1. 引言
设
为独立同分布
的随机变量具有共同的分布
及有限的负均值
。随机变量
与
独立且具有分布
。由
定义了随机游动
,其中,设
,
,
,称
为由
产生的随机游动。当
与
具有不同分布时,称此随机游动为延迟的随机游动,否则称为零延迟的随机游动。记
,
,
为随机游动
首次上穿水平
的时刻,其中约定
。称
为随机游动
在水平
处的超出。
记
,
为首次上穿梯高。周知,当
时,
和
为亏损随机变量,即
。
设
为
的分布,记
。
从而,
,
其中
。
随机游动的超出是随机游动中的重要对象,在风险理论、排队论、分支过程等领域中有广泛的应用。
对于零延迟的随机游动,有较多的文献研究了随机游动超出的性质,如Janson [1] ,Borovkov和Foss [2] ,Klüppelberg等 [3] ,Tang [4] ,Chen等 [5] ,Cui等 [6] ,等。本文将讨论延迟随机游动超出的局部渐近性质。在给出主要结果之前,先给出一些记号和概念。本文无特殊说明,所有极限关系为
。设
和
为两个非负函数,若
,则记
;若
,则记
;若
,则记
。对于一分布函数
,记其尾为
,对任
,记
及
;若
,则记
及
。
下面给出一些常用的分布族。设
是支撑在
上的分布,称
属于长尾分布族,记作
,若对任
,有
。
长尾分布族的一个子族为次指数分布族,记作
。设
是支撑在
上的分布,称
,若
。
此处,
为
的二重卷积。一个常用的次指数分布族的子族为
族,它是由Klüppelberg [7] 提出的。设
是支撑在
上的分布,称
,若
。
设
是支撑在
上的分布,称
属于某一分布族,若
属于某一分布族,其中
为
的示性函数。
上述分布族具有如下关系
。
可见Cline和Samorodnitsky [8] ,Klüppelberg [9] ,Embrechts等 [10] ,等。
下面结果为本文的主要结果。
定理1.1:设
,
且
,则对任
,
(1.1)
2. 主要结果的证明
下面的引理给出了长尾分布族的一个等价条件,可见Gao和Wang [11] Proposition A.1。在给出他们的结果之前,先给出一个符号,对于一个支撑在
上的分布
,定义
引理2.1:设
是一个支撑在
上的分布,则
。
对于上述随机游动
,当
为零延迟时,Cui等 [6] 的(2.5)式给出了如下随机游动超出的局部渐近性质。
引理2.2:设
为
随机变量,具有支撑在
上的分布
。若
则对任
,
。
下面证明主要结果。
定理1.1的证明:
记
,
,
,
。
从而,由强马氏性知,对任
及
,
由于
,
及引理2.1知,存在函数
。从而对充分大的
,有
(2.1)
由于
且
,则
(2.2)
由于
为零延迟的随机游动且
,从而由引理2.2知
(2.3)
其中,
。从而由(2.3)及
知
(2.4)
对于
,由于
,从而由(2.3),引理2.1,分部积分及
知,
(2.5)
对于
,由
及
知,对充分大的
,
(2.6)
从而由(2.1),(2.2),(2.4)~(2.6)知,(1.1)成立。
基金项目
江苏省大学生实践创新训练计划项目资助(项目号:201710332029Y)。
NOTES
*通讯作者。