1. 引言
设
空间是
上全体连续函数构成的空间。则对任意
,令
,
其中
,
,
。集合的列紧性在泛函分析的学习中是一个基本且重要的概念,它还在拓扑学、偏微分方程等领域中有着广泛的应用。对于具体的距离空间上的紧性问题,常用构造
网和一致有界且等度连续来讨论。本文通过集合列紧性的性质,构造相应的列紧条件证明了
空间的列紧性。
2. 预备知识
首先回忆一下在泛函分析中所学的关于紧性的一些常用定义与性质。
定义1.1 [1] 设
是一个距离空间,
为其一个子集,如果
中的任何点列在
中有一个收敛的子列,称
是列紧的。若这个子列还收敛到
中的点,则称
是自列紧的。如果空间
是列紧的,那么成
为列紧空间。
定理1.1 [1] 设
是一个距离空间,为了其子集
是紧的当且仅当
是自列紧的。
定义1.2 [2] 设
是距离空间,
是
的一个子集,
,如果有
,使得以
中各点为心,以
为半径的开球全体覆盖
,则称
是
的
网,如果
是有限集,则称
是
的有限
网。
定义1.3 [1]
空间:设
是一个紧的距离空间,带有距离
,
表示
的一切连续映射的全体。定义
通过验证可知
是完备的距离空间。
定理1.2 [1] (Arzela-Ascoli)为了
是一个列紧集,当且仅当
是一致有界且等度连续的函数族。
定义1.4 [1] 设
是距离空间,
是
的子集,如果
,都存在着
的一个有限
网,则称集合
是完全有界的。
3. 主要结论
定理2.1
空间的子集
列紧的充要条件是
1) 对任意
属于
,当
时,存在
,使得
,对
。
2) 对任意的
,
在
上是等度连续的。
证明:首先证
空间是完备的。令
是
中的基本列,则
由此知对任意的
,
,
。事实上对每一个固定的
,对
,
,使得
取第
项,它不会超过所有项的总和,故
这说明对任意的
,
在
上收敛,并且存在
,使得
,
,
。
定义
证明
,
。事实上,就是要证明
。
也就是要证明,对任意的
,存在
,当
时,使得
要对无穷多项进行评估,常用“分段论证法”,这里在
项处分段,其中
充分大,使得
。
为了有限项小于
,对任意的
,存在
,使得
取定
,便有
时,
无穷项小于
,
于是,当
时,
成立。故
是完备的度量空间。
必要性:证明
在
上有上确界。因
是列紧集,从而子集
是完全有界集,则存在
的一个有限的
网
,并且
,
。对
,存在
,当
时,有
,即
当
取第
项,
当
时,
,即
当
取第
项,
当
时,
,
当
取第
项,
所以存在
,使得
证明
在
上是等度连续函数。因为
是完备的空间,所以
是完全有界集,则存在
的一个
网且是个有穷集,记
即对
,
,
,使得
。这就表明当取
时,其中
,
整体小于
,则取第
项同样小于
,得
小于号两边同乘以
得
再同乘以
得
所以最后计算得
其次对这有穷函数
,由函数的连续性知,对每一个
及
,
,当
时,有
,
。故对
,取
,使得对任意的
,
,当
时,有
所以
是等度连续的。
充分性:设任意的
上,
在
上是一致有界且等度连续的。由(Arzela-Ascoli)定理知
是列紧的。只须证
存在有限的
网。所以对任意的
,取
。使得
。又通过
是一致有界且等度连续的可知存在一个有限
网,记
。取
,则对
,
,
,
使得
,即
这就证明对任意的
,任意子集
在
上是自列紧的。