1. 引言
复哈达码矩阵在量子信息理论中有着重要作用。例如,它被用来解决最小路径覆盖问题 [1] [2] ,构造相互无偏基 [3] [4] [5] ,最大纠缠无偏基 [6] [7] [8] 等等;另一方面,复哈达码矩阵在理论物理的若干问题上有着大量应用 [9] 。然而,随着矩阵阶数的增加,复哈达码矩阵的结构变得越来越复杂,有关这方面工作的详细介绍读者可参考文 [9] 。
循环块组成的循环矩阵(BCCB矩阵)作为循环矩阵的推广引起了人们的广泛关注。例如,文 [10] 作者利用BCCB复哈达码矩阵构造无偏基。文 [11] 作者研究9阶BCCC复哈达码矩阵,并利用这些矩阵构造了一个新的9维两体量子系统中的无偏基集。
到目前为止,对BCCB复哈达码矩阵分类的相关研究并不多,即使是9阶复哈达码矩阵的分类也没得以完全解决。本文目的是构造BCCB复哈达码矩阵。我们给出了n2阶BCCB复矩阵是哈达码矩阵的一个充要条件,并利用这个条件构造了几类BCCB复哈达码矩阵。
2. 预备知识
设
是自然数。
定义2.1 [12] :设
是环R中的一个序列。
1) 对角阵
定义如下:
.
2) 循环阵
定义如下:
其中,
是
中的加法运算。因此C可写成:
3) n2阶方阵C被称为由循环块组成的循环矩阵(BCCB矩阵)是指它具有下面形式:
其中
都是n阶循环阵。
4) 一个n阶方阵H被称为复哈达码矩阵是指:方阵中每个元素的模都是1,并且
,其中,
是n阶单位阵,*是厄米特转置。
设
,傅立叶矩阵
定义如下:
众所周知,
是一个酉矩阵。记
由线性代数的基本知识,我们有
命题2.2:保持上述记号不变,下列结论成立。
1)
。
2) 若
,
,则
。
3. 矩阵的构造及例子
下面这个定理给出了一个
阶BCCB矩阵是哈达码矩阵的充要条件。
定理3.1:设
,
,
,且
,将C记为BCCB(A)。若A中元素的模全为1,则C是一个哈达码矩阵当且仅当
中元素的模全为1。
证明:设
。易知
.
于是有
.
由命题2.2知,
是n2阶对角阵。设
,记
,
,
.
则
。易知对任意
有
故C是哈达码矩阵当且仅当
是哈达码矩阵,当且仅当
.
当且仅当
中元素模全为n,当且仅当
中元素模为1。□
推论3.2:假设D是元素模全为1的n阶对角矩阵,则
和
都是哈达码矩阵。
证明:因为
是酉矩阵,故
和
成立,故由定理3.1可知结论成立。
例3.1:设
且a,b,c模全为1。设
,
,则
由推论3.2,我们得到一个9阶BCCB哈达码矩阵
。
推论3.3:设V是元素模全为1的n阶矩阵,则有
1) 若V是对角矩阵,则
和
是哈达码矩阵。
2) 若
中元素模全为1,则
是哈达码矩阵。
3) 若
,则
是哈达码矩阵。
证明:显然
,其中P是置换矩阵。
1) 因为
是酉矩阵,故
。因此
中元素模全为1。由定理3.1知
是哈达码矩阵。同理可证
也是哈达码矩阵。
2) 首先,
。因为
中元素模全为1,故
中元素模全为1。由定理3.1知
是哈达码矩阵。
3) 由
知
,于是有
,故
中元素模全为1。由定理3.1知
是哈达码矩阵。□
因为
是酉矩阵,所以存在对角矩阵
和酉矩阵
使得
。假设D是另一个对角矩阵且
,则
。作为前一推论的直接应用,我们有:
命题3.4:设
为n阶对角方阵,
是酉矩阵且
。假设
中元素模全为1,则
是哈达码矩阵。
备注:对比定理3.1,命题3.4变量更少,更容易构造BCCB哈达码矩阵。
例3.2:设
,设
易验证
是酉矩阵且
。设
。经计算有
则BCCB(A)是哈达码矩阵当且仅当
(1)
假设
,则BCCB(A)是哈达码矩阵当且仅当
的模都是2,即对任意
,BCCB(A)是哈达码矩阵,其中
假设
。此时,有方程组(1)知
。故问题转化为求解方程组
(2)
i) 假设
。由方程组(2)知,存在
使得
显然,此时方程组总有解。因此,对任意
,若取
则BCCB(A)是哈达码矩阵。
ii) 假设
。同理,对任意
,若取
则BCCB(A)是哈达码矩阵。
基金项目
感谢本文审稿人的宝贵意见,本论文由国家自然科学基金资助(编号:11501564)。