单调保k变换半群OR_n(K)的Green关系

Green’s Relations of Semigroup Monotone and k-Preserving Transformations

摘要: 设X_n=﹛1,2,...n﹜是有限集， Sing_n是X_n上的奇异变换半群，O_n和R_n是Sing_n上的保序变换之集和反保序变换之集，令OR_n(K) =﹛α∈O_n:Kα=K﹜∪﹛α∈R_n:Kα=K﹜，刻画了半群OR_n(K)的Green关系。

Abstract: Let X_n=﹛1,2,...n﹜ denote a finite set, Sing_n is Singular transformation semigroups on it. O_n and R_n is Order-preserving and anti-order-preserving transformation semigroups of Sing_n . Let OR_n(K) =﹛α∈O_n:Kα=K﹜∪﹛α∈R_n:Kα=K﹜, this paper describes Green’s relations of OR_n(K) .

1. 引言与准备

众所周知，半群的Green关系研究对于半群代数理论的形成和发展起了极其重要的作用，是研究半群的秩、组合数等的重要内容之一，许多学者对其进行了研究 [1] [2] [3] 。本文考虑 $O{R}_n\left(k\right)$ 的Green关系，标准定义及未解释符号请参考文献 [4] 。

设 $X_n=\left\{1,2,\cdots ,n\right\}$ 并赋予自然序， $T_n$ 是 $X_n$ 上的全变换半群， $Sin{g}_n=\left\{\alpha \in T_n:\left|im\alpha \right|<n\right\}$ 是 $X_n$ 上的奇异变换半群。设 $\alpha \in Sin{g}_n$ ，若对任意 $x,y\in X_n$ ，有 $x\le y\Rightarrow x\alpha \le y\alpha \left(x\le y\Rightarrow x\alpha \ge y\alpha \right)$ ，称 $\alpha$ 是保序(反序)的。设 $O_n$ 和 $R_n$ 分别为 $Sin{g}_n$ 上的保序变换之集和反保序变换之集，则 $O_n$ 是 $Sin{g}_n$ 的子半群，称 $O_n$ 为 $Sin{g}_n$ 上的保序变换半群。对任意 1 ≤ k ≤ n，令

$O_n\left(k\right)=\left\{\alpha \in O_n:k\alpha =k\right\}$ ，

$R_n\left(k\right)=\left\{\alpha \in R_n:k\alpha =k\right\}$ ，

则 $O_n\left(k\right)$ 和 $R_n\left(k\right)$ 是 $Sin{g}_n$ 的子集。

定义1：设 $1\le k\le n$ ，令

$O{R}_n\left(k\right)=O_n\left(k\right)\cup R_n\left(k\right)$ ，

显然， $O{R}_n\left(k\right)$ 在变换的合成下构成 $Sin{g}_n$ 的一个子半群，称之为单调保k变换半群。

定义2：设S是半群， $a\in S,B\subseteq S$ 及 $aB=\left\{ab:b\in B\right\}$ ，则下列五个关系：

$L=\left\{\left(a,b\right):a,b\in S,S^{1}a=S^{1}b\right\}$ ，

$R=\left\{\left(a,b\right):a,b\in S,a{S}^1=b{S}^1\right\}$ ，

$D=L\cdot R$ ，

$H=L\cap R$ ，

$J=\left\{\left(a,b\right):a,b\in S,S^{1}a{S}^1=S^{1}b{S}^1\right\}$

统称为半群S上的Green关系。显然，每个D_类是一些L_类与一些R_类的无交并。因此，每个D_类都具有矩阵结构(称为蛋盒图)，该矩阵的每一行是一个R_类，每一列是一个L_类，行与列的交叉位置是由R_类与L_类共同决定的H_类，且有限变换半群中 $D=J$ 。

