1. 引言
一个参数为
码本C是N个单位复向量构成的序列
,对于每个子码本
称为码字。码本C的最大相关值 [1] 定义为
,
其中
表示复向量c的共轭转置。在许多应用中,码本的性质与
大小紧密相关。特别的,希望码本C的最大互相关尽可能地小。Welch [1] 指出给定参数
后,码本的最大互相关有下界
:
引理1 [1] . 对于任意的参数为
的码本
且满足
,
,
等号成立当且仅当对于任意的
且
有
,这时称C为最佳码本。
构造最佳码本十分困难,Fickus和Mixon给出了一些已有的最佳码本 [2] 。一种替代方法是构造近似最佳码本,使得当N足够大时,近似最佳码本的最大互相关值与最佳码本的足够接近。近似最佳码本的构造相对简单,并且在很多场合中与最佳码本性质近似。目前已有的方法主要可以归纳为采用几乎差集法 [3] [4] 、域上特征和法 [5] [6] 和bent函数法 [7] 等。张和冯 [8] 给出了八阶分圆类上的几乎差集构造的近似最佳码本。Hu和Wu [9] 采用定义了在差集的笛卡尔积上的近似最佳码本。本文将Hu和Wu的方法进行推广,构造了四阶分圆类对应的几乎差集的笛卡尔积上的近似最佳码本。
2. 基础知识
设G是一个有限交换群,D是群G的k阶子集。定义
,其中
。D被称为有限交换群G中参数为
的几乎差集合,如果G中的t个非零元
对应的
取值为
,其它
个非零元
对应的
取值为
。
是q阶有限域,
,p是
的特征。设
是
的一个本原元,
。对有限域
,存在q个从
到复平面单位圆上的同态
,满足
.
这种同态称为有限域
的加法特征,简称特征 [10] 。这q个特征的集合记为
。如果
,则称为平凡特征。设D是
的子集,定义
,对两个不同的特征
,定义
,仍然是
是的特征 [10] 。
对有限域
,
,可将其非零元素均分为 个子集:
。
称为e阶分圆类,显然有
,
。
引理1 [11] :设
,f是奇数。
是其二次划分,且
,t的符号由选取的本原元决定。则当
是
几乎差集当且仅当
。此时有
我们首先估计任意非平凡特征
在集合
的值。实际上该值Ding等人在文 [11] 中已经给出,我们重新整理可以得到:
引理2 [11] :有限域
,则有
证明:设
,则
。
根据引理1有
Ding等 [11] 证明了
,
。于是
.
所以
,
。
3. 构造码本
设
是有限域,
且都满足引理1的条件。
是
中参数为
的几乎差集,
。
。对
,令
,且
是相应的平凡特征。设
。对
。
。这时
是F上的特征。这种特征的集合记为
。显然有
。
现在我们构造F一个的子集D。设
,对于任意的
,设
.
最后,设
。用数学归纳法容易得到
,
。
定义3. 上面的集合D,我们定义码本:
. (1)
对于每个
,
(2)
下面我们证明码本
是几乎最佳码本,证明的关键是计算最大相关值
。因为码本
中的码字
是定义在D上的,所以需要估计特征在D中元素值的累加和。
引理4. 对于F中的特征
,
,
有
证明:我们用数学归纳法证明该引理。
若
时,若
是平凡特征,显然有
;若
不是平凡特征,则根据引理2知
,那么以上的结果成立。
现假设
时结果是正确的,下面分析n的情况。
如果
,那么
是平凡特征。因此,以上结果是正确的。如果
,则又分为以下三种情形:
1)
,
所以
.
2)
,
在这种情况中我们可以得到:
再根据假设有
3)
在这种情况中我们可以得到:
所以根据假设及引理2有
定理5.
是由(1)式定义的码本。则
的参数为
且有
.
证明:设
和
是
中的两个码本且
。由(2)式我们可以得到
由于
,
是F的非平凡特征。利用引理4即可得证:
注6. 对于一个参数为
的码本。易算得
.
因此
.
当所有
。
推论7. 当定理5中所用的有限域都相同时,不妨设都是
。此时对应的
密码本满足:
.
对应的Welch界是
。因此,
.
基金项目
国家自然科学基金(No. 61502217)。