关于欧氏平面ℝ²中三角形的John定理

The John Theorem for Triangles in 2-Dimension Euclidean Space ℝ²

摘要: 本文利用著名的John定理研究三角形的极值性质，刻画了正三角形的John接触点的特征，证明了任意一个三角形的John椭圆是圆当且仅当该三角形是正三角形。

Abstract: In this paper, a description of the John contact points of a regular triangle was given. It was proved that the John ellipse of any triangle is circle if and only if this triangle is regular and that the John ellipse of a regular triangle is its inscribed circle.

1. 引言

早在1948年，F. John证明了n维欧氏空间 ${ℝ}^n$ 中的每一个凸体都包含一个唯一的体积最大的椭球，现在我们把这个椭球称为该凸体的John椭球，当这个John椭球是欧氏单位球B的时候，F. John给出了一组充分必要条件，从而把这个单位球刻画了出来。这就是下面著名的John定理(参见 [1] - [6] )。

定理A：n-维欧氏空间 ${ℝ}^n\left(n\ge 2\right)$ 中的每一个凸体K都包含一个唯一的体积最大的椭球。这个椭球是球当且仅当 $B\subset K$ 并且对于某个正整数 $m\ge n$，存在一列正实数 ${\left\{c_i\right\}}_1^m$，同时在K的边界上存在一列单位向量 ${\left\{u_i\right\}}_1^m$ 满足：

${\displaystyle \underset{i=1}{\overset{m}{\sum }}{c}_i{u}_i\otimes u_i=I_n}$，(1.1)

和

${\displaystyle \underset{i=1}{\overset{m}{\sum }}{c}_i{u}_i=0}$， (1.2)

这里，算子 $u_i\otimes u_i$ 定义为对于任意 $x\in {ℝ}^n$， $u_i\otimes u_i\left(x\right)=\langle u_i,x\rangle u_i$，而 $I_n$ 表示 ${ℝ}^n$ 上的单位算子。

条件(1.1)表明 ${\left\{u_i\right\}}_1^m$ 类似 ${ℝ}^n$ 中的一组正交基，它的一种等价表示是，对于任意的 $x\in {ℝ}^n$，都有下面的等式成立：

${\left|x\right|}^2={\displaystyle \underset{i=1}{\overset{m}{\sum }}{c}_i{\langle u_i,x\rangle }^2}$， (1.3)

或者

$x={\displaystyle \underset{i=1}{\overset{m}{\sum }}{c}_i\langle x,u_i\rangle u_i}$， (1.4)

其中， $\langle \cdot ,\cdot \rangle$ 表示欧氏空间 ${ℝ}^n$ 中通常的内积。关于上述等价关系的详细论述可参考K. Ball的文章 [2] 。

我们把凸体K的边界上满足(1.1)和(1.2)的点称为接触点。 ${ℝ}^n$ 中最简单的凸体就是立方体 ${\left[-1,1\right]}^n$，显然它的接触点就是 ${ℝ}^n$ 中的标准基向量 $\left\{e_1,\dots ,e_n\right\}$ 以及 $\left\{-e_1,\dots ,-e_n\right\}$。

本文的主要目的是利用John定理对2维欧氏平面 ${ℝ}^2$ 中三角形的一些性质做些描述，并得到如下两个结论。

定理1：正三角形的John椭圆就是它的内切圆。

定理2：任意一个三角形的John椭圆是圆当且仅当该三角形是正三角形。

2. 准备知识

在定理的证明中，我们需要用到重心坐标的概念。众所周知，重心坐标是距离几何中的一个常用概念，在三角形中它的定义如下(见 [5] [7] )：

设A是2维欧氏平面 ${ℝ}^2$ 中以 $\left\{A_1,A_2,A_3\right\}$ 为顶点的一个三角形，且M是 ${ℝ}^2$ 中任意一点，记以 $\left\{M,A_2,A_3\right\}$， $\left\{A_1,M,A_3\right\}$ 和 $\left\{A_1,A_2,M\right\}$ 为顶点的三角形的面积分别为和 $S_3$，则我们称面积比

