广义GrO^¨tzsch环函数的精确界及应用

Sharp Inequalities and Application of the Generalized GrO^¨tzsch Ring Function

摘要: 本文研究广义Grötzsch环函数与一些初等函数组合的单调性，并由此获得新的精确不等式。同时，将所得结果应用于Ramanujan模方程理论，获得广义Hersch-Pfluger偏差函数新的下界。

Abstract: In this paper, we study some monotonicity properties of certain functions defined in term of gen-eralized Grötzsch ring function and some elementary functions, and get new sharp inequalities. Furthermore, we also obtain the lower bound of generalized Hersch-Pfluger distortion function by applying these results in Ramanujan modular equation theory.

1. 引言

在本文中，arthr表示反双曲正切函数。对 $r\in \left(0,1\right)$，记 。对于正实数x和y，Γ-函数、B-函数以及ψ-函数分别定义 [1] 为：

$\Gamma \left(x\right)={\displaystyle {\int }_0^{\infty }{t}^{x-1}{\text{e}}^{-t}\text{d}t},B\left(x,y\right)=\frac{\Gamma \left(x\right)\Gamma \left(y\right)}{\Gamma \left(x+y\right)},\psi \left(x\right)=\frac{{\Gamma }^{\prime }\left(x\right)}{\Gamma \left(x\right)}$ (1)

令 $\gamma =\underset{n\to \infty }{\lim }\left[{\displaystyle \underset{k=1}{\overset{n}{\sum }}\frac{1}{k}-\log n}\right]=\text{0}\text{.57721566}\cdots$，是Euler-Mascheroni常数，则

$\psi \left(1\right)=-\gamma$ , $\psi \left(1/2\right)=-\gamma -\log 4$ (2)

在 $\left(0,\infty \right)\times \left(0,\infty \right)$ 上定义Ramanujan常数 [2] [3] 为：

$R\left(a,b\right)=-\psi \left(a\right)-\psi \left(b\right)-2\gamma$ (3)

当 $b=1-a$ 时，式(3)记为

$R\left(a\right)=R\left(a,1-a\right)=-\psi \left(a\right)-\psi \left(1-a\right)-2\gamma$ ,

结合式(2)~(3)知 $R\left(\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right)=\log 16$ 。

给定实数a，b， $c\left(c\ne 0,-1,-2,-3,\cdots \right)$，高斯超几何函数定义 [4] 为：

$F\left(a,b;c;z\right)={}_{2}F{}_1\left(a,b;c;z\right)={\displaystyle \underset{n=0}{\overset{\infty }{\sum }}\frac{\left(a,n\right)\left(b,n\right)}{\left(c,n\right)}}\frac{z^n}{n!}$ , $\left|z\right|<1$ (4)

这里，当 $n\in N$ 时， $\left(a,n\right)=a\left(a+1\right)\left(a+2\right)\cdots \left(a+n-1\right)$，且 $\left(a,0\right)=1$ 。

当 $a\in \left(0,1\right)$，第一类、第二类广义椭圆积分分别定义 [5] 为：

$K_a=K_a\left(r\right)=\frac{\text{π}}{2}F\left(a,1-a;1;r^2\right),{K^{\prime }}_a={K^{\prime }}_a\left(r\right)=K_a\left(r^{\prime }\right)$ (5)

$E_a=E_a\left(r\right)=\frac{\text{π}}{2}F\left(a-1,1-a;1;r^2\right),{E^{\prime }}_a={E^{\prime }}_a\left(r\right)=E_a\left(r^{\prime }\right)$ (6)

因广义椭圆积分关于参数a的对称性，本文只考虑 $a\in \left(0,1/2\right)$ 的情形。特别地，当 $a=1/2$ 时， $K_{1/2}\left(r\right)=K=K\left(r\right)$ 与 $E_{1/2}\left(r\right)=E=E\left(r\right)$ 分别为第一类和第二类完全椭圆积分。