2. 主要结果及证明

设 $A_i,A_j\subseteq X_n$ ，对任意 $x\in A_i,y\in A_j$ ，都有 $x<y$ ，记作 $A_i<A_j$ 。

设 $1\le k\le n$ ， $\alpha \in O{R}_n\left(k\right)$ ，记：

$p_{\alpha }\left(k\right)=\left\{y\in im\left(\alpha \right):y<k\right\},p_{\alpha }\left(k\right)=\left|p_{\alpha }\left(k\right)\right|$ ；

$Q_{\alpha }\left(k\right)=\left\{y\in im\left(\alpha \right):y<k\right\},q_{\alpha }\left(k\right)=\left|Q_{\alpha }\left(k\right)\right|$ ；

易知，对于 $A_1<A_2<\cdots <A_{p_{\alpha }\left(k\right)}<K_{\alpha }<B_1<B_2<\cdots <B_{q_{\alpha }\left(k\right)}$ ( $K_{\alpha }$ 表示 $\alpha$ 中k所在的核类)，半群 OR_n(k) 的元素 $\alpha$ 有如下标准表示：

情形1：元素 $\alpha \in O_n\left(k\right)$ ：

$(\begin{array}{c}{A}_i\\ \\ a_i\end{array}|\begin{array}{c}\\ a_i\in P_{\alpha }\left(k\right)\\ i=1,2,\cdots ,p_{\alpha }\left(k\right)\end{array}\begin{array}{c}{K}_{\alpha }\\ \\ k\end{array}\begin{array}{c}{B}_j\\ \\ b_j\end{array}|\begin{array}{c}\\ b_j\in Q_{\alpha }\left(k\right)\\ j=1,2,\cdots ,q_{\alpha }(k))\end{array}$

注1：当 $P_{\alpha }\left(k\right)=0$ 时， $K_{\alpha }$ 是 $\alpha$ 中最小的核类；当 $q_{\alpha }\left(k\right)=0$ 时， $K_{\alpha }$ 是 $\alpha$ 中最大的核类。

情形2：元素 $\alpha \in R_n\left(k\right)$ ：

$(\begin{array}{c}{A}_i\\ \\ a_i\end{array}|\begin{array}{c}\\ a_i\in Q_{\alpha }\left(k\right)\\ i=1,2,\cdots ,q_{\alpha }\left(k\right)\end{array}\begin{array}{c}{K}_{\alpha }\\ \\ k\end{array}\begin{array}{c}{B}_j\\ \\ b_j\end{array}|\begin{array}{c}\\ b_j\in P_{\alpha }\left(k\right)\\ j=1,2,\cdots ,p_{\alpha }(k))\end{array}$

注2：当 $q_{\alpha }\left(k\right)=0$ 时， $K_{\alpha }$ 是 $\alpha$ 中最小的核类；当 $P_{\alpha }\left(k\right)=0$ 时， $K_{\alpha }$ 是 $\alpha$ 中最大的核类。

定理1：设 $\alpha ,\beta \in O{R}_n\left(k\right)$ ，则 $\alpha L\beta \iff im\left(\alpha \right)=im\left(\beta \right)$ 。

证明：假设 $\left(\alpha ,\beta \right)\in L$ ，则存在 $\delta ,\gamma \in O{R}_n\left(k\right)$ ，使得 $\alpha =\delta \beta$ 且 $\beta =\gamma \alpha$ ，于是 $X_n\alpha =\left(X_n\delta \right)\beta$ 且 $X_n\beta =\left(X_n\gamma \right)\alpha$ ，从而 $im\left(\alpha \right)\subseteq im\left(\beta \right)$ 且 $im\left(\beta \right)\subseteq im\left(\alpha \right)$ 。因此 $im\left(\alpha \right)=im\left(\beta \right)$ 。反之，假设 $im\left(\alpha \right)=im\left(\beta \right)$ ， $\forall x\in X_n$ ，令

$x\delta =\{\begin{array}{l}\min \left(x\alpha \right){\beta }^{-1},x\in X_n\backslash \left\{k\right\},\\ k,x=k;\end{array}$