$S_1:S_2:S_3={\mu }_1:{\mu }_2:{\mu }_3$

为点M关于三角形A的重心坐标，记为 $M={\mu }_1:{\mu }_2:{\mu }_3$。

从上述定义可知，对于某个点M的重心坐标可记为 $\left({\mu }_1:{\mu }_2:{\mu }_3\right)$，也可记为 $\left(k{\mu }_1:k{\mu }_2:k{\mu }_3\right)$，即其记法并非唯一，是可以相差一个非零的常数因子k的。

对于M点的重心坐标 $\left({\mu }_1:{\mu }_2:{\mu }_3\right)$，若令 ${\lambda }_i=\frac{{\mu }_i}{{\displaystyle \underset{j=1}{\overset{3}{\sum }}{\mu }_j}},i=1,2,3$，则 ${\displaystyle \underset{i=1}{\overset{3}{\sum }}{\lambda }_i=1}$，则我们称 $\left({\lambda }_1,{\lambda }_2,{\lambda }_3\right)$ 为点M的规范重心坐标，这就是有限元法中的面积坐标。

假设 $\left\{A_1,A_2,A_3\right\}$ 是某一个正三角形的顶点，且标准单位圆B是它的内切圆，我们记B与顶点 $A_1,A_2,A_3$ 所对的边 $\overline{A_2{A}_3},\overline{A_3{A}_1}$ 和 $\overline{A_1{A}_2}$ 上的切点分别为 $B_1,B_2$ 和 $B_3$，边 $\overline{A_2{A}_3},\overline{A_3{A}_1}$ 和 $\overline{A_1{A}_2}$ 上过点 $B_1,B_2$ 和 $B_3$ 的单位外法向量分别为 $u_1,u_2,u_3$。根据重心坐标定义，通过简单的计算可得 $B_1,B_2$ 和 $B_3$ 的重心坐标分别为：

$\left(0:\frac{1}{2}:\frac{1}{2}\right),\left(\frac{1}{2}:0:\frac{1}{2}\right),\left(\frac{1}{2}:\frac{1}{2}:0\right)$。

因此，对任意一个正三角形，它的接触点的重心坐标具有如下的形式：

$\left(\begin{array}{ccc}0& \frac{1}{2}& \frac{1}{2}\\ \frac{1}{2}& 0& \frac{1}{2}\\ \frac{1}{2}& \frac{1}{2}& 0\end{array}\right)$， (2.1)

其中矩阵的每一行向量代表一个接触点的重心坐标。

3. 定理1的证明

根据John定理，我们只要证明正三角形的内切圆的切点满足John定理即可。首先约定2维欧氏平面 ${ℝ}^2$ 中的正三角形及相关元素的记号同第2节。在此规定下，由重心坐标的定义不难求得坐标原点的重心坐标为 $\left(1:1:1\right)$。令 $c_i=\frac{2}{3},i=1,2,3$，则

${\displaystyle \underset{i=1}{\overset{3}{\sum }}{c}_i{B}_i}=\frac{2}{3}\left(0:\frac{1}{2}:\frac{1}{2}\right)+\frac{2}{3}\left(\frac{1}{2}:0:\frac{1}{2}\right)+\frac{2}{3}\left(\frac{1}{2}:\frac{1}{2}:0\right)=\left(1:1:1\right)$。

于是，我们验证了John定理中的(1.2)式。

下面我们将验证向量 $u_1,u_2,u_3$ 满足John定理中的(1，1)式。事实上我们只需证明与(1.1)式等价的式子如下，即对任意 $x\in {ℝ}^2$，都有下面的等式成立：

$x={\displaystyle \underset{i=1}{\overset{3}{\sum }}{c}_i\langle x,u_i\rangle u_i}$， (3.1)

其中， $c_i=\frac{2}{3},i=1,2,3$。

由于我们所考虑的凸体是 ${ℝ}^2$ 中三角形 $A=\Delta A_1{A}_2{A}_3$，所以它的3个边 $a_1=\overline{A_2{A}_3}$， $a_2=\overline{A_3{A}_1}$ 和 $a_3=\overline{A_1{A}_2}$ 上的单位法向量 $u_1,u_2,u_3$ 所形成的空间必为 ${ℝ}^2$，也即

$\text{Span}\left(u_1,u_2,u_3\right)={ℝ}^2$。

因此，对任意的向量 $x\in {ℝ}^2$，一定存在实数 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3$，使得

