一类三阶半线性中立型时滞微分方程的振动性

Oscillation of a Class of Third Order Semi-Linear Neutral Delay Differential Equations

摘要: 研究了一类中立型的三阶半线性微分方程的振动性，应用Riccati变换技巧构造不同的函数和经典不等式等方法，建立该类微分方程的一些新的振动性理论，所得结论推广和改进了文献中的相关结果，并举例来阐述新的振动性结论的应用。

Abstract: The oscillations of a class of neutral third order semi-linear differential equations are studied. Different functions and classical inequalities are constructed by using Riccati transformation techniques. Some new oscillatory theories of this kind of differential equations are established. The conclusions generalize and improve the relevant results in the literature, and illustrate the application of the new oscillatory conclusions with examples.

1. 引言

考虑如下的一类三阶半线性中立型时滞微分方程

${\left[r\left(t\right){\left|Z^{″}\left(t\right)\right|}^{\alpha -1}{Z}^{″}\left(t\right)\right]}^{\prime }+q\left(t\right){\left|x\left(\sigma \left(t\right)\right)\right|}^{\beta -1}x\left(\sigma \left(t\right)\right)=0,t\ge t_0>0,\beta >\alpha .$ (E)

的振动性。其中 $Z\left(t\right)=x\left(t\right)+p\left(t\right)x\left(\tau \left(t\right)\right)$ ， $\beta >0,\alpha >0$ ， $\alpha ,\beta$ 为两个正奇整数之比。

假设下列条件成立

(A₁) $p\left(t\right),q\left(t\right)\in C\left(\left[t_0,\infty \right),\left(0,\infty \right)\right),0\le p\left(t\right)\le p<1,q\left(t\right)>0$ ；

(A₂) $r\left(t\right)\in C^1\left(\left[t_0,\infty \right),\left(0,\infty \right)\right),r\left(t\right)\ge 0,r^{\prime }\left(t\right)\ge 0,{\displaystyle {\int }_{t_{\text{0}}}^{\infty }{r}^{-\frac{1}{\alpha }}}\left(s\right)\text{d}s\le +\infty$ ；

(A₃) $\tau \left(t\right),\sigma \left(t\right)\in C^1\left(\left[t_0,\infty \right),\left(0,\infty \right)\right)$ ，对每一 $t\ge t_0$ ，都有 $\tau \left(t\right)\le t,\sigma \left(t\right)\le t$ ，

$\sigma \left(t\right)>0,{\sigma }^{\prime }\left(t\right)>0,\underset{t\to \infty }{\lim }\tau \left(t\right)=\underset{t\to \infty }{\lim }\sigma \left(t\right)=\infty .$

按照习惯，方程(E)的解称为振动的，如果它有任意大的零点；否则称其为非振动的.若方程(E)的所有解都是振动的，则称方程(E)是振动的；否则称其为非振动的 [1] 。

文 [2] [3] [4] 对二阶半线性中立型微分方程

${\left(r\left(t\right){\left|Z^{\prime }\left(t\right)\right|}^{\alpha -1}{Z}^{\prime }\left(t\right)\right)}^{\prime }+q\left(t\right){\left|x\left(\sigma \left(t\right)\right)\right|}^{\beta -1}x\left(\sigma \left(t\right)\right)=0.$ (1.1)

做了深入研究，给出一些新的振动准则。最近几年，三阶半线性微分方程的振动性研究开始受到关

注，但是其振动性研究成果还比较少，如文 [1] 、 [5] - [14] 。2017年惠远先等人在限制 ${\displaystyle {\int }_{t_0}^{\infty }{r}^{-\frac{1}{\alpha }}}\left(s\right)\text{d}s=+\infty$ 的

条件下，建立了保证方程(E)的所有解振动或者收敛到零的若干新的振动准则。

在文 [2] 、 [14] 工作的启发下，应用Riccati变换和经典不等式等技巧，建立了方程(E)在条件

${\displaystyle {\int }_{t_0}^{\infty }{r}^{-\frac{1}{\alpha }}}\left(s\right)\text{d}s\le +\infty$ 下 $\beta >\alpha ,\beta <\alpha ,\beta =\alpha$ 的考虑 $\beta >\alpha$ 。情形新的振动性结论，我们的结果推广和改进了

文献中的一些结果，并给出例子说明主要结果的应用性。

2. 引理

引理2.1 [14] 若 $x\left(t\right)$ 是方程(E)的最终正解，则 $Z\left(t\right)$ 只有下列两种可能，即存在 $T\ge t_0$ ，使得当 $t\ge T$ 时，有

$\left(A\right)Z\left(t\right)>0,Z^{\prime }\left(t\right)>0,Z^{″}\left(t\right)>0.$

$\left(B\right)Z\left(t\right)>0,Z^{\prime }\left(t\right)<0,Z^{″}\left(t\right)>0.$

引理2.2 [15] 若存在 $A>0$ ， $B>0$ ，且 $\alpha >0$ ，则 $Bu-A{u}^{\frac{\alpha +1}{\alpha }}\le \frac{{\alpha }^{\alpha }}{{\left(\alpha +1\right)}^{\alpha +1}}\frac{B^{\alpha +1}}{A^{\alpha }}$ 。

