1. 引言
考虑如下的非平稳Ornstein-Uhlenbeck (O-U)过程:
(1)
其中W为标准布朗运动,参数
未知。
表示(1)的解的概率分布,(1)的似然率过程可具体表示如下 [1] :
(2)
其中,
,
。基于
的观测值,
在
之下的极大似然估计量(MLE)为:
已知
是强相合的,但根据
的值可知,分布行为和相应的速度是不同的。
1) 若
,(1)中过程X是遍历的,且
其中
表示依分布收敛。Florens-Landais和Pham [2] 利用Gärtner-Ellis定理得到了大偏差。Bercu和Rouault [3] 提出了精细大偏差,而Guillin和Liptser [4] 得到了中偏差。Gao和Jiang [5] 研究了一些偏差不等式以及中偏差。
2) 若
,(1)中过程X是非常返的,且
其中,
和
为两个独立的高斯随机变量 [6] 。
对于非平稳Ornstein-Uhlenbeck过程,如
的情况,Bercu,Coutin和Savy [7] 已经研究了
的精细大偏差。本文受非平稳高斯自回归过程的中偏差启发,考虑估计量
的中偏差上界。
2. 引理及证明
接下来介绍两个关键引理。
令
为一个非负函数且满足
。
引理1:若
,对任意的
和
,我们有
证明:由Girsanov’s公式,对
,Florens-Landais和Pham [2] 得到
当
时,有
由泰勒公式,我们有
由此可推得
(3)
对
,由简单计算得到
和
因此,
(4)
若
,则
利用(3)和(4),可推得
(5)
另一方面,若
,则
可推得
(6)
结合(3),(5)和(6),引理1得证。
引理2:对任意
,有
证明:因为对任意
,有
是
-鞅,对任意
,
其中,
。结合
,可得
故引理2得证。
3. 主要结论及证明
定理:若
,
以速度
满足中偏差上界,且速率函数为
如,对任意闭集
,
证明:对任意给定
,由引理2有
结合Worms [8] 中引理3,定理得证。
基金项目
南京航空航天大学2017年研究生创新基地(实验室)开放基金立项资助项目(项目编号:kfjj20170805)。