1. 引言及主要结果
设
为区域D内的一族亚纯函数,如果对于
的任一函数序列
均可选出一个子序列
在区域D上按球距内闭一致收敛,则称
在D内正规。
设f和g是区域D内的两个亚纯函数,a是一个复数。若
与
在D有相同的零点,则称f与g在区域D内分担a或称IM分担a;若
与
在D有相同的零点并且所有零点的重级也相同,则称f与g在区域D内CM分担a。
用记号
来表示若
则
,如果
且
,我们记为
。如果把复数a替换为集合S,我们记为
。
1992年,Schwick [1] 首次把亚纯函数正规族与分担值联系起来,证明了
定理A设
为区域D上的非常数亚纯函数,
,
和
是三个互相判别的有穷复数。若对任意的
,f与
分担
,
,则
在D内正规。
此后,与分担值结合的亚纯函数正规定则在文 [2] [3] [4] 中得到进一步研究。自然地,人们会问:如果将分担三个复数
替换为分担集合
,相应的结论是否成立?2007年,刘晓俊和庞学诚 [5] 考虑亚纯函数及其一阶导数分担一个集合的正规性问题,证明了?
定理B设
为区域D内的一族亚纯函数,
,
和
是三个互相判别的有限复数,
,若对任意的
,
,其中
,则
在D内正规。
一个自然的问题是将定理B中的
改为
,结论是否仍然成立。2011年,张汉等人 [6] 探究f和
分担一个集合的正规性,证明了
定理C设
为区域D内的一族亚纯函数,
,
和
为三个互相判别的有限复数,
,
是一个正整数,a为任意有限复数。若对任意的
,
的零点和极点重级都
,且
,其中
,则
在D内正规。
2008年,韩明华和顾永兴 [7] 探讨
和f分担两个值的情形,证明了
定理D设
为区域D内的一族亚纯函数,
,
和c是三个有限复数且
。若对任意的
,满足,1)
的零点重级均
;2)
,其中
,
,那么
在D内正规。
2018年,陈鸿辉等人 [8] 考虑
和f分担一个集合S的情况,证明了
定理E设
为区域D内的一族亚纯函数,a,b和c是三个判别的有限复数且
,k是正整数,令
。若对任意的
,满足,1)
的零点重级均
;2)
,其中
,则
在D内正规。
本文推广了定理E,证明了
定理1设
是区域D内的一族亚纯函数,a,b和c是三个有限复数,且
,
和q是两个正整数,令
。若对任意的
,满足,1)
的零点重级
;2)
,其中
,
是全纯函数,且
,则
在D内正规。
下面的例子说明定理1中的条件“
的零点重级
”是必须的。
例1令
,k和q是两个正整数,
,
,
。
,其中
,
。显然
。但是,
在D上不正规。
2. 引理
定理的证明需要下列引理。
引理1 (Zalcman-Pang引理) [9] 设
为区域D内的一族亚纯函数,k为正整数,
中的每个函数的零点重级至少为k,且存在一个正数A,若
,必有
。那么,若
在D内不正规,则对于每一个
,
,存在
1) 函数列
;
2) 点列
,
;
3) 正数列
;
4) 实数r,
。
使得函数
在复平面C上按球面距离内闭一致收敛于一个非常数亚纯函数
,并且
的零点重级均
,它的级至多为2。
引理2 [10] 设
为复平面上的一个超越亚纯函数,k为一个正整数,b为非零有限复数,则f或者
有无穷多个零点。
引理3 [11] 设
,
是常数。
和
是两个互素的多项式,且
,k是正整数。若
,则有
1)
;
2)
,其中
和b是常数;
3) 若
的零点重级均
,则结论2) 中
,且
,其中
和d是常数。
引理4 [12] 设k是一个正整数,f是一个有穷级的亚纯函数,且零点重级至少为k。设a是一个非零复数,若
和
分担0,且
,则f是一个常数。
3. 定理1的证明
假设
在D内不正规,则
在
内不正规。由引理1,可知存在函数列
,点列
,
,正数列
,使得函数
在复平面C上按球面距离内闭一致收敛于一个非常数亚纯函数
,且
的级至多为2,零点重级均
。
下面我们分两种情形进行讨论。
情形1
。即
且
。为了明确起见,不妨假设
。
我们断言
1)
;
2)
。
下面我们证明断言1),因为
则
其中
。
可证
,否则,
,由
的定义,可找到一个非零常数w,使
,进而可知
是一个次数为k次的多项式。由于
的零点重级均
,则
为常数。矛盾。假设存在一点
,使得
,故
不是
的极点。取
,使
在
内是全纯的,因此在
内有
由Hurwitz定理,可找到一个点列
,
,使
。由条件可知,
或者
。
如果
,可得
。
如果
,可得
。
因此
是
的极点,矛盾。所以断言1)成立。同理可证断言2)也成立。
因为
,根据
的定义,可找到一个非零常数w,使
。根据引理2,可得
是超越亚纯函数。因为
的零点重级均
和
,则
不是多项式。根据引理3,令
,其中
是常数。由于
,由
的定义,可找到一个常数d,使
,其中
或者
。经过简单的计算,可得
,所以
有解,进而
有解,与断言2)矛盾。
情形2
,即
或
。不妨假设
。
可断言
3)
;
4)
。
下面我们证明断言3),使用情形1的方法,可找到一个点列
,
,使
,由条件可知,
或者
。
假设
,可得
。
假设
,可得
,此时
是
的极点,这与
矛盾,故这种情况不成立。
所以断言3)成立,同理可证断言4)成立。
子情形2.1
且
。
根据情形1的表述,可知这种情况不成立。
子情形2.2
,
或
,
。
为了明确起见,不妨设
,则有
。可证
,否则
。存在
,使
。即
是
的零点。因为
的零点重级均
,所以
也是
的零点。即
,矛盾。所以有
。由于
的零点重级均
,可得
。因此
和
分担0。因为
且
,再根据
的定义和情形1的表述,可知存在一个非零常数w,使
,由引理4,可知
是一个常数,矛盾。
子情形2.3
且
,即断言3)和断言4)同时成立。
因为
,显然
。否则
,存在
,使
,故
是
的零点。由条件,可知
也是
的零点,即
。同理可得
,这与
矛盾。
综上所述,
在D内正规。定理1证毕。
基金项目
国家自然科学基金(编号:11271090),广东省自然科学基金(编号:2016A030310257、2015A030313346)},广州大学研究生创新能力培养资助计划(2018GDJC-D28)资助。