引理2.3 [16] 设 $u\left(t\right)>0,u^{\prime }\left(t\right)>0,u^{″}\left(t\right)\le 0,t\ge t_0$ ，则对任一 $\theta \in \left(0,1\right)$ ，存在 $T_{\theta }\ge t_0$ ，使得

$u\left(\sigma \left(t\right)\right)\ge \theta \frac{\sigma \left(t\right)}{t}u\left(t\right),t\ge T_{\theta }$

引理2.4 [6] 设 $u\left(t\right)>0,u^{\prime }\left(t\right)>0,u^{″}\left(t\right)>0,u^{‴}\left(t\right)\le 0,t\ge T_{\theta }$ ，则存在 $\gamma \in \left(\text{0,1}\right)$ 和 $T_{\gamma }\ge T_{\theta }$ ，使得

$u\left(t\right)\ge \gamma t{u}^{\prime }\left(t\right),t\ge T_{\gamma }$

引理2.5 [14] 设 $x\left(t\right)$ 是方程(E)的最终正解，且 $Z\left(t\right)$ 满足(B)，若

$\underset{t\to \infty }{\lim }{\displaystyle {\int }_{t_0}^t{\displaystyle {\int }_u^{\infty }{\left(\frac{1}{r\left(v\right)}{\displaystyle {\int }_v^{\infty }q\left(s\right)\text{d}s}\right)}^{\frac{1}{\alpha }}\text{d}v\text{d}u}}=+\infty .$ (2.1)

则 $\underset{t\to +\infty }{\lim }x\left(t\right)=0$ 。

3. 主要结果

为了利用Philos型积分平均技巧，为此引用如下一类函数F

令 $D=\left\{\left(t,s\right)|t\ge s\ge t_0\right\}$ ， $D_0=\left\{\left(t,s\right)|t>s\ge t_0\right\}$ 。

称函数 $H\left(t,s\right)\in C\left(D,R\right)$ 属于F类，记作 $H\left(t,s\right)\in F$ ，如果

i)

ii)

且在D上连续，存在函数，满足

使用记号：对于，令

，，，，，，，，T充分大。

定理3.1 若存在函数，满足和(2.1)式，且

(3.1)

则方程(E)的解振动，或者当时，。

证明 设方程(E)有非振动解，由于无实际意义，所以我们只考虑的情形。不失一般性，不妨设是方程(E)的最终正解，且。由引理2.1可知，存在，使当时，可能为(A)型或(B)型。

若为(A)型，即。

由于，所以，于是有

又因为，所以，从而有

(3.2)

由(3.2)和方程(E)可得

(3.3)

考虑Riccati变换

(3.4)

(3.4)式两边对t进行求导，并利用(3.3)，(3.4)得

(3.5)

由(A₂)可知，故易知。

由引理2.3，令，对任一，存在，使得

(3.6)

由引理2.4，存在和，使得

(3.7)

利用引理2.2，取，，，

则有

(3.8)

取，由于单调递减，所以当时，有。又因为，于是有。

联结式(3.6)，(3.7)和(3.8)，有

(3.9)

对(3.9)式两边同时从T到t进行积分，得

令，根据(3.1)式，则，这与矛盾，故假设不成立，即是方程(E)的振动解。

若满足(B)型，由于(2.1)式成立，故由引理2.5可得。证毕。

定理3.2若存在函数，使(2.1)式成立，且满足

(3.10)

则方程(E)的解振动，或者当时，。

证明 设方程(E)有非振动解，如同定理3.1的证明，若为(A)型，即，则(3.3)式成立，

定义广义Riccati函数

(3.11)

在(3.11)式两边对t进行求导，并利用(3.3)式得

(3.12)

由于，于是，

取，使当时，(3.12)式变成

(3.13)

对(3.13)式从T到t进行积分得

令，则，这与矛盾，故假设不成立，即是方程(E)的振动解。

若满足(B)型，由于(2.1)式成立，故由引理2.5可得。证毕。

推论3.3若存在函数和，使得(2.1)式成立，且满足

(3.14)

则方程(E)的每一解振动，或者当。

证明设方程(E)有非振动解，如同定理3.1的证明，若为(A)型，定义Riccati变换中的函数如同(3.4)式，则且(3.5)式成立。

对(3.5)式两边同时乘以，并从到t积分得

(3.15)

利用引理2.2，取，，，且

，故有

(3.16)

结合(3.15)和(3.16)式得

这与(3.14)式矛盾，故假设不成立，即是方程(E)的振动解。

若满足(B)型，由于(2. 1)式成立，故由引理2.5可得。证毕。

4. 应用

例 考虑如下的三阶中立型微分方程

(E1)

在这里，我们取，，，，，，，，，由引理3知，当时，，，，T充分大。

所以

于是有

和

显然方程(E₁)满足定理3.1的条件(3.1)和(2.1)，且满足定理3.2的条件(3.10)，即知方程(E₁)的解振动，或者当时，。

基金项目

1) 广东省茂名市科技计划项目(2015038)；2) 广东石油化工学院理学院科研扶持基金重点项目(KY2018001)。

NOTES

^*通讯作者。