广义Grötzsch环函数 ${\mu }_a:\left(0,1\right)\to \left(0,\infty \right)$ 定义 [6] 为：

${\mu }_a\left(r\right)=\frac{\text{π}}{2\sin \left(a\text{π}\right)}\frac{{K^{\prime }}_a\left(r\right)}{K_a\left(r\right)}$ (7)

显然，当 $a=1/2$ 时， $\mu \left(r\right)={\mu }_{1/2}\left(r\right)$ 表示平面拟共形映射单调递减的Grötzsch极值环 $B^2\backslash \left[0,r\right]$ 的模，这里的 $B^2$ 表示平面单位圆盘，且 ${\mu }_a\left(0\right)=\mathrm{\infty }$， ${\mu }_a\left(1\right)=0$ 。近几年，国内外很多学者对广义Grötzsch环函数的单调性、凹凸性及不等式进行研究，见文献 [7] [8] [9] 。

符号差 $1/a$ 的p次广义Ramanujan模方程定义 [5] 为：

$\frac{F\left(a,1-a;1;1-s^2\right)}{F\left(a,1-a;1;s^2\right)}=p\frac{F\left(a,1-a;1;1-r^2\right)}{F\left(a,1-a;1;r^2\right)}$ (8)

利用式(5)及式(7)，可将式(8)改写成

${\mu }_a\left(s\right)=p{\mu }_a\left(r\right),p>0$ (9)

式(9)的解可以表示为

$s={\phi }_K\left(a,r\right)={\mu }_a^{-1}\left({\mu }_a\left(r\right)/K\right)$ , $K=1/p$ (10)

称式(10)中的函数 ${\phi }_K\left(a,r\right)$ 为广义Hersch-Pfluger偏差函数， ${\phi }_K\left(a,0\right)=0$， ${\phi }_K\left(a,1\right)=1$。当 $a=1/2$ 时， ${\phi }_K\left(a,r\right)$ 退化为Hersch-Pfluger偏差函数 ${\phi }_K\left(r\right)$ 。此外，许多学者对广义Hersch-Pfluger偏差函数的性质做了深入的研究，见文献 [10] [11] 。

在文 [6] 中，裘松良获得如下结论：当 $a\in \left(0,1/2\right)$， $r\in \left(0,1\right)$ 时，不等式成立

$\mu \left(r\right)+C_1\left(1-r^2\right)\le {\mu }_a\left(r\right)\le \mu \left(r\right)+C_1-\left(a-1/2\right)r^2$

当 $a=1/2$ 时等号成立，其中 $C_1=\left[R\left(a\right)-\log 16\right]/2$ 。

在文 [7] 中，王根娣等揭示了广义Hersch-Pfluger偏差函数与广义Grötzsch环函数 ${\mu }_a\left(r\right)$ 的关系：

${\phi }_{1/K}\left(a,r\right)>r^K\exp \left\{\left(1-K\right)c\left(r\right)\right\}$ (11)

当且仅当 ${\mu }_a\left(r\right)+\log r\le c\left(r\right)$ 。

本文主要揭示广义Grötzsch环函数的分析性质，获得新的精确不等式，并应用于Ramanujan模方程解的精确估计。

2. 引理

本文为了证明第三部分的主要结果和引用方便，需要引入下面的导数公式 [4] ：

$\frac{\text{d}{K}_a}{\text{d}r}=2\left(1-a\right)\frac{E_a-{r^{\prime }}^2{K}_a}{r{r^{\prime }}^2}$ , $\frac{\text{d}{E}_a}{\text{d}r}=2\left(1-a\right)\frac{E_a-K_a}{r}$ (12)

$\frac{\text{d}{\mu }_a\left(r\right)}{\text{d}r}=-\frac{{\text{π}}^2}{4r{r^{\prime }}^2{K}_a^2}$ (13)

引理1 ( [4] , Theorem 1.25)对 $-\infty <a<b<+\infty$，设f和g是两个实值函数，并都在 $\left[a,b\right]$ 上连续，在 (a,b)上可微且在 $\left(a,b\right)$ 上 $g^{\prime }\left(x\right)\ne 0$，如果 $f^{\prime }/g^{\prime }$ 在 $\left(a,b\right)$ 上单调递增(递减)，那么函数

