扇面形散射元构建的二维光子晶体慢光模拟研究

Simulation Study on Slow Light of 2-D Photonic Crystals by Sector Scatterers

摘要: 本文用扇面形散射元构建空气孔型光子晶体模型，构建线缺陷波导，利用平面波展开法分别模拟其TM模式下的色散曲线，并通过改变散射元参数，求得群折射率、群速度、带宽、归一化延迟带宽积和色散常数，获得群折射率较大且带宽较大的理想模型。针对散射元，整体改变波导结构，分面对面型、背对背型和旋转30˚三种，对其计算结果进行比较分析。

Abstract: In this paper, the air hole photonic crystal model is constructed by sector scatterers, and the linear defect waveguide is constructed. The dispersion curves in TM mode are simulated by using plane wave expansion method, and the group refractive index and group velocity are obtained by changing the parameters of scattering elements. The ideal model with large group refractive index and large bandwidth is obtained by normalized delay bandwidth product and dispersion constant. The waveguide structure is changed as a whole, and the scattering elements are divided into three types: face to face type, back to back type and rotation 30˚. The calculated results are compared and analyzed.

1. 引言

光子晶体是一种介质折射率在空间中成周期性排列的人工功能材料 [1] [2] [3] ，最早由Yablonovitch [4] 和John [5] 各自独立提出，其周期(即晶格常数)与光波长的数量级大致相同 [6] 。按照光子晶体的折射率在空间中周期性变化的维度进行分类，它可以分为一维光子晶体、二维光子晶体和三维光子晶体 [7] 。目前，光子晶体的理论研究方法主要有平面波展开法 [8] 、有限时域差分法 [9] 和传输矩阵法 [10] 三种。

与半导体中的电子能带相类似，由于周期性势场的调制，光子晶体同样存在光子禁带(Photonic Band Gap, PBG) [11] [12] [13] ，频率处于禁带范围内的光波不能在光子晶体中传播，因此可以实现对光的调制。慢光 [14] [15] [16] 是指光波的波包群速度明显低于光在真空中传播的速度，可以通过耦合腔波导和线缺陷波导来实现 [17] [18] 。线缺陷波导中又分为后向散射和全反射两种散射机制 [1] 。光子晶体波导具有很多优异的性能 [19] ，可以实现大的时间延迟、增加相位移动的幅度、增强非线性效应 [20] [21] 等作用，在全光缓存、光学延迟线和全光开关等领域 [22] [23] 具有重要的应用。

本文利用扇面形散射元构建空气孔型六边形光子晶体结构，通过去掉一排散射元来构建线缺陷波导模型，计算不同散射元结构参数下对应的TM模式色散曲线，进而求其群折射率、群速度、归一化延迟带宽积、带宽和色散常数，比较分析不同波导结构的数据结果，寻找群折射率较大且带宽较宽的模型。

2. 模型结构

扇面形散射元的结构如图1所示，它具有三个结构参数：半径r、宽度d、角度 $\theta$ 。三个自由度比普通的圆形和椭圆形散射元具有更高的可调性，因此更容易获得比较理想的结果。散射元的介电常数 $\epsilon =11.56$ (硅)，填充介质的介电常数 $\epsilon =1$ (空气)。本研究采用六边形晶格结构，构建空气孔型光子晶体，图2为用扇面形散射元构建的光子晶体六边形晶格结构。

3. 模拟分析

3.1. 慢光中的基本概念

众所周知，群折射率n_g可以由公式(1)表示：

Figure 1. Sector scatterer

图1. 扇面形散射元

Figure 2. Photonic crystal with hexagonal lattice structure

图2. 光子晶体六边形晶格结构

$n_g=\frac{c}{v_g}=c\frac{\text{d}k}{\text{d}\omega }$ (1)

其中ω是入射波(脉冲)的中心角频率， $k=2\text{π}{n}_{eff}/\lambda$ ，n_eff是有效折射率，λ是工作频率的波长。带入k对公式(1)进一步展开得到公式(2)：

$n_g=n_{eff}+\omega \frac{\text{d}{n}_{eff}}{\text{d}\omega }$ (2)

对慢光而言，通常 $n_g\gg n_{eff}$ ，则公式(3)近似为：

$n_g\approx \omega \frac{\Delta n}{\Delta \omega }$ (3)