$x\gamma =\{\begin{array}{l}\min \left(x\beta \right){\alpha }^{-1},x\in X_n\backslash \left\{k\right\},\\ k,x=k;\end{array}$

则显然 $\alpha =\delta \beta$ 且 $\beta =\gamma \alpha$ 。且 $\delta ,\gamma \in O{R}_n\left(k\right)$ 。因此， $\left(\alpha ,\beta \right)\in L$ 。

定理2：设 $\alpha ,\beta \in O{R}_n\left(k\right)$ ，则 $\alpha R\beta \iff ker\left(\alpha \right)=ker\left(\beta \right)$ 。

证明：假设 $\left(\alpha ,\beta \right)\in R$ ，则存在 $\delta ,\gamma \in O{R}_n\left(k\right)$ ，使 $\alpha =\beta \delta$ ， $\beta =\alpha \gamma$ 。任取 $\left(x,y\right)\in ker\left(\alpha \right)$ ，若 $x\alpha =y\alpha$ ，则 $x\beta =\left(x\alpha \right)\gamma =\left(y\alpha \right)\gamma =y\beta$ ，从而。由 $x,y$ 的任意性可得， $ker\left(\alpha \right)\subseteq ker\left(\beta \right)$ 。同理可证得， $ker\left(\alpha \right)\supseteq ker\left(\beta \right)$ 。因此， $ker\left(\alpha \right)=ker\left(\beta \right)$ 。反之，假设 $ker\left(\alpha \right)=ker\left(\beta \right)$ 。不妨设

$\alpha =\left(\begin{array}{ccccccccc}{A}_1& A_2& \cdots & A_l& K_{\alpha }& B_1& B_2& \cdots & B_m\\ a_1& a_2& \cdots & a_l& k& b_1& b_2& \cdots & b_m\end{array}\right)$

$\beta =\left(\begin{array}{ccccccccc}{A}_1& A_2& \cdots & A_l& K_{\alpha }& B_1& B_2& \cdots & B_m\\ {\tilde{a}}_1& {\tilde{a}}_2& \cdots & {\tilde{a}}_l& k& {\tilde{b}}_1& {\tilde{b}}_2& \cdots & {\tilde{b}}_m\end{array}\right)$

其中， $A_1<A_2<\cdots <A_l<K_{\alpha }<\cdots <B_1<B_2<\cdots <B_m$ 。下面分四种情形讨论：

情形1：设 $\alpha ,\beta \in O_n\left(k\right)$ ，则 $a_1<\cdots <k<\cdots <b_m,{\tilde{a}}_1<\cdots <k<\cdots <{\tilde{b}}_m$ 令

$\delta =\left(\begin{array}{ccccccc}\left[1,{\tilde{a}}_1\right]& \left({\tilde{a}}_1,{\tilde{a}}_2\right]& \cdots & \left({\tilde{a}}_l,k\right]& \left(k,{\tilde{b}}_1\right]& \cdots & \left({\tilde{b}}_{m-1},n\right]\\ a_1& a_2& \cdots & k& b_1& \cdots & b_m\end{array}\right)$

$\gamma =\left(\begin{array}{ccccccc}\left[1,a_1\right]& \left(a_1,a_2\right]& \cdots & \left(a_l,k\right]& \left(k,{\tilde{b}}_1\right]& \cdots & \left(b_{m-1},n\right]\\ {\tilde{a}}_1& {\tilde{a}}_2& \cdots & k& b_1& \cdots & {\tilde{b}}_m\end{array}\right)$

从而存在 $\delta ,\gamma \in O{R}_n\left(k\right)$ ，使 $\alpha =\beta \delta ,\beta =\alpha \gamma$ 。

情形2：设 $\alpha ,\beta \in R_n\left(k\right)$ ，则 $a_1>\cdots >k>\cdots >b_m,{\tilde{a}}_1>\cdots >k>\cdots >{\tilde{b}}_m$