$F\left(x\right)=\frac{f\left(x\right)-f\left(a\right)}{g\left(x\right)-g(a)}$

和

$G\left(x\right)=\frac{f\left(x\right)-f\left(b\right)}{g\left(x\right)-g(b)}$

也在 $\left(a,b\right)$ 上单调递增(递减)。而且，若 $f^{\prime }/g^{\prime }$ 的单调性是严格的，则F和G的单调性也是严格的。

引理2 ( [5] , Lemma 5.4)对任意的 $r\in \left(0,1\right)$ 及 $a\in \left(0,1/2\right)$，则

(1) $\frac{{\text{π}}^2/4-r^{\prime }{K}_a^2\left(r\right)}{r^2}$ 从 $\left(0,1\right)$ 到 $\left({\text{π}}^2\left[a^2+{\left(1-a\right)}^2\right]/4,{\text{π}}^2/4\right)$ 上严格单调递增。

(2) $r^{\prime }{K}_a\left(r\right)$ 从 $\left(0,1\right)$ 到 $\left(0,\text{π}/2\right)$ 上严格单调递减。

引理3 ( [11] ，定理2.1(3))对任意的 $r\in \left(0,1\right)$ 及 $a\in \left(0,1/2\right)$，则 ${\mu }_a\left(r\right)+\log \frac{r}{r^{\prime }}$ 从 $\left(0,1\right)$ 到 $\left(R\left(a\right)/2,\text{+}\infty \right)$ 上严格单调递增。

3. 主要结果及证明

利用上述引理，本节给出主要结果及证明。

定理3.1 设 $C_1={\text{e}}^{\left(R\left(a\right)-\log 4\right)/2}$，则函数

$F\left(r\right)=\frac{C_1-\exp \left[{\mu }_a\left(r\right)-arth\left(r^{\prime }\right)\right]}{r^2}$

从 $\left(0,1\right)$ 到 $\left({\left(1/2-a\right)}^2{C}_1,C_1-1\right)$ 上严格单调递增。特别地，当 $0<r<1$ 时，

$\log \left[C_1-\left(C_1-1\right)r^2\right]+\log \left(1+r^{\prime }\right)<{\mu }_a\left(r\right)+\log r<\log C_1+\log \left[1-{\left(1/2-a\right)}^2{r}^2\right]+\log \left(1+r^{\prime }\right)$ (14)

证明：令 $f_1\left(r\right)=C_1-\exp \left[{\mu }_a\left(r\right)-arth\left(r^{\prime }\right)\right]$， $f_2\left(r\right)=r^2$，则 $F\left(r\right)=f_1\left(r\right)/f_2\left(r\right)$， $f_1\left(0\right)=f_2\left(0\right)=0$ 。由式(12)、(13)，求导得

$\begin{array}{c}\frac{{f^{\prime }}_1\left(r\right)}{{f^{\prime }}_2\left(r\right)}=\frac{1}{2}\frac{\exp \left[{\mu }_a\left(r\right)-arth\left(r^{\prime }\right)\right]}{r^{\prime }}\frac{{\text{π}}^2/4-r^{\prime }{K}_a^2}{r^2}\frac{1}{r^{\prime }{K}_a^2}\\ =\frac{1}{2}\exp \left[{\mu }_a\left(r\right)-arth\left(r^{\prime }\right)+\log \frac{1}{r^{\prime }}\right]\frac{{\text{π}}^2/4-r^{\prime }{K}_a^2}{r^2}\frac{1}{r^{\prime }{K}_a^2}\\ =\frac{1}{2}\exp \left[{\mu }_a\left(r\right)+\log \frac{r}{r^{\prime }}-\log \left(1+r^{\prime }\right)\right]\frac{{\text{π}}^2/4-r^{\prime }{K}_a^2}{r^2}\frac{1}{r^{\prime }{K}_a^2}\\ =f_3(r)\end{array}$