简化得公式(4)：

$n_g\frac{\Delta \omega }{\omega }\approx \Delta n$ (4)

公式(4)中，n_gΔω/ω称为延迟带宽积，是评价慢光的主要参数。有效折射率的最大变化可表示为公式(5)：

$\Delta n_{\max }=\frac{k_{\max }}{f_1}-\frac{k_{\min }}{f_2}\approx \frac{k_{\max }-k_{\min }}{f_1}$ (5)

公式(5)中， $f_1$ 和 $f_2$ 指的是群折射率 $n_g$ 取±x%时对应的频率上下限，一般取±10%，a值也是根据工作波长而作相应改变后的数值。色散系数D则有公式(6)表示。

$D=\frac{1}{c}\frac{\text{d}{n}_g}{\text{d}\lambda }$ (6)

目前，归一化延迟带宽积已成为评价慢光效应的主要参数，因为它既包含了群折射率的大小，又包含了带宽的宽度。而研究发现，群折射率越大，对应的带宽会越小，具体采用哪种参数的模型，应视具体情况而定。

3.2. 色散曲线的规律分析

在图2完整的六边形光子晶体晶格结构中，引入线缺陷，构成面对面型线缺陷波导结构，面对面指的是散射元的相对位置，如图3所示。

利用平面波展开法，改变散射元的角度 $\theta$ ，在第一布里渊区范围(位于0.3~0.5)内，寻找归一化频率 $f=\frac{\omega a}{2\text{π}c}$ 随 $\theta$ 的变化关系，如图4所示。可以发现，随着 $\theta$ 的增大，色散曲线由向下凹逐渐向向上凸转变，在转变的过程中，就会出现一段线性区域，根据公式(3)，具有线性区域的色散曲线容易找到平坦的慢光，因此寻找理想慢光也就是寻找存在线性区域的色散曲线。

3.3. 面对面型线缺陷波导的慢光特性分析

由课题组以前的研究得知 [14] [15] [16] ，空气孔型晶格结构的TM模式比较容易产生较理想的慢光，因此本研究针对这一模型展开研究，目的在于寻找群折射率较大且带宽较宽的模型，增大归一化延迟带

宽积( $n_g\frac{\Delta \omega }{\omega }$ )。

采用控制变量法，通过微调散射元参数进行优化，找到比较平坦的群折射率曲线，如图5所示。图5中对应的模型分别为：， $d=0.2a$ ， $\theta ={145}^{\circ }$ ， $n_g=39$ ； $r=0.225$ ， $d=0.225$ ， $\theta ={128}^{\circ }$ ， $n_g=43.2$ ； $r=0.25a$ ， $d=0.25a$ ， $\theta ={118.5}^{\circ }$ ， $n_g=51$ ； $r=0.275a$ ， $d=0.275a$ ， $\theta ={113.95}^{\circ }$ ， $n_g=66.1$ ； $r=0.3a$ ， $d=0.3a$ ， $\theta ={111.5}^{\circ }$ ， $n_g=91.9$ ，这是最大的群折射率值，同时也对应着最小的群速度， $v_{g\min }=0.011c$ 。归一化延迟带宽积的最大值为0.213。表1中的带宽是在工作波长 $\lambda =1550\text{nm}$ 下计算出的，变化范围为2.1~8.5 nm，对应的晶格常数 $a=185\text{nm}$ 。若用1 Thz的工作频率，即 $\lambda =300\text{μm}$ ，可获得398.7~1641.2 nm

Figure 3. Face-to-face line defect waveguide structure

图3. 面对面型线缺陷波导结构

Figure 4. Relationship of dispersion curve with θ

图4. 色散曲线随θ的变化关系

Figure 5. Group refractive index curve of face to face line defect waveguides

图5. 面对面型线缺陷波导的群折射率曲线

Table 1. n g , Δ λ , n g Δ ω / ω , v g in face-to-face line defect waveguide

表1. 面对面型线缺陷波导的 $n_g,\Delta \lambda ,n_g\Delta \omega /\omega ,v_g$

范围的平带带宽，对应的晶格常数为35.86 μm。

根据3.1中给出的公式，计算其各自的群速度、归一化延迟带宽积和带宽，见表1。其中Δλ的误差是±10%，单位是nm。

根据式(6)，取 $\lambda =1550\text{nm}$ ，使 $n_g$ 保持在±10%的变化范围内，计算各个模型的色散常数D，如图6所示。

D的单位是ps/mm∙nm，计算当 $\left|D\right|\le 1$ 时，波长的变化范围，即带宽，如表2所示，其最大值可达3.1 nm。若令 $f=1\text{Thz}$ ，带宽可达1641.2 nm。