$x={\alpha }_1{u}_1+{\alpha }_2{u}_2+{\alpha }_3{u}_3$。

分别以 $u_1,u_2,u_3$ 与上式的两端作内积，我们可得

$\{\begin{array}{l}\langle u_1,x\rangle ={\alpha }_1\langle u_1,u_1\rangle +{\alpha }_2\langle u_1,u_2\rangle +{\alpha }_3\langle u_1,u_3\rangle ,\\ \langle u_2,x\rangle ={\alpha }_1\langle u_2,u_1\rangle +{\alpha }_2\langle u_2,u_2\rangle +{\alpha }_3\langle u_2,u_3\rangle ,\\ \langle u_3,x\rangle ={\alpha }_1\langle u_3,u_1\rangle +{\alpha }_2\langle u_3,u_2\rangle +{\alpha }_3\langle u_3,u_3\rangle .\end{array}$

若记 $\alpha =\left({\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3\right)$， $\beta =\left(\langle u_1,x\rangle ,\langle u_2,x\rangle ,\langle u_3,x\rangle \right)$，且向量 $u_1,u_2,u_3$ 的Gram矩阵为

$G=G\left(u_1,u_2,u_3\right)=\left(\begin{array}{ccc}\langle u_1,u_1\rangle & \langle u_1,u_2\rangle & \langle u_1,u_3\rangle \\ \langle u_2,u_1\rangle & \langle u_2,u_2\rangle & \langle u_2,u_3\rangle \\ \langle u_3,u_1\rangle & \langle u_3,u_2\rangle & \langle u_3,u_3\rangle \end{array}\right)$。

因此，上面的方程可改写为

$G{\alpha }^{\text{T}}={\beta }^{\text{T}}$， (3.2)

其中 ${\alpha }^{\text{T}}$， ${\beta }^{\text{T}}$ 分别表示 $\alpha$ 和 $\beta$ 的转置。

考虑到G的任一元素 $\langle u_i,u_j\rangle \left(1\le i\le j\le 3\right)$ 是三角形的两个边 $a_i$ 与 $a_j$ 对应的单位外法向量 $u_i$ 与 $u_j$ 的夹角的余弦，又由于法向量 $u_i$ 与 $u_j$ 的夹角与三角形的边 $a_i$， $a_j$ 所形成的夹角 $\angle \left(a_i,a_j\right)$ 是互补的，所以

$\langle u_i,u_j\rangle =-\cos \angle \left(a_i,a_j\right)$。

我们仍然用 $a_1,a_2,a_3$ 分别表示三角形的边 $\overline{A_2{A}_3},\overline{A_3{A}_1},\overline{A_1{A}_2}$ 的边长。对于 $\cos \angle \left(a_i,a_j\right)$，我们有

$\cos \angle \left(a_i,a_j\right)=\frac{a_{ji}}{a_j}$，

其中 $a_{ji}$ 表示边 $a_j$ 沿 $-u_i$ 方向向边 $a_i$ 作垂直投影所得到的投影的长度。

为了得到Gram矩阵G的值，我们只需计算 $\frac{a_{ji}}{a_j}$ 的值即可。由于我们所考虑的是正三角形，所以对于 i ≠ j 所有的 $\frac{a_{ji}}{a_{ij}}=\frac{1}{2}$，对于 $i=j$ 所有的 $\frac{a_{ji}}{a_j}=-1$。这样就得到了矩阵G，即

$\left(\begin{array}{ccc}1& -\frac{1}{2}& -\frac{1}{2}\\ -\frac{1}{2}& 1& -\frac{1}{2}\\ -\frac{1}{2}& -\frac{1}{2}& 1\end{array}\right)$。

由此，把(1.2)和(3.2)式联立可得

$\{\begin{array}{l}G{\alpha }^{\text{T}}={\beta }^{\text{T}},\\ {\displaystyle \underset{i=1}{\overset{3}{\sum }}\langle u_i,x\rangle =0.}\end{array}$

将 $\alpha =\left(\frac{2}{3}\langle u_1,x\rangle ,\frac{2}{3}\langle u_2,x\rangle ,\frac{2}{3}\langle u_3,x\rangle \right)$ 代入上面的方程组可知 $\alpha$ 是该方程组的一组解。因此 ${ℝ}^2$ 中的任意一点可以表示成(3.1)式的形式，定理1证毕。