根据引理2.2 (1)、(2)及引理2.3可知， $f_3\left(r\right)$ 是三个正的单调递增函数的乘积。由引理2.1可得函数 $F\left(r\right)$ 的单调性。显然， $F\left(1^{-}\right)=C_1-1$ 。根据l’Hôpital法则，结合引理2.1~2.3，极限

$\underset{r\to 0^{+}}{\lim }F\left(r\right)=\underset{r\to 0^{+}}{\lim }\frac{{f^{\prime }}_1\left(r\right)}{{f^{\prime }}_2\left(r\right)}={\left(1/2-a\right)}^2{\text{e}}^{\left(R\left(a\right)-\log 4\right)/2}={\left(1/2-a\right)}^2{C}_1$ .

显然，不等式(14)成立。

定理3.2设 $C_2=\left[R\left(a\right)-\log 16\right]/2$， $\alpha ={\left(1/2-a\right)}^2$， $\beta ={\text{e}}^{C_2}-1$，则函数

$G\left(r\right)=\frac{\exp \left[C_2-\left({\mu }_a\left(r\right)-\mu \left(r\right)\right)\right]-1}{r^2}$

从 $\left(0,1\right)$ 到 $\left(\alpha ,\beta \right)$ 上严格单调递增。特别地，当 $0<r<1$ 时，

$\frac{R\left(a\right)-\log 16}{2}-\log \left(1+\alpha r^2\right)<{\mu }_a\left(r\right)-\mu \left(r\right)<\frac{R\left(a\right)-\log 16}{2}-\log \left(1+\beta r^2\right)$ (15)

证明：令 $g_1\left(r\right)=\exp \left[C_2-\left({\mu }_a\left(r\right)-\mu \left(r\right)\right)\right]-1$， ，则 ， $g_1\left(0\right)=g_2\left(0\right)=0$ 。结合式(13)，求导得

$\frac{{g^{\prime }}_1\left(r\right)}{{g^{\prime }}_2\left(r\right)}=\frac{{\text{π}}^2}{8}\exp \left\{C_2-\left[{\mu }_a\left(r\right)-\mu \left(r\right)\right]\right\}\frac{K+K_a}{r^{\prime }{K}^2}\frac{1}{r^{\prime }{K}_a^2}\frac{K-K_a}{r^2}=g_3(r)$

由文 [7] 中定理1 (1)和引理2.1 (3)、引理2 (2)可知， $g_3\left(r\right)$ 是四个正的且单调递增的函数乘积。结合引理2.1可知 $G\left(r\right)$ 的单调性。极限值 $G\left(1^{-}\right)=C_2-1=\beta$ 。结合文 [7] 中引理2.1 (3)、引理2 (2)，运用l’Hôpital法则便知

$\underset{r\to 0^{+}}{\lim }G\left(r\right)=\underset{r\to 0^{+}}{\lim }\frac{{g^{\prime }}_1\left(r\right)}{{g^{\prime }}_2\left(r\right)}={\left(1/2-a\right)}^2=\alpha$ .

推论3.3对所有的 $r\in \left(0,1\right)$ 和 $K\in \left(1,\text{+}\infty \right)$ 时，成立不等式

${\phi }_{1/K}\left(a,r\right)>r^K{\left\{{\text{e}}^{\left[R\left(a\right)-\log 4\right]/2}\left[1-{\left(1/2-a\right)}^2{r}^2\right]\left(1+r^{\prime }\right)\right\}}^{1-K}$ (16)

特别地当 $a=1/2$ 时，不等式退化为

${\phi }_{1/K}\left(r\right)>r^K{\left\{2\left(1+r^{\prime }\right)\right\}}^{1-K}$ (17)

证明：根据式(11)及定理3.2的结论易得不等式(16)和(17)。

基金项目

浙江省教育厅科研基金项目(Y201635387)，浙江机电职业技术学院科研项目(A027117021)，浙江省高等学校访问学者项目(FX2018093)。

参考文献

NOTES

^*通讯作者。