令

$\delta =\left(\begin{array}{cccccc}\left[1,{\tilde{b}}_m\right]& \cdots & \left({\tilde{b}}_1,k\right]& \left(k,{\tilde{a}}_l\right]& \cdots & \left({\tilde{a}}_2,n\right]\\ b_m& \cdots & k& a_l& \cdots & a_1\end{array}\right)$

$\gamma =\left(\begin{array}{cccccc}\left[1,b_m\right]& \cdots & \left(b_1,k\right]& \left(k,a_l\right]& \cdots & \left(a_1,n\right]\\ {\tilde{b}}_m& \cdots & k& {\tilde{a}}_l& \cdots & {\tilde{a}}_1\end{array}\right)$

从而存在 $\delta ,\gamma \in O{R}_n\left(k\right)$ ，使 $\alpha =\beta \delta ,\beta =\alpha \gamma$ 。

情形3：设 $\alpha \in O_n\left(k\right),\beta \in R_n\left(k\right)$ ，则 $a_1<\cdots <k<\cdots <b_m,{\tilde{a}}_1>\cdots >k>\cdots >{\tilde{b}}_m$ _。

令

$\delta =\left(\begin{array}{cccccc}\left[1,{\tilde{b}}_m\right]& \cdots & \left({\tilde{b}}_1,k\right]& \left(k,{\tilde{a}}_l\right]& \cdots & \left({\tilde{a}}_2,n\right]\\ b_m& \cdots & k& a_l& \cdots & a_1\end{array}\right)$

$\gamma =\left(\begin{array}{ccccccc}\left[1,a_1\right]& \left(a_1,a_2\right]& \cdots & \left(a_l,k\right]& \left(k,b_1\right]& \cdots & \left(b_{m-1},n\right]\\ {\tilde{a}}_1& {\tilde{a}}_2& \cdots & k& {\tilde{b}}_1& \cdots & {\tilde{b}}_m\end{array}\right)$

从而存在 $\delta ,\gamma \in O{R}_n\left(k\right)$ ，使 $\alpha =\beta \delta ,\beta =\alpha \gamma$ 。

情形4：设 $\alpha \in R_n\left(k\right),\beta \in O_n\left(k\right)$ ，则 $a_1>\cdots >k>\cdots >b_m,{\tilde{a}}_1<\cdots <k<\cdots <{\tilde{b}}_m$ ，

$\delta =\left(\begin{array}{ccccccc}\left[1,{\tilde{a}}_1\right]& \left({\tilde{a}}_1,{\tilde{a}}_2\right]& \cdots & \left({\tilde{a}}_l,k\right]& \left(k,{\tilde{b}}_1\right]& \cdots & \left({\tilde{b}}_{m-1},n\right]\\ a_1& a_2& \cdots & k& b_1& \cdots & b_m\end{array}\right)$

$\gamma =\left(\begin{array}{cccccc}\left[1,b_m\right]& \cdots & \left(b_1,k\right]& \left(k,a_l\right]& \cdots & \left(a_1,n\right]\\ {\tilde{b}}_m& \cdots & k& {\tilde{a}}_l& \cdots & {\tilde{a}}_1\end{array}\right)$ ，

从而存在 $\delta ,\gamma \in O{R}_n\left(k\right)$ ，使 $\alpha =\beta \delta ,\beta =\alpha \gamma$ 。

综上， $\left(\alpha ,\beta \right)\in R$ 。

定理3：设 $\alpha \in O{R}_n\left(k\right)$ ， $\alpha D\beta \iff \left|im\left(\alpha \right)\right|=\left|im\left(\beta \right)\right|$ ， $p_{\alpha }\left(k\right)=p_{\beta }\left(k\right)$ 或 $p_{\alpha }\left(k\right)=q_{\beta }\left(k\right)$ 。

