有限生成剩余有限群的素数阶自同构

Finitely Generated Residually Finite Groups with Automorphisms of Prime Order

摘要: 设 是有限生成剩余有限群G的素数p阶自同构，映射 是满射，则G是幂零类至多为h(p)的幂零群，其中h(p)是与素数p有关的函数。特别地，如果 是2阶自同构，那么G是交换群。

Abstract: Let be an automorphism of prime order p of a finitely generated residually finite group G. If the map defined by is surjective, then G is nilpotent of class at most h(p), where h(p) is a function depending only on p. In particular, if is of order 2, then G is abelian.

1. 引言

本文采用的符号和术语都是标准的，按照 [1] 。

在群论中，如果群G的自同构 $\alpha$ 只有平凡的不动点，那么称 $\alpha$ 是无不动点自同构。

Burnside [2] 证明了：具有2阶无不动点自同构的有限群是奇阶交换群。这是有限群中的一个经典的结论。随后，Neumann [3] 考虑了任意群的3阶无不动点自同构，得到了下面的结果。

命题1.1：设 $\alpha$ 是群G的3阶无不动点自同构，如果映射 $\phi :G\to G(g\mapsto [g,\alpha ])$ 是满射，那么G是幂零类2的幂零群。

在 [4] 中，我们研究了有限秩的剩余有限可解群的素数p阶无不动点自同构，证明了下面的结论。

命题1.2：设 $\alpha$ 是有限秩的剩余有限可解群G的素数p阶无不动点自同构，如果映射 $\phi :G\to G\left(g\mapsto \left[g,\alpha \right]\right)$ 。

是满射，那么G是幂零类至多为 $h\left(p\right)$ 的幂零群，其中 $h\left(p\right)$ 是与素数p有关的函数。

在 [5] 中，我们舍去无不动点自同构的假设，在满射的条件下，仅考虑自同构的阶数对群结构的影响，研究了有限生成无挠幂零群的素数p阶自同构，得到了下面的命题。

命题1.3：设 $\alpha$ 是有限生成无挠幂零群G的素数p阶自同构，映射 $\phi :G\to G\left(g\mapsto \left[g,\alpha \right]\right)$ 是满射，则G是幂零类至多为 $h\left(p\right)$ 的幂零群，其中 $h\left(p\right)$ 是与素数p有关的函数。

在本文中，我们考虑更一般的有限生成剩余有限群的素数p阶自同构，得到了下面的定理，推广了命题1.3。

定理1.1：设 $\alpha$ 是有限生成剩余有限群G的素数p阶自同构，映射 $\phi :G\to G\left(g\mapsto \left[g,\alpha \right]\right)$ 是满射，则G是幂零类至多为 $h\left(p\right)$ 的幂零群，其中 $h\left(p\right)$ 是与素数p有关的函数。特别地，如果 $\alpha$ 是G的2阶自同构，那么G是交换群。

2. 定理的证明及推论

引理2.1 [4] ：设 $\alpha$ 是任意群G的自同构，H是群G的指数有限的特征子群，如果映射 $\phi :G\to G\left(g\mapsto \left[g,\alpha \right]\right)$ 是满射，那么 $\alpha$ 诱导了G/H的无不动点自同构。

引理2.2 [6] ：设 $\alpha$ 是有限群G的素数p阶无不动点自同构，则G是幂零群。

引理2.3 [7] ：设 $\alpha$ 是局部幂零群G的素数p阶无不动点自同构，则G是幂零类至多为 $h\left(p\right)$ 的幂零群，其中 $h\left(p\right)$ 是与素数p有关的函数。

定理1.1的证明：因为G是有限生成剩余有限群，任取 $1\ne g\in G$ ，存在 $g\notin N_g⊲G$ ，使得 $G/N_g$ 是有限群并且 $\underset{g}{\cap }{N}_g=1$ 。不妨设 $\left|G:N_g\right|=m$ ，则 $g\notin G^m\le N_g$ ，于是

$\underset{m}{\cap }{G}^m\le \underset{g}{\cap }{N}_g=1$ 。

因为 $G/G^m$ 是幂指数有限的有限生成群，所以 $G/G^m$ 是有限群。由引理2.1可知 $\alpha$ 诱导了 $G/G^m$ 的无不动点自同构，再由引理2.2可知 $G/G^m$ 是幂零群，最终由引理2.3可知 $G/G^m$ 是幂零类至多为 $h\left(p\right)$ 的幂零群，其中 $h\left(p\right)$ 是与素数p有关的函数。记 $\bar{G}=G/G^m$ ，则对任意的 $$ ，有 $\left[{\bar{g}}_1,{\bar{g}}_2,\cdots ,{\bar{g}}_{h\left(p\right)+1}\right]=\bar{1}$ ，从而