3.4. 背对背型线缺陷波导的慢光特性分析

将图3中的散射元全部旋转180˚，得到背对背型线缺陷波导结构，见图7。

研究方法同3.3，计算其群折射率，寻找比较理想的慢光模型，如图8所示。各个模型的参数与面对面型的基本一致，只是个别角度有细微的变化。

$r=0.3a,d=0.3a,\theta ={111.7}^{\circ }$ 时， $n_g=92.6$ ，为最大值。群折射率可以实现39.0~92.6的可调范围。

表3为 $$ 时，各个参数模型所对应的群折射率、带宽、归一化延迟带宽积和群速度，此时晶格常数 $a=185.28\text{nm}$ 。

Table 2. a and Δ λ for | D | ≤ 1 in face to face line defect waveguides

表2. 面对面型线缺陷波导 $\left|D\right|\le 1$ 时的a及 $\Delta \lambda$

Figure 6. GVD curves of face to face line defect waveguides

图6. 面对面型线缺陷波导的GVD曲线

Figure 7. Back-to-back line defect waveguide

图7. 背对背型线缺陷波导

Figure 8. Group refractive index curve of back-to-back linear defect waveguides

图8. 背对背型线缺陷波导的群折射率曲线

Table 3. n g , Δ λ , n g Δ ω / ω , v g in back-to-back face line defect waveguides

表3. 背对背型线缺陷波导的 $n_g,\Delta \lambda ,n_g\Delta \omega /\omega ,v_g$

由表3可知，带宽的变化范围为8.5 nm，最大归一化延迟带宽积为0.215。若取 $f=1\text{Thz}$ ，即，平带带宽可实现397.2~1649.6 nm的变化范围，晶格常数为35.862 μm。

取 $\lambda =1550\text{nm}$ ， $\Delta n_g=\pm 10\%$ ，计算其色散常数D，如图9所示。由表中数据得， $\left|D\right|\le 1$ 时，最大带宽可达2.73 nm。取 $f=1\text{Thz}$ ，最大带宽可达1649.6 nm。

同样的， $\left|D\right|\le 1$ 的带宽值可由表4表示，D的单位还是ps/mm∙nm。

3.5. 旋转30˚后线缺陷波导的慢光特性分析

将图3中的扇面形散射元对称旋转30˚，得到旋转30˚线缺陷波导，如图10所示。

利用控制变量法，寻找比较理想的群折射率曲线，如图11所示。对应的参数分别为： $r=0.2a$ ， $d=0.2a$ ， $\theta ={160}^{\circ }$ ， $n_g=36.2$ ； $r=0.225a$ ， $d=0.225a$ ， $\theta ={140}^{\circ }$ ， $n_g=41.1$ ； $r=0.25a$ ， $d=0.25a$ ， $\theta ={128}^{\circ }$ ， $n_g=49.8$ ； $r=0.275a$ ， $d=0.275a$ ， $\theta ={120.5}^{\circ }$ ， $n_g=63.7$ ； $r=0.3a$ ， $d=0.3a$ ， $\theta ={114.8}^{\circ }$ ， $n_g=83.3$ ，为最大值。即通过调控参数，此模型可以实现群折射率从36.2到83.3的调谐。

表5列出了工作波长时，各个参数模型的群折射率、带宽、归一化延迟带宽积和群速度，此时晶格常数 $a=187.88\text{nm}$ 。

由表5可以看出，平带带宽可实现3.0~10.8 nm的调谐，最大归一化延迟带宽积为0.253，最小的群速度为0.012c。若令工作频率 $f=1\text{Thz}$ ，平带带宽可实现583.2~2094.3 nm的变化。图12为 $\lambda =1550\text{nm}$