证明：必要性 先证 $\left(\alpha ,\beta \right)\in D\Rightarrow \left|im\left(\alpha \right)\right|=\left|im\left(\beta \right)\right|$ 。

假设 $\left(\alpha ,\beta \right)\in D$ ，则存在 $\gamma \in O{R}_n\left(k\right)$ ，使得 $\alpha L\gamma$ 且 $\gamma R\beta$ 。由定理(1) (2)可得， $im\left(\alpha \right)=im\left(\gamma \right)$ ， $ker\left(\gamma \right)=ker\left(\beta \right)$ ，从而

$\left|im\left(\alpha \right)\right|=\left|im\left(\gamma \right)\right|=\left|X_n/ker\left(\gamma \right)\right|=\left|X_n/ker\left(\beta \right)\right|=\left|im\left(\beta \right)\right|$ 。

再证 $\left(\alpha ,\beta \right)\in D\Rightarrow p\alpha \left(k\right)=p\beta \left(k\right)$ 或 $p\alpha \left(k\right)=q\beta \left(k\right)$ 。

假设 $\left(\alpha ,\beta \right)\in D$ ，则存在 $\gamma \in O{R}_n\left(k\right)$ ，使得 $\alpha L\gamma$ 且 $\gamma R\beta$ 。则 $im\left(\alpha \right)=im\left(\gamma \right)$ ， $ker\left(\gamma \right)=ker\left(\beta \right)$ ，分以下八种情形：

情形1：设 $\alpha ,\beta ,\gamma \in O_n\left(k\right)$ ，则 $p_{\alpha }\left(k\right)=p_{\gamma }\left(k\right)=p_{\beta }\left(k\right)$ ；

情形2：设 $\alpha ,\gamma \in O_n\left(k\right),\beta \in R_n\left(k\right)$ ，则 $p_{\alpha }\left(k\right)=p_{\gamma }\left(k\right)=q_{\beta }\left(k\right)$ ；

情形3：设 $\alpha ,\beta \in O_n\left(k\right),\gamma \in R_n\left(k\right)$ ，则 $p_{\alpha }\left(k\right)=p_{\gamma }\left(k\right)=q_{\beta }\left(k\right)$ ；

情形4：设 $\beta ,\gamma \in O_n\left(k\right),\alpha \in R_n\left(k\right)$ ，则 $p_{\alpha }\left(k\right)=p_{\gamma }\left(k\right)=p_{\beta }\left(k\right)$ ；

情形5：设 $\alpha ,\beta ,\gamma \in R_n\left(k\right)$ ，则 $p_{\alpha }\left(k\right)=p_{\gamma }\left(k\right)=p_{\beta }\left(k\right)$ ；

情形6：设 $\alpha ,\gamma \in R_n\left(k\right),\beta \in O_n\left(k\right)$ ，则 $p_{\alpha }\left(k\right)=p_{\gamma }\left(k\right)=q_{\beta }\left(k\right)$ ；

情形7：设 $\alpha ,\beta \in R_n\left(k\right),\gamma \in O_n\left(k\right)$ ，则 $p_{\alpha }\left(k\right)=p_{\gamma }\left(k\right)=q_{\beta }\left(k\right)$ ；

情形8：设 $\beta ,\gamma \in R_n\left(k\right),\alpha \in O_n\left(k\right)$ ，则 $p_{\alpha }\left(k\right)=p_{\gamma }\left(k\right)=q_{\beta }\left(k\right)$ 。

充分性：假设 $\left|im\left(\alpha \right)\right|=\left|im\left(\beta \right)\right|=r$ ，设

$\alpha =\left(\begin{array}{ccccccccc}{A}_1& A_2& \cdots & A_l& K_{\alpha }& B_1& B_2& \cdots & B_m\\ a_1& a_2& \cdots & a_l& k& b_1& b_2& \cdots & b_m\end{array}\right)$

