位移法测量透镜焦距的最佳位置分析

Analysis of Optimal Position for Measuring Focal Length of Convex Lens by Displacement Method

摘要: 本文以位移法测量薄凸透镜的焦距并讨论焦距误差的计算方法，着重讨论清晰像位置判断引起的测量误差，同时分析改变物距对透镜焦距测量误差的影响，得出薄凸透镜焦距测定的较准确范围。

Abstract: In this paper, the focal length of thin convex lens is measured by displacement method and the calculation method of focal length error is discussed. The measurement error caused by position judgment of clear image is discussed, and the influence of object distance on focal length meas-urement error of the lens is analyzed. The accurate range of focal length determination of thin convex lens is obtained.

1. 引言

凸透镜是各种光学元件中最基本的成像元件，而透镜最重要的参量就是它的焦距。测量焦距常用的方法有物距像距法(高斯法)、位移法、自准直法 [1] 、激光法 [2] 、全息法 [3] 等，各方法适用的条件不同，测量精度也各不相同，其焦距测量的误差讨论也是多种多样 [4] [5] [6] 。就透镜成像实验而言，关键的是确定成清晰像的位置，在实验过程中，很多时候学生采用相同的设备，相同的方法，但误差差别较大，学生在实验的时候，不能正确的解释这个问题，本文就位移法测量凸透镜的焦距的实验，分别设计物屏间距离L不同时，测量其间距与误差的关系，让学生可以更好的理解产生误差的原因，有助于学生更好研究设计透镜焦距的测量。

2. 位移法测量薄透镜焦距

2.1. 基本原理

当物距在一倍焦距和二倍焦距之间时，在像方可以获得一放大的实像；物距大于二倍焦距时，在像方可以得到一缩小的实像。当物和屏之间的距离 $L>4f$ 时，固定物和屏，移动透镜从O₁处至O₂处(如图1)，在像屏上可分别获得放大和缩小的实像。O₁，O₂间距离为d，通过物像公式，可得

$f=\frac{L^2-d^2}{4L}$ (1)

通过式(1)，只要测得L，d，即可获得焦距f。

Figure 1. Measuring principle diagram of convex lens by displacement method

图1. 位移法测凸透镜焦原理图

2.2. 测量方法

设物和像屏之间的距离为L (要求 $L>4f$ )，并保持不变(如图2所示)。移动透镜，在O₂位置时成缩小的实像，O₁，O₂之间的距离记为d，则透镜的焦距f可以由L、d两个量得到。

Figure 2. Experimental device for focal length of convex lens measured by displacement method

图2. 位移法测凸透镜焦距实验图

透镜在I (x₁)位置时，成倒立、放大的实像 $A^{\prime }{B}^{\prime }$ ，透镜在II (x₂)位置时，成倒立、缩小的实像 $A^{″}{B}^{″}$ 。

根据公式：

$\frac{1}{u_1}+\frac{1}{v_1}=\frac{1}{f}$ (2)

(3)

$u_1+u_2=L$ $u_2-u_1=d$

$v_1+v_2=L$ $v_2-v_1=d$

由(1) (2)得 $f=\frac{L^2-d^2}{4L}$

测量方法的选择：位移法测量条件的选择：位移法满足物与像要保持一定的L，且 $L>4f$ 。在物距像距法时取 $u=2f$

方案的可行性分析：位移法误差小，准确度高 [7] [8] [9] 。把焦距的测量归结为对于可以精确测量的量D和d的测量，避免了测量u和v时，由于估计透镜光心位置不准带来的偏差，因此不需要准确确定凸透镜光心的位置。为了准确地找到像的最清晰位置，可采用左右逼近法读数 [10] [11] 。

2.3. 测量数据及数据处理

本实验按照上述测量方法，分别保持物与屏距离为4.0 f到5.4 f，间隔为0.1 f进行测量，如表1当中分别记录了物屏间距离L，成像位置确定采用左右逼近法读数，分别记录了清晰成像的两边界位置，大

像位置两边界记为x₁、x₂，小像位置两边界记为x₃、x₄，两像间距离d，并根据公式 $f=\frac{L^2-d^2}{4L}$ ，计算焦

距f。并根据表1中数据物屏距离与焦距的关系，绘制图3，如图3可以看出随之物屏间距离增大，测量焦距先增大后减少，并且在物屏间距离在70.00 cm附近接近峰值。

Table 1. List of data for lens focal length measurement

表1. 透镜焦距测量的数据列表

Figure 3. Relationship between lens focal length and object and screen distance

图3. 透镜焦距f与物屏距离L的关系

表2中的数据是根据表1计算的焦距值计算相对误差的，并列出了相对误差与物屏间距离之间的关系，并利用表2的数据，绘制曲线如图4所示，如图4所示，可以清晰的表示出当物屏间距离为4.5 f到4.7 f之间相对误差最小。

Table 2. List of relative error and material distance data

表2. 相对误差与物距关系数据列表

Figure 4. Relation between relative error and object and screen distance

图4. 相对误差与物屏距离的关系

3. 实验结果分析

实验测得透镜焦距如图3所示，由图可见，随着物距的变化测得的焦距值有所波动，在4.5 f到4.7 f间，测量值与真实值较为接近，误差较小，实验结果相对准确，说明实验结果切实可信。

图4显示的是相对误差与物距的关系。由图像知，在4.0 f到4.6 f间，相对误差随物距增大而逐渐减小，在4.6 f到5.4 f间，相对误差随物距增大而逐渐增大，在4.5 f到4.7 f间，相对误差变化比较平稳且较小，实验时应注意选择。

4. 结论

本文介绍了位移法测量透镜焦距的原理及测量方法，实验中分别保持物屏间距4.0 f到5.4 f，间隔为0.1 f进行测量，实验结果表明当物屏间距离4.5 f到4.7 f间，相对误差变化比较平稳且较小，可以获得较好的实验结果。

通过讨论实验误差及其处理方法，可以使参与实验者更加深刻地理解物理实验的内涵，进一步开拓为开放性或设计性实验的教学，让学生自主探究实验中出现的问题：为什么测量误差较大,误差产生的原因及解决办法等等，培养科学严谨的实验态度，这对于物理的学习有重要的意义。并且由点及面，将科学的实验方法延展到各个学科，便会产生不一样的效果。