类帐篷映射上的链回归点集研究

Research on Chain Regression Point Set on Tent-Like Mapping

摘要: 一直以来，对度量空间上连续自映射的链回归点研究是拓扑动力系统的一个比较重要的内容。本文主要研究紧致度量上连续映射的动力性质，重点研究了类帐篷映射的链回归点的特征。

Abstract: The study of chain regression points of continuous self-mapping on metric space has always been an important part of topological dynamical system. This paper mainly studies the dynamic properties of continuous mapping on compact metric, focusing on the characteristics of chain regression points of tent-like mapping.

1. 引言与预备知识

定义1.1 [1] 我们把正整数集记为 $Z_{+}$， $N=\left\{0\right\}\cup Z_{+}$ 称为自然数集。

定义1.2 [2] 设X是一个集合，记刻划X中所含元素数量的概念为基数，记为 $\#\left(A\right)$．如果X是空集或者存在正整数 $n\in Z_{+}$，使得集合 $n\in Z_{+}$ 和集合 $\left\{1,2,\cdots ,n\right\}$ 之间有一个一一映射，则称集合X是一个有限集。

定义1.3 [3] 在度量空间 $\left(X,\rho \right)$ 中，定义公式 $B\left(x,\epsilon \right)=\left\{y|\rho \left(x,y\right)<\epsilon \right\}$ 为x的一个 $\epsilon$ -邻域。

定义1.4 [4] 设 $X,Y$ 是两个度量空间， $f:X\to Y,x_0\in X$。若对于 $f\left(x_0\right)$ 的任何一个球形邻域 $B\left(f\left(x_0\right),\epsilon \right)$，存在 $x_0$ 某一个球形邻域 $B\left(x_0,\delta \right)$，使得 $f\left(B\left(x_0,\delta \right)\right)\subset B\left(f\left(x_0\right),\epsilon \right)$，则称f在点 $x_0$ 处连续。若f在X的每一点处都连续，则称f是一个连续映射。

定义1.5 [5] 设 $\left(X,f\right)$ 为动力系统， $x\in X$，称集合 $\left\{x,f\left(x\right),f^2\left(x\right),\cdots ,f^n\left(x\right),\cdots \right\}$ 为x在f之下的轨道，记为 $O\left(x,f\right)$ 或 $orb\left(x\right)$。

定义1.6 [6] 设 $\left(X,f\right)$ 为动力系统。对 $x\in X$，如果对任意 $\epsilon >0$，存在自然数m和有限点列 $x_0,x_1,\cdots ,x_m\in X$，使得 $x_0=x_m=x$ 且 $\rho \left(f\left(x_i\right),x_{i+1}\right)<\epsilon ,i=0,1,2,\cdots ,m-1$，则称此点列是从 $x_0$ 到 $x_m$ 的一个 $\epsilon$ 链，则称点 $x\in X$ 为f的一个链回归点，f所有的链回归点构成的集合称为链回归点集，记为 $CR\left(f\right)$。

定义1.7 [7] 设 $f:X\to X$ 是集合X到自身的一个映射，记“ $f^0=id,f^1=f,f^2=f\circ f,\cdots ,f^n=f\circ f^{n-1}$ ”其中id表示恒同映射，我们称 $f^n$ 为f的n次迭代。

定义1.8 [8] 我们把类帐篷映射定义为：

$g_{t,\lambda }\left(x\right)=\{\begin{array}{ll}\frac{1-\lambda }{t}x+\lambda \hfill & 0\le x\le t\hfill \\ \frac{x}{t-1}+\frac{1}{1-t}\hfill & t\le x\le 1\hfill \end{array}$

