条件下，锚定强度系数 $W=1\times {10}^{-3}\text{J}/{\text{m}}^{\text{2}}$ 时，圆柱内切球液晶盒中的boojum缺陷的双轴性局部放大图和序参数张量Q在对称轴 $r=0$ 的本征值图。(a)和(c) $r=10\xi ,h=30\xi$ ；(b)和(d) $r=20\xi ,h=20\xi$

我们观察到指尖的位置非常靠近球形界面。

图6为这两种模型的液晶盒中弱锚定条件下+1 boojum缺陷结构的对比，其中图6(a)和图6(b)为圆柱内切球液晶盒中双轴性分布的局部放大图，图6(c)和图6(d)为圆柱形液晶盒中双轴性分布图。当 $r=10\xi ,h=30\xi$ 时，圆柱内切球液晶盒内球形界面中心处诱导出了一个无指尖boojum缺陷(图6(a))，而圆柱形液晶盒中不但在上基板中心处诱导出了一个+1 boojum缺陷，由于半径较小，还出现了有序重构现象(图6(c))。逐渐增大半径、减小盒厚，当 $r=31\xi ,h=9\xi$ 时，在这两种模型内除了诱导出一个+1 boojum缺陷外，由于接近临界盒厚 [15]，圆柱形液晶盒内还发生了有序重构(图6(d))，而圆柱内切球液晶盒只出现了一个双轴性较大的缺陷环(图6(b))。

综上，当球形界面及上基板为弱锚定边界条件并且锚定强度系数 $W=1\times {10}^{-3}\text{J}/{\text{m}}^{\text{2}}$ 时，对于圆柱内切球液晶盒，球形界面会在半径较小( $r\approx 10\xi$ )时诱导出一个无指尖boojum缺陷，而在圆柱形液晶盒内会发

Figure 6. Biaxiality enlargement profiles under the weak anchoring boundary condition when $W=1\times {10}^{-3}\text{J}/{\text{m}}^{\text{2}}$ in two models. (a) and (b) are partial enlarged details of the biaxiality configurations in the CIS LC cell; (c) and (d) are biaxiality configurations in the cylindrical LC cell. In (a) and (c), $r=10\xi ,h=30\xi$ ; (b) and (d), $r=31\xi ,h=9\xi$

图6. 弱锚定边界条件下( $W=1\times {10}^{-3}\text{J}/{\text{m}}^{\text{2}}$ )两种模型的双轴性示意图，(a)和(b)是圆柱内切球液晶盒中的双轴性分布的局部放大图；(c)和(d)是圆柱形液晶盒中的双轴性分布图。(a)和(c) $r=10\xi ,h=30\xi$ ，(b)和(d) $r=31\xi ,h=9\xi$

生有序重构现象。当半径R增大到大约 $20\xi$ 时，在圆柱内切球液晶盒中，球形界面中心处会诱导出一个非常小的+1 boojum缺陷，并伴随一个缺陷环；而在圆柱形液晶盒中，有序重构现象消失，只存在一个+1 boojum缺陷。继续增大半径，在圆柱内切球液晶盒中缺陷环的双轴性逐渐变大，最终沿着球形界面向上扩散，且不会出现有序重构现象；而在圆柱形液晶盒中，除了+1 boojum缺陷外还会诱导出一个缺陷环，且缺陷环的双轴性逐渐变大。最终，当半径 $r\ge 31\xi ,h\le 9\xi$ 时缺陷环转变为有序重构。

5. 结论

本文主要研究了含有+1缺陷的纳米级的圆柱内切球液晶盒，其球形界面分别为强、弱两种锚定条件时，界面处诱导的+1 boojum缺陷的结构特征和结构转变情况。随后，在相同锚定条件下，通过与含有+1缺陷的圆柱形液晶盒中的+1 boojum缺陷结构转变过程进行比较，得到球形界面对+1 boojum缺陷形变的影响。

在强锚定边界条件下，对于圆柱内切球液晶盒，球形界面中心处会诱导出一个+1 boojum缺陷。当 $r=27\xi ,h=13\xi$ 时，系统发生结构转变，在液晶盒内出现了一个缺陷环；随着半径的逐渐增大，缺陷环的双轴性逐渐增大，最终会沿着球形界面向上扩散。对于圆柱形液晶盒，当 $r=10\xi ,h=30\xi$ 时，系统发生有序重构。随着半径增大、盒厚减小，有序重构现象逐渐消失，液晶盒内只存在一个+1 boojum缺陷。继续增大半径、减小盒厚，液晶盒内会出现一个缺陷环；当半径 $r\ge 30\xi$ ，盒厚 $h\ge 10\xi$ 时，缺陷环发展成为新的有序重构现象。

在弱锚定边界条件下，对于圆柱内切球液晶盒，当 $r=10\xi ,h=30\xi$ 时，球形界面上会诱导出一个无指尖boojum缺陷。当半径 $r\approx 20\xi$ 时，球形界面中心处会诱导出一个非常小的+1 boojum缺陷和一个缺陷环。然而，对于圆柱形液晶盒，其液晶盒内+1 boojum缺陷的转变过程与强锚定边界条件下的转变过程几乎一致，只是当半径 $r=31\xi$ ，盒厚 $h=9\xi$ 时，液晶盒内才出现新的有序重构现象。综上，通过对比圆柱内切球液晶盒和圆柱形液晶盒中的+1 boojum缺陷的结构转变过程，可得：在纳米级圆柱内切球液晶盒内，由于球形界面的影响会导致boojum缺陷的结构变小，且不会出现有序重构现象。该现象与球形界面处的强、弱锚定条件无关。

Boojum缺陷在液晶的非显示方面具有重要的应用。例如，利用圆环状胶体在向列相液晶中产生的boojum缺陷实现了新型的二维材料 [30]；通过球形胶体在向列相液晶中产生的boojum缺陷捕获了等离子体纳米粒子，并形成新的二聚体单元 [31]等。

致 谢

本课题由国家自然科学基金(11374087, 11447179)支持。作者感谢河北工业大学理学院、电子信息工程学院以及天津市材料器件重点实验室。

基金项目

国家自然科学基金(No.11374087, No.11447179)。

NOTES

^*通讯作者。