$\left[g_1,g_2,\cdots ,g_{h\left(p\right)+1}\right]\in G^m$ 。

进而

$\left[g_1,g_2,\cdots ,g_{h\left(p\right)+1}\right]\in \underset{m}{\cap }{G}^m=1$ 。

因此G是幂零类至多为 $h\left(p\right)$ 的幂零群。如果 $\alpha$ 是G的2阶自同构，那么 $\alpha$ 诱导了 $G/N_g$ 的2阶无不动点自同构。由Burnside的经典结果得到 $G/N_g$ 是交换群。所以任取 ${\bar{h}}_1,{\bar{h}}_2\in G/N_g$ ，都有 $\left[{\bar{h}}_1,{\bar{h}}_2\right]=1$ ，从而

$\left[h_1,h_2\right]\in N_g$ 。

进而

$\left[h_1,h_2\right]\in \underset{g}{\cap }{N}_g=1$ 。

这表明G是交换群。

应用定理1.1，我们可以得到如下推论。

推论2.1：设G是有限生成剩余有限群的有限扩张且 $\alpha$ 是G的素数p阶自同构，如果映射 $\phi :G\to G\left[g\to \left[g,\alpha \right]\right]$ 是满射，那么G是幂零类至多为 $h\left(p\right)$ 的幂零群，其中 $h\left(p\right)$ 是与素数p有关的函数。特别地，如果 $\alpha$ 是2阶自同构，那么G是交换群。

证明：设G是有限生成剩余有限群N的有限扩张，则G/N是有限群且N是有限剩余有限群。不妨设G/N的幂指数为n，则 $G^n\le N$ ，注意到 $G/G^n$ 为幂指数有限的有限生成群，所以 $G/G^n$ 为有限群。因为 $G^n\le N$ 为有限生成剩余有限群，由定理1.1的证明可知，任取 $1\ne g\in G^n$ ， $G^n$ 包含指数有限的正规子群 $H_g$ ，使得 $\underset{g}{\cap }{H}_g=1$ 。容易验证 $G/H_g$ 为有限群。由定理1.1的证明可知，G是幂零类至多为 $h\left(p\right)$ 的幂零群，其中 $h\left(p\right)$ 是与素数p有关的函数。特别地，如果 $\alpha$ 是2阶自同构，那么G是交换群。

推论2.2：设 $\alpha$ 是多重循环群G的素数p阶自同构，如果映射 $\phi :G\to G\left[g\to \left[g,\alpha \right]\right]$ 是满射，那么G是幂零类至多为 $h\left(p\right)$ 的幂零群，其中 $h\left(p\right)$ 是与素数p有关的函数。特别地，如果 $\alpha$ 是2阶自同构，那么G是交换群。

证明：由 [8] 可知多重循环群是有限生成的并且是剩余有限群，因此由定理1.1可得推论2.1。

推论2.3：设 $\alpha$ 是有限生成交换群被幂零群的扩张G的素数p阶自同构，如果映射 $\phi :G\to G\left[g\to \left[g,\alpha \right]\right]$ 是满射，那么G是幂零类至多为 $h\left(p\right)$ 的幂零群，其中 $h\left(p\right)$ 是与素数p有关的函数。特别地，如果 $\alpha$ 是2阶自同构，那么G是交换群。

证明：由 [9] 的定理1可知有限生成的交换群被幂零群的扩张是剩余有限的。因此由定理1.1可得推论2.3。

推论2.4：设 $\alpha$ 是有限生成线性群G的素数p阶自同构，如果映射 $\phi :G\to G\left[g\to \left[g,\alpha \right]\right]$ 是满射，那么G是幂零类至多为 $h\left(p\right)$ 的幂零群，其中 $h\left(p\right)$ 是与素数p有关的函数。特别地，如果 $\alpha$ 是2阶自同构，那么G是交换群。

证明：由 [10] 的定理 VII 和定理 VIII 可知有限生成线性群是剩余有限的，因此由定理1.1可得推论2.4。

推论2.5：设 $\alpha$ 是有限生成无挠幂零群G的素数p阶自同构，映射 $\phi :G\to G\left[g\to \left[g,\alpha \right]\right]$ 是满射，则G是幂零类至多为 $h\left(p\right)$ 的幂零群，其中 $h\left(p\right)$ 是与素数p有关的函数。特别地，如果 $\alpha$ 是2阶自同构，那么G是交换群。

证明：由 [1] 的定理5.2.21可知有限生成无挠幂零群是剩余有限群，因此由定理1.1可得推论2.5。

基金项目

国家自然科学基金(11801129)，河北省教育厅拔尖人才项目(BJ2018025)，邯郸市科学技术研究与发展计划项目(1723208068-5)资助。