$\beta =\left(\begin{array}{ccccccccc}{\tilde{A}}_1& {\tilde{A}}_2& \cdots & {\tilde{A}}_l& K_{\alpha }& {\tilde{B}}_1& {\tilde{B}}_2& \cdots & {\tilde{B}}_j\\ {\tilde{a}}_1& {\tilde{a}}_2& \cdots & {\tilde{a}}_l& k& {\tilde{b}}_1& {\tilde{b}}_2& \cdots & {\tilde{b}}_j\end{array}\right)$

其中， $A_1<A_2<\cdots <A_l<K_{\alpha }<\cdots <B_1<B_2<\cdots <B_m$ ， ${\tilde{A}}_1<{\tilde{A}}_2<\cdots <{\tilde{A}}_i<K_{\beta }<\cdots <{\tilde{B}}_1<{\tilde{B}}_2<\cdots <{\tilde{B}}_j$ ， $l+m=i+j=r-1$ 。

情形1： $p_{\alpha }\left(k\right)=p_{\beta }\left(k\right)$ ，分四种情形：

子情形1：设 $\alpha ,\beta \in O_n\left(k\right)$ ，则 $p_{\alpha }\left(k\right)=p_{\beta }\left(k\right)=l=i,m=j$ ，令

$\gamma =\left(\begin{array}{ccccccccc}{A}_1& A_2& \cdots & A_l& K_{\alpha }& B_1& B_2& \cdots & B_m\\ {\tilde{a}}_1& {\tilde{a}}_2& \cdots & {\tilde{a}}_l& k& {\tilde{b}}_1& {\tilde{b}}_2& \cdots & {\tilde{b}}_j\end{array}\right)\in O_n(k)$

从而存在 $\gamma \in O{R}_n\left(k\right)$ ，使 $\alpha R\gamma ,\gamma L\beta$ ，即 $\alpha D\beta$ 。

子情形2： $\alpha ,\beta \in R_n\left(k\right)$ ，则 $p_{\alpha }\left(k\right)=p_{\beta }\left(k\right)=m=j,l=i$ ，令

$\gamma =\left(\begin{array}{ccccccccc}{A}_1& A_2& \cdots & A_l& K_{\alpha }& B_1& B_2& \cdots & B_m\\ {\tilde{a}}_1& {\tilde{a}}_2& \cdots & {\tilde{a}}_l& k& {\tilde{b}}_1& {\tilde{b}}_2& \cdots & {\tilde{b}}_j\end{array}\right)\in R_n(k)$

从而存在 $\gamma \in O{R}_n\left(k\right)$ ，使 $\alpha R\gamma ,\gamma L\beta$ ，即 $\alpha D\beta$ 。

子情形3：设 $\alpha \in O_n\left(k\right)$ ， $\beta \in R_n\left(k\right)$ ，则 $p_{\alpha }\left(k\right)=p_{\beta }\left(k\right)=l=j,m=i$ ，令

$\gamma =\left(\begin{array}{ccccccccc}{A}_1& A_2& \cdots & A_l& K_{\alpha }& B_1& B_2& \cdots & B_m\\ {\tilde{b}}_j& {\tilde{b}}_{j-1}& \cdots & {\tilde{b}}_l& k& {\tilde{a}}_i& {\tilde{a}}_{i-1}& \cdots & {\tilde{a}}_1\end{array}\right)\in O_n(k)$

从而存在 $\gamma \in O{R}_n\left(k\right)$ ，使 $\alpha R\gamma ,\gamma L\beta$ ，即 $\alpha D\beta$ 。

子情形4：设 $\alpha \in R_n\left(k\right)$ ， $\beta \in O_n\left(k\right)$ ，则 $p_{\alpha }\left(k\right)=p_{\beta }\left(k\right)=m=i,l=j$ ，令