4. 定理2的证明

首先，我们介绍H. J. Brascamp和E. H. Lieb 建立的一个著名不等式作为引理(参见 [3] [4] )，它可以被看作卷积不等式的推广，被称为Brascamp-Lieb不等式。

引理4.1：设 ${\left\{u_i\right\}}_1^m$ 是 ${ℝ}^n$ 中的一列单位向量， ${\left\{c_i\right\}}_1^m$ 是一列正实数，使得它们满足下面的等式：

${\displaystyle \underset{i=1}{\overset{m}{\sum }}{c}_i{u}_i\otimes u_i=I_n}$。

如果 $f_i:ℝ\to \left(0,\infty \right),i=1,\cdots ,m$ 是一列可积函数，那么

${\displaystyle {\int }_{{ℝ}^n}{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{m}{\prod }}{f}_i{\left(\langle u_i,x\rangle \right)}^{c_i}\text{d}x}}\le {\displaystyle \underset{i=1}{\overset{m}{\prod }}{\left({\displaystyle {\int }_{ℝ}{f}_i\left(t\right)\text{d}t}\right)}^{c_i}}$。(4.1)

F. Barthe在文 [3] 中给出了引理4.1等式成立的一组必要条件，即下面的引理。

引理4.2：设 ${\left\{u_i\right\}}_1^m$ 是 ${ℝ}^n$ 中的一列单位向量， ${\left\{c_i\right\}}_1^m$ 是一列正实数，使得它们满足下面的等式：

${\displaystyle \underset{i=1}{\overset{m}{\sum }}{c}_i{u}_i\otimes u_i=I_n}$。

如果 ${\left\{f_i\right\}}_1^m$ 是 $L_1\left(ℝ\right)$ 中不全为零的函数，并且 ${\left\{f_i\right\}}_1^m$ 不都是高斯分布的密度函数，那么(4.1)式取等式的必要条件是

$m=n$，

并且 ${\left\{u_i\right\}}_1^m$ 是 ${ℝ}^n$ 的一组正交基。

现在我们给出定理2的证明。

由定理1立即可得定理2的充分性。下面我们证明定理2的必要性，即如果三角形A的John椭圆是欧氏单位圆B，那么三角形A是正三角形。

首先我们注意到如果三角形A的John椭圆是单位圆B，那么这个圆一定是该三角形的内切圆。如若不然，那么不妨设B与三角形的某个边 $a_i$ 不相切，设边 $a_i$ 的外法向量是 $u_i$，那么一定存在一个正实数 $\epsilon$，使得单位圆B沿方向 $u_i$ 平行移动 $\epsilon$ 后，单位圆B不在与三角形A的任何边相切。这时一定存在另一个正实数 ${\epsilon }^{\prime }$，如果我们对单位圆B沿方向 $u_i$ 平行移动 ${\epsilon }^{\prime }$ 后，再令单位圆B做一个膨胀r，使得膨胀后得到的圆rB成为三角形P的内切圆。这与我们的条件——单位圆B是John椭圆相矛盾。

因为三角形A的内切圆是其John椭圆，由John定理，存在一组正实数 ${\left\{c_i\right\}}_1^3$ 以及在A的边界上存在一组单位向量 ${\left\{u_i\right\}}_1^3$，使得

${\displaystyle \underset{i=1}{\overset{3}{\sum }}{c}_i{u}_i\otimes u_i=I_2}$， (4.2)

和

${\displaystyle \underset{i=1}{\overset{3}{\sum }}{c}_i{u}_i=0}$。 (4.3)

设 $K=\left\{x\in {ℝ}^2:\langle x,u_i\rangle \le 1,1\le i\le 3\right\}$，则K也是 ${ℝ}^2$ 中的三角形。由于 ${\left\{u_i\right\}}_1^3$ 是A和B的接触点，所以

