密码rpp半群上的同余

Congruences on Normal Cryptic rpp Semigroups

摘要: 本文的主要目的是研究密码rpp半群的同余，得到了这类半群上的L*-酉同余迹的一些性质。另外，也考虑了一些特殊L*-酉同余。

Abstract: The aim of this note is to study congruences on cryptic rpp semigroups. Some properties of traces of L*-unary congruences on this class of semigroups are obtained. Also, some special cases are considered.

1. 引言和准备

称半群S为右主投射半群(简称rpp半群)，如果对于任意的 $a\in S$，作为S¹-系，aS¹总是投射的。对偶地，定义左主投射半群(lpp半群)。作为完全正则半群(completely regular semigroup)的推广，郭聿琦，岑嘉评，朱聘瑜 [1] 定义了强rpp半群(strongly rpp semigroup)。之后，有一系列论文从事这一课题的研究(参见， [2] - [22] )。类似于密码群(cryptogroup)，郭小江，杨艳萍 [12] [20] 定义了密码rpp半群(cryptic rpp semigroup)，并且给出了这类半群的结构。同余理论是半群理论的重要组成部分，同余性质可以很好地表达半群的结构信息，因此研究半群上的同余是有意义的。本文将考虑密码rpp半群的同余问题。事实上，对密码rpp半群的同余理论，已经做了些探索(见 [8] )。

作为通常Green-关系的推广，我们有

$a{L}^{*}b\iff \left(\forall x,y\in S^1,ax=ay\leftrightarrow bx=by\right).$

$a{R}^{*}b\iff \left(\forall x,y\in S^1,xa=ya\leftrightarrow xb=yb\right).$

众所周知， $L^{*}$ 为右同余， $R^{*}$ 为左同余。一般地， $L\subseteq L^{*}$， $R\subseteq R^{*}$。但当a，b都是正则元时，当且仅当 $a{L}^{*}\left(R^{*}\right)b$。等价地，半群S为rpp半群当且仅当对于任意的 $a\in S$，都存在幂等元e使得。易知，正则半群是rpp半群。

定义1.1：一个rpp半群S称为强rpp半群(strongly rpp semigroup)，如果对于任意的 $a\in S$，都存在惟一幂等元 $a^0$，使得 $a{L}^{*}{a}^0$ 且 $a=a{a}^0$。

对偶地，定义强lpp半群(strongly lpp semigroup)。为更好地研究强rpp半群，郭小江，郭聿琦，岑嘉评 [5] [6] 定义了如下关系。令S为强rpp半群， $a,b\in S$，定义

$a\bar{R}b\iff a^{0}R{b}^0;\bar{H}=L^{*}\cap \bar{R};D^{\left(l\right)}=L^{*}\vee R.$

郭小江，郭聿琦，岑嘉评证明了：

1) $a\bar{H}{a}^0$；

2) $D^{\left(l\right)}=R\circ L^{*}$；

3) 对于任意的正则元 $a,b\in S$， $aD\left(H\right)b\iff a{D}^{\left(l\right)}\left(\bar{H}\right)b$。

一般地， $\bar{R}$ 不是S上的左同余。如果 $\bar{R}$ 为S上的左同余，则称S为超rpp半群(super rpp semigroup) (见 [6] )。事实上，一个强rpp半群为超rpp半群的充分必要条件是它上的 $D^{\left(l\right)}$ 关系为半格同余。

定义1.2：强rpp半群S称为密码rpp半群(cryptic rpp semigroup)，如果 $\bar{H}$ 为S上的同余。finition

郭小江，杨艳萍 [12] 指出：密码rpp半群都是超rpp半群，并且密码群恰为正则的密码rpp半群。关于密码群，参见 [23] )。叶火平，郭俊颖，郭小江 [21] 证明了：一个超rpp半群的所有正则元构成一个完全正则半群。这表明，一个密码rpp半群的所有正则元构成一个密码群。

定义1.3：半群S上的同余 $\rho$ 称为 $L^{*}$ -同余( $L^{*}$ -congruence)，如果对于任意的 $$， $a{L}^{*}b$ 蕴含着 $a\rho L^{*}b\rho$。

定义1.4：强半群S上的同余 $\rho$ 称为酉同余(unary congruence)，如果对于任意的 $a,b\in S$， $a\rho =b\rho$ 蕴含着 $a^0\rho =b^0\rho$。

引理1.5 ( [8] ，引理7)：令S为强rpp半群。若 $\rho$ 为S上的 $L^{*}$ -酉同余，则 $S/\rho$ 为强rpp半群，且 $E\left(S/\rho \right)=E\left(S\right)\rho$，。