当 $t=0$ 时， $g_{t,\lambda }\left(x\right)=-x+1$，当 $t=1$ 时， $g_{t,x}\left(x\right)=\left(1-\lambda \right)x+\lambda$。记 $a_t$ 为 $g_{t,\lambda }\left(x\right)$ 的不动点，记 $k_1$ 为 $g_{t,\lambda }\left(x\right)$ 在 $\left[0,t\right]$ 上的斜率， $k_2=-\frac{1}{1-t}$ 为 $g_{t,\lambda }\left(x\right)$ 在 $\left[t,1\right]$ 上的斜率。 $U_{\delta }^{-}=\left[0,\delta \right]$。本节主要讨论 $0<t\le \frac{1}{2}$ 时的情形，当 $0\le \lambda \le t$ 时，记 $a_t=\frac{1}{2-t}$， ${a^{\prime }}_t=\frac{t+\lambda t^2-2\lambda t}{\left(1-\lambda \right)\left(2-t\right)}$，则 $g_{t,\lambda }\left(a_t\right)=g_{t,\lambda }\left({a^{\prime }}_t\right)=a_t$，且 $0\le {a^{\prime }}_t\le t\le a_t\le 1$。

2. 相关引理

引理2.1：对任意的 $0\le \lambda \le 1,0<t<1$，及 $U=\left(a_t-\delta ,a_t+\delta \right)$，若 $t\in U$，则 $g_{t,\lambda }^2\left(U\right)=\left[0,1\right]$。

证明：因为 $t\in U$，所以 $1=g_{t,\lambda }\left(t\right)\in g_{t,\lambda }\left(U\right)$， $0=g_{t,\lambda }\left(1\right)\in g_{t,\lambda }^2\left(U\right)$，而 $g_{t,\lambda }\left(a_t\right)=a_t$，所以 $g_{t,\lambda }^2\left(U\right)\supset \left[0,a_t\right]$ (*)。另一方面，因为 $t\in U=\left(a_t-\delta ,a_t+\delta \right)$，令 $t^{\prime }=2a_t-t$。所以 $t^{\prime }\in U$ 且 $t^{\prime }-a_t=a_t-t$。因为 $\left(t,1\right),\left(a_t,a_t\right),\left(t^{\prime },g_{t,\lambda }\left(t^{\prime }\right)\right)$ 在同一条直线上 $\frac{1-a_t}{t-a_t}=\frac{g_{t,\lambda }\left(t^{\prime }\right)-a_t}{t^{\prime }-a_t}$，所以，我们可得 $g_{t,\lambda }\left(t^{\prime }\right)=2a_t-1=2\cdot \frac{1}{2-t}-1=\frac{t}{2-t}<t$，由 $g_{t,\lambda }\left(a_t\right)=a_t$ 得 $t\in g_{t,\lambda }\left(U\right)$ 从而 $1\in g_{t,\lambda }^2\left(U\right)$。同样由 $g_{t,\lambda }\left(a_t\right)=a_t$ 得 $g_{t,\lambda }^2\left(U\right)\supset \left[a_t,1\right]$ (**)。所以由(*)，(**)得， $g_{t,\lambda }^2\left(U\right)\supset \left[0,1\right]$。

引理2.2：对任意的 $0\le \lambda \le 1,0<t<1$，及 $U=\left(a_t-\delta ,a_t+\delta \right)$，存在 $n\in N$，使 $g_{t,\lambda }^n\left(U\right)=\left[0,1\right]$。