$A\subset \left\{x\in {ℝ}^2:\langle x,u_i\rangle \le 1,1\le i\le 3\right\}=K$。

注意到B也是三角形A的内切圆且K，A与B有相同的切点 ${\left\{u_i\right\}}_1^3$，所以我们有

$A=K$。

现在问题转化为只需要证明K是正三角形即可。在下面的讨论中，我们把 ${ℝ}^3$ 视为 ${ℝ}^2\times ℝ$，令

$v_i=\sqrt{\frac{2}{3}}\left(-u_i,\frac{1}{\sqrt{2}}\right)\in {ℝ}^3,i=1,2,3$。

$d_i=\frac{3}{2}{c}_i,i=1,2,3$。

容易验证 ${\left\{u_i\right\}}_1^3$ 是单位向量，并且结合(4.2)和(4.3)，我们有

${\displaystyle \underset{i=1}{\overset{3}{\sum }}{d}_i{v}_i\otimes v_i=I_3}$。

定义函数列 ${\left\{f_i\right\}}_1^k$ 如下：

$f_i\left(t\right)=\{\begin{array}{l}{\text{e}}^{-t},如果t\ge 0,\\ 0,如果t<0.\end{array}$

对于任意的 $x\in {ℝ}^3$，令

$F\left(x\right)={\displaystyle \underset{i=1}{\overset{3}{\prod }}{f}_i{\left(\langle v_i,x\rangle \right)}^{d_i}}$，

由引理4.1，我们得到

${\displaystyle {\int }_{{ℝ}^3}F\left(x\right)}\le {\displaystyle \underset{i=1}{\overset{3}{\prod }}{\left({\displaystyle {\int }_{ℝ}{f}_i\left(t\right)\text{d}t}\right)}^{d_i}}=1$。 (4.4)

现在，假设 $x=\left(y,r\right)\in {ℝ}^2\times ℝ$，对于每一个i，我们有

$\langle v_i,x\rangle =\frac{r}{\sqrt{3}}-\sqrt{\frac{2}{3}}\langle u_i,y\rangle ,i=1,2,3$。

因为 ${\displaystyle \underset{i=1}{\overset{3}{\sum }}{c}_i{u}_i=0}$，则存在j (仅依赖于y)使得 $\langle u_j,y\rangle \ge 0$。因此，如果 $r<0,\langle v_j,x\rangle <0$，则 $F\left(x\right)=0$。另一方面，如果 $r\ge 0$，则对于每一个i，当 $\langle u_{i}y\rangle \le \frac{r}{\sqrt{2}}$ 时， $F\left(x\right)\ne 0$。从而我们可得

$\begin{array}{c}F\left(x\right)=\exp \left[-{\displaystyle \underset{i=1}{\overset{3}{\sum }}{d}_i\left(\frac{r}{\sqrt{3}}-\sqrt{\frac{2}{3}}\langle u_i,y\rangle \right)}\right]\\ =\exp \left(-\sqrt{3}r+\sqrt{\frac{2}{3}}\langle {\displaystyle \underset{i=1}{\overset{3}{\sum }}{c}_i{u}_i,y}\rangle \right)\\ =\exp \left(-\sqrt{3}r\right)\end{array}$

因此对于每一个 $r\ge 0$，我们可得F在平面 $\left\{x:x_3=r\ge 0\right\}$ 上的积分为：

，

其中 $S\left(K\right)$ 表示三角形K的面积。因此由(4.4)式可得

，

即

$S\left(K\right)\le 3\sqrt{3}$。 (4.5)

注意到(4.5)式的右端正是以单位圆B为内切圆的正三角形的面积。

考虑到函数 ${\left\{f_i\right\}}_1^3$ 的构造，并对(4.4)式应用引理4.2，可得(4.4)式等式成立的条件是 ${\left\{v_i\right\}}_1^3$ 是 ${ℝ}^3$ 的一组正交基。任取这组正交基中的两个向量

$v_i=\sqrt{\frac{2}{3}}\left(-u_i,\frac{1}{\sqrt{2}}\right)$

和

$v_j=\sqrt{\frac{2}{3}}\left(-u_j,\frac{1}{\sqrt{2}}\right)$，

我们有

$0=\langle v_i,v_j\rangle =\frac{2}{3}\langle u_i,u_j\rangle +\frac{1}{2}$，

所以

是一个常数。由于 ${\left\{u_i\right\}}_1^3$ 是三角形 $K$ 的三个边上的单位外法向量，因此， $K$ 是正三角形。定理2证毕。

基金项目

国家自然科学基金资助项目(No: 11561020)。