$\gamma =\left(\begin{array}{ccccccccc}{A}_1& A_2& \cdots & A_l& K_{\alpha }& B_1& B_2& \cdots & B_m\\ {\tilde{b}}_j& {\tilde{b}}_{j-1}& \cdots & {\tilde{b}}_l& k& {\tilde{a}}_i& {\tilde{a}}_{i-1}& \cdots & {\tilde{a}}_1\end{array}\right)\in R_n(k)$

从而存在 $\gamma \in O{R}_n\left(k\right)$ ，使 $\alpha R\gamma ,\gamma L\beta$ ，即 $\alpha D\beta$ 。

情形2： $p_{\alpha }\left(k\right)=q_{\beta }\left(k\right)$ ，分四种情形：

子情形1：设 $\alpha ,\beta \in O_n\left(k\right)$ ，则 $p_{\alpha }\left(k\right)=q_{\beta }\left(k\right)=l=j,m=i$ ，令

$\gamma =\left(\begin{array}{ccccccccc}{A}_1& A_2& \cdots & A_l& K_{\alpha }& B_1& B_2& \cdots & B_m\\ {\tilde{b}}_j& {\tilde{b}}_{j-1}& \cdots & {\tilde{b}}_l& k& {\tilde{a}}_i& {\tilde{a}}_{i-1}& \cdots & {\tilde{a}}_1\end{array}\right)\in R_n(k)$

从而存在 $\gamma \in O{R}_n\left(k\right)$ ，使 $\alpha R\gamma ,\gamma L\beta$ ，即 $\alpha D\beta$ 。

子情形2：设 $\alpha ,\beta \in R_n\left(k\right)$ ，则 $p_{\alpha }\left(k\right)=q_{\beta }\left(k\right)=m=i,l=j$ ，令

$\gamma =\left(\begin{array}{ccccccccc}{A}_1& A_2& \cdots & A_l& K_{\alpha }& B_1& B_2& \cdots & B_m\\ {\tilde{b}}_j& {\tilde{b}}_{j-1}& \cdots & {\tilde{b}}_l& k& {\tilde{a}}_i& {\tilde{a}}_{i-1}& \cdots & {\tilde{a}}_1\end{array}\right)\in O_n(k)$

从而存在 $\gamma \in O{R}_n\left(k\right)$ ，使 $\alpha R\gamma ,\gamma L\beta$ ，即 $\alpha D\beta$ 。

子情形3：设 $\alpha \in O_n\left(k\right)$ ， $\beta \in R_n\left(k\right)$ ，则 $p_{\alpha }\left(k\right)=q_{\beta }\left(k\right)=l=i,m=j$ ，令

$\gamma =\left(\begin{array}{ccccccccc}{A}_1& A_2& \cdots & A_l& K_{\alpha }& B_1& B_2& \cdots & B_m\\ {\tilde{a}}_1& {\tilde{a}}_2& \cdots & {\tilde{a}}_l& k& {\tilde{b}}_1& {\tilde{b}}_2& \cdots & {\tilde{b}}_j\end{array}\right)\in R_n(k)$

从而存在 $\gamma \in O{R}_n\left(k\right)$ ，使 $\alpha R\gamma ,\gamma L\beta$ ，即 $\alpha D\beta$ 。

子情形4：设 $\alpha \in R_n\left(k\right)$ ， $\beta \in O_n\left(k\right)$ ，则 $p_{\alpha }\left(k\right)=q_{\beta }\left(k\right)=m=j,l=i$ ，令

$\gamma =\left(\begin{array}{ccccccccc}{A}_1& A_2& \cdots & A_l& K_{\alpha }& B_1& B_2& \cdots & B_m\\ {\tilde{a}}_1& {\tilde{a}}_2& \cdots & {\tilde{a}}_l& k& {\tilde{b}}_1& {\tilde{b}}_2& \cdots & {\tilde{b}}_j\end{array}\right)\in O_n(k)$

因此， $\alpha R\gamma L\beta$ 且 $\gamma \in O{R}_n\left(k\right)$ ，从而 $\alpha D\beta$ 。