Figure 9. GVD curve of a back-to-back line defect waveguide

图9. 背对背型线缺陷波导的GVD曲线

Table 4. a and Δ λ for | D | ≤ 1 in back-to-back line defect waveguides

表4. 背对背型线缺陷波导 $\left|D\right|\le 1$ 时的a及 $\Delta \lambda$

Figure 10. Rotating 30˚ post-line defective waveguide

图10. 旋转30度线缺陷波导

Figure 11. The group refractive index curve of a linear defect waveguide after rotation 30˚

图11. 旋转30˚后线缺陷波导的群折射率曲线

Table 5. n g , Δ λ , n g Δ ω / ω , v g in a linear defect waveguide after rotation 30˚

表5. 旋转30˚后线缺陷波导的 $n_g,\Delta \lambda ,n_g\Delta \omega /\omega ,v_g$

时，散射元旋转30˚后线缺陷波导的色散常数曲线。

表6为 $\lambda =1550\text{nm}$ ， $\left|D\right|\le 1$ 时的a值及带宽值。可见，带宽的最大值可达4.3 nm。若令 $f=1\text{Thz}$ ，

Figure 12. GVD curve of the waveguide with line defects after rotation 30˚

图12. 旋转30˚后线缺陷波导的GVD曲线

Table 6. a and Δ λ in a linear defect waveguide after rotation 30˚ when | D | ≤ 1

表6. 旋转30˚后线缺陷波导 $\left|D\right|\le 1$ 时的a及 $\Delta \lambda$

则带宽最大可达2094.3 nm。

3.6. 三种模型的比较分析

对于面对面型和背对背型线缺陷波导结构，比较表1和表3可知，无论是群折射率和带宽，还是归一化延迟带宽积和群速度，这两种模型的数据结果几乎完全相同，只有很细微的差别，可以认为无差别。比较表2和表4，可以看出， $\left|D\right|\le 1$ 时，两种模型的带宽值有一定的差别，并且无明显的大小关系。比如，时，面对面线缺陷型波导结构的带宽值为3.1 nm，背对背型线缺陷波导结构的带宽值为2.73 nm，前者大于后者。而当 $r=d=0.225$ 时，面对面型波导的带宽值为2.1 nm，背对背型波导的带宽值为2.26 nm，前者小于后者。当 $n_g=66.1$ 时，面对面型波导的带宽值为0.3 nm，但背对背型波导在 $n_g=66.1$ 时却无带宽。当 $n_g=91.9$ 时，面对面型波导无带宽值，而背对背型在 $n_g=92.6$ 时的带宽值为0.62 nm。

对于面对面型和旋转30˚后线缺陷波导结构，比较表1和表5可知，对于群折射率，旋转30˚后波导结构的数值均比面对面型的要小，因此群速度值均比面对面型波导结构的大。同时，旋转30˚后的带宽值均比面对面型的要大。而对于归一化延迟带宽积，却没有明确的大小关系。比如， $r=d=0.2a$ 时的带宽积，面对面型要小于旋转30˚后的；但 $r=d=0.225a$ 时的带宽值，面对面型的要大于散射元旋转30˚后的波导结构。对于 $\left|D\right|\le 1$ 时的带宽值，面对面型波导结构明显小于旋转30˚后的波导结构。

4. 结论

本文用扇面形散射元构建六边形空气孔型光子晶体线缺陷波导结构，利用控制变量法，调节散射元的结构参数，分别计算其TM模式下的色散曲线，进而得到其群折射率、群速度、带宽、归一化延迟带宽积和色散常数。分别对面对面型、背对背型和旋转30˚后的线缺陷波导结构进行计算，经过比较分析可以得到：通过优化，采用面对面型或背对背型模型，都可以实现较好的慢光效果，优化结构的归一化延迟带宽积分别为0.213，0.215，只是结构参数不同；旋转30˚后的模型，可以很好实现波导的慢光平带带宽值变大，优化结构的归一化延迟带宽积为0.253，也有明显提高，但对于较高的群折射率这一优势不明显。在具体的研究中，可以视具体需要选择结构模型、参数等，通过优化设计，获得较理想的慢光效果。

基金项目

本文国家自然科学基金(11144007)和山东省自然科学基金(ZR2016AM27)资助课题。