证明：若 $t\in U$，则由引理2.1知 $g_{t,\lambda }^2\left(U\right)=\left[0,1\right]$，若对某一个 $n\ge 0$，当 $0\le i\le n$ 时， $t\notin g_{t,\lambda }^i\left(U\right)$，当 $0\le i\le n$ 时， $g_{t,\lambda }^i\left(U\right)\subset \left(t,1\right]$ 且 $\exists x_i\in \left(0,1\right)$ 使得 $g_{t,\lambda }^i\left(U\right)=\left(a_t-x_i,a_t+x_i\right)$ 且 $\left|g_{t,\lambda }^{i+1}\left(U\right)\right|=\left|g_{t,\lambda }\left(g_{t,\lambda }^i\left(U\right)\right)\right|=\frac{1}{1-t}\left|g_{t,\lambda }^i\left(U\right)\right|$。所以 $\left|g_{t,\lambda }^n\left(U\right)\right|={\left(\frac{1}{1-t}\right)}^n\left|U\right|={\left(\frac{1}{1-t}\right)}^n\cdot 2\delta$ 因为 $\underset{n\to \infty }{\lim }{\left(\frac{1}{1-t}\right)}^n\cdot 2\delta =+\infty$，所以若不存在n，使得 $t\in g_{t,\lambda }^n\left(U\right)$，则 $\underset{n\to \infty }{\lim }\left|g_{t,\lambda }^n\left(U\right)\right|=+\infty$，这与 $g_{t,\lambda }^n\left(U\right)\subset \left[0,1\right]$ 矛盾。所以存在 $n_0\in N$，使得 $t\in g_{t,\lambda }^{n_0}\left(U\right)$ 且当时，。记。所以。因为，所以存在，且，使得。，(1)。由于是的邻域，所以存在。使得，即，所以。

因为。所以。因为，所以存在，使得，所以， (2)，由(1)，(2)知所以，证明完毕。

命题2.1：对任意的，及，存在从到x的关于的链。

证明：设，由引理2.2，存在n，使得所以存在，使得，记。则是一条从到x的关于的链。

引理2.3：对任意区间U，若，则，其中。

证明：不妨设，则，，所以，又。若。则，因而。若，则，同样有，由此可得。

命题2.2：设，若U为一个区间满足且当时，。则，其中。

证明：不妨设，则且

情形1：。此时由引理2.3，此时，其中。所以，所以。

显然上式关于单调增加，。

所以。

因为，所以，另一方面，当时，关于t单调增加，所以

，因为，所以，即有。

情形2，若，则，进一步，则且，若，则，且，因为，所以，所以。

情形3，若。则。

进一步，若，则。

若，则。

若，则由引理2.3，。

此时存在，使得，即有

，所以，因为，即，所以或。

因为此时，所以(舍去)。

所以。

考虑当时，。

当时，，所以。从而。

又当时，，当时，。

因为，所以。

取，则，且由情形1~3知。

命题2.3：设，若U为一个区间满足，且则。

证明：因为，所以且，从而

.

情形1，则，因为

所以。

情形2，则。

因为，所以。

情形3，此时由引理2.3知，

由情形1~3知。

命题2.4：设，U为一个区间满足：且。，，则。

证明：由引理2.3，且存在，使得，所以且，所以

.

命题2.5：设，U为一个区间满足：且，，则。

证明：在命题条件下，我们有且，因为且，所以。由命题2.3的证明过程知。

命题2.6：设。则存在。使得。

证明：若结论不成立。则对于任意的。，。对每一个，有下列五种情况：

①；②；③；④； ⑤且；

针对情形①②，我们由命题2.2得

针对情形③，我们由命题2.5得

针对情形④，我们由命题2.3得

针对情形⑤，我们由命题2.4得

因此，任意的n，，且。所以，这与矛盾.所以结论成立，即存在，使得。

命题2.7：对对任意的非退化闭区间U，当时，存在无穷多个使得。

证明：若结论不成立，则存在，对任意的我们有或若则，若则，令于是对于任意的，我们有，从而，矛盾。

命题2.8：设。则存在。使得。

证明：若结论不成立，则对任意的，，，有前面引理知，存在，使得，所以，，，，，，归纳得，，，因为任意的，，，所以，，。所以任意的，因为，所以，所以所以，矛盾。所以结论成立。

命题2.9：设，，存在从x到的关于的链。

证明：由的连续性知，对任意的，存在，当时，。由引理命题2.6和命题2.7知：任意满足的正数，存在，使得。所以，对任意的，总存在使得则对于链，有，则是一条从x到的链。命题得证。

3. 主要定理的证明

定理3.1：，。

证明：当时，任意的，由命题2.9知，存在从x到的关于的链，又由命题2.1知对任意的，及，存在从到x的关于的链，所以。