均以5为尾数的两整数之积的简化算法

A Simplified Algorithm for the Product of Two Integers with a Mantissa of 5

摘要: 本文建立了均以5为个位数的两整数相乘的简化算法，特别方便口算、速算，在实际社会生活中具有一定的应用价值。

Abstract: This paper establishes a simplified algorithm that multiplies two integers with a single digit of 5, which is especially convenient for oral calculation and quick calculation. It has practical application value in social life.

1. 引言

建立一些简化算法，方便于学生和人们口算、速算，在教学研究领域及教学实践中均具有较重要的实际意义。

均以5为个位数的两个相同整数之积(即该整数的平方)是可以按照已有简化算法速算的，并受到普通百姓的普遍欢迎 [1] 。例如25 × 25 = (2 × 3) 25 = 625，35 × 35 = (3 × 4) 25 = 1225……

但是如果两个整数不相同，如15 × 35，65 × 85等，那应该怎样简化计算呢?

2. 简化算法公式的建立

要寻求均以5为尾数的两个不相同整数乘积的简化算法，可先从两个相同整数之积进行分析：

$n5\times n5=\left[n\left(n+1\right)\right]25=\left[n\times n+\frac{n+n}{2}\right]25$

那么n5 × (n + 1) 5就可以表示为：

$n5\times \left(n+1\right)5=\left[n\left(n+1\right)+n\right]75=\left[n\times \left(n+1\right)+\frac{n+\left(n+1\right)-1}{2}\right]75$

同样：

$n5\times \left(n+2\right)5=\left[n\times \left(n+2\right)+\frac{n+\left(n+2\right)}{2}\right]25$

$n5\times \left(n+3\right)5=\left[n\times \left(n+3\right)+\frac{n+\left(n+3\right)-1}{2}\right]75$

$n5\times \left(n+4\right)5=\left[n\times \left(n+4\right)+\frac{n+\left(n+4\right)}{2}\right]25$

$n5\times \left(n+5\right)5=\left[n\times \left(n+5\right)+\frac{n+\left(n+4\right)-1}{2}\right]75$

……

这样，我们就可以得到一个通式：

$n5\times m5=\left[n\times m+\frac{n+m}{2}\right]25$ (1)

$n5\times m5=\left[n\times m+\frac{n+m-1}{2}\right]75$ 当m, n只有一个为奇数 (2)

或者用另外一种表达方式：

$n5\times m5=\left[n\times \left(m+1\right)+\frac{m-n}{2}\right]25$ (3)

$n5\times m5=\left[n\times \left(m+1\right)+\frac{m-n-1}{2}\right]75$ 当m, n只有一个为奇数 (4)

(3) (4)与(1) (2)完全等价。

(1) (2)式用文字可以表述为： $n5\times m5$ 等于m与n的积再加上m + n的平均数，尾跟25，或当m, n

有一个为奇数时，尾跟75，而且平均数是两个数之和减1后的平均数： $\frac{n+m-1}{2}$ 。

3. 简化算法公式的适用范围及推广应用

3.1. 简化算法公式的适用范围

当m, n为0时，5 × 5 = 25，公式(1)或(3)均成立。

当m, n相同时， $n5\times n5=\left[\left(n\times n+n\right)\right]25=\left[n\left(n+1\right)\right]25$ ，还原成老百姓常用的简化算法了。

对于均以5为尾数的任意两整数之积，上述公式均是适用的，这一点可用数字归纳法证明(略)。

例如，对于45 × 85，应用公式(1)，其积为：

$45\times 85=\left[4\times 8+\frac{4+8}{2}\right]25=3825$

又如，对于65 × 75，应用公式(2)，其积为：

$65\times 75=\left[6\times 7+\frac{6+7-1}{2}\right]75=4875$

3.2. 简化算法公式的推广应用

此处上述公式还可推广应用不是以5为尾数的两整数相乘。

例如， $55\times 43=55\times 45-55\times 2=2475-110=2365$

又如： $35\times 88=35\times \left(85+3\right)=35\times 85+35\times 3=2975+105=3080$

这样的例子还可以举出很多，这样十分方便口算、速算，不仅适用于学生，也适用于社会普通老百姓。

另外一种算法，就是将两数之积变为2个相同数的平方，再加上剩余部分，如：

$35\times 45=35\times \left(35+10\right)=35\times 35+35\times 10=1575$

但是对于m与n相差较大时，该方法不如上述公式(1) (2)或(3) (4)来得方便，如：

$35\times 95=35\times \left(35+60\right)=35\times 35+35\times 60=1225+2100=3325$

这不如应用公式(1)来得方便。

$35\times 95=\left[3\times 9+\frac{3+9}{2}\right]25=3325$

4. 小结

由上述可见，公式(1)和(2)是适用于均以5为尾数的任意两个整数之间相乘积的简化计算的，对于尾数非5的整数之计算，也可作适当变换，再利用公式(1)或(2)来加快计算速度，便于口算，具有一定的实用价值。

这里想借用英国伟大的哲学家、实验科学的创始人弗兰西斯·培根的话作为本文的结束语：读史使人明智，读诗使人巧慧，数学使人精明，博物使人深沉，伦理之学使人庄重，逻辑与修辞使人善辩 [2] [3] [4] [5] [6] 。

NOTES

^*通讯作者。