本文将采用教科书 [24] 的概念和术语，未给出定义的可参见文献 [6] 。

2. 迹

本节将研究密码rpp半群上同余的性质。首先，回忆同余迹的定义。

定义2.1：令S为半群， $\rho$ 为S上的同余。称E(S)(S的幂等元集)上的等价关系 $tr\rho ={\rho |}_{E\left(S\right)}$ 为同余 $\rho$ 的迹。

为得到密码rpp半群同余迹的一般性质，引进如下概念。

定义2.2：E(S)上等价关系 $\tau$ 称为正规的(nomral)，如果

(T) $e\tau f,x,y\in S^1\Rightarrow {\left(xey\right)}^0\tau {\left(xfy\right)}^0.$

进一步，E(S)上的正规等价关系 $\tau$ 称为真的(proper)，如果 $\tau$ 既不为恒等关系 $\epsilon$，也不是泛关系 $\omega$。

明显，E(S)上的恒等关系 $\epsilon$ 和泛关系 $\omega$ 都是正规的。记JN(S)为E(S)上所有正规等价关系所组成的集合，并赋予集合的包含关系。

据定义，不难验证，有如下推论：

推论2.3：E(S)上的正规等价关系的交还是正规的。

基于推论2.3，可以证得下面引理。

引理2.4：关于如下运算：对于 $A\subseteq JN\left(S\right),$

$\underset{\tau \in A}{{\displaystyle \wedge }}\tau ={\displaystyle \underset{\tau \in A}{\cap }\tau },\underset{\tau \in A}{{\displaystyle \vee }}\tau =\left\{\theta \in JN\left(S\right):{\displaystyle \underset{\tau \in A}{\coprod }\tau }\subseteq \theta \right\}$

$JN\left(S\right)$ 是完备格。

证明：据推论2.3， ${\displaystyle {\cap }_{\tau \in A}\tau }$ 与 ${\displaystyle \cap \left\{\theta \in JN\left(S\right):{\displaystyle {\coprod }_{\tau \in A}\tau }\subseteq \theta \right\}}$ 均为E(S)上的正规等价关系。因此

$\underset{\tau \in A}{{\displaystyle \wedge }}\tau ={\displaystyle \underset{\tau \in A}{\cap }\tau }$

和

$\underset{\tau \in A}{{\displaystyle \vee }}\tau ={\displaystyle \cap \left\{\theta \in JN\left(S\right):{\displaystyle \underset{\tau \in A}{\coprod }\tau }\subseteq \theta \right\}}$

都是上代数运算。据此，易知： $\left(JN\left(S\right),\wedge ,\vee \right)$ 为一个完备格。

下面是本节的主要结果。

定理2.5：令S为密码rpp半群。对于E(S)上的等价关系 $\tau$，以下各款等价：

(i) $\tau$ 为正规的；

(ii) $\tau =tr{\left(\bar{H}\tau \bar{H}\right)}^0$，其中 ${\left(\bar{H}\tau \bar{H}\right)}^0$ 为含于 $\bar{H}\tau \bar{H}$ 的最大同余；

(iii) 存在S上的 $L^{*}$ -酉同余 $\rho$，使得 $\tau =tr\rho$；

(iv) $\tau =tr{\tau }^{*}$，其中 $r^{*}$ 为包含 $\tau$ 的最小 $L^{*}$ -酉同余。

而且，如果条件(i)~(iv)满足，那么S上以 $\tau$ 为迹的 $L^{*}$ -酉同余均包含在区间 $\left[{\tau }^{*},\left(\bar{H}\tau \bar{H}\right)\right]$。

证明：(i)⇒(ii)显然， $\bar{H}\tau \bar{H}$ 为自反的，对称的。令 $\left(a,b\right)\in \bar{H}\tau \bar{H}$ 且 $\left(b,c\right)\in \bar{H}\tau \bar{H}$，则存在 $x,y,w,z\in S$ 使得 $a\bar{H}x\tau y\bar{H}b\bar{H}w\tau z\bar{H}c$。而 $x\bar{H}y,y,w\in E\left(S\right)$，进而 $y=w$，因此 $x\tau z$，故 $a\bar{H}\tau \bar{H}c$。

这样， $\bar{H}\tau \bar{H}$ 为传递的。

记 $\lambda ={\left(\bar{H}\tau \bar{H}\right)}^0$。令 $e\tau f$，则对于任意的 $x,y\in S^1$， $xey\bar{H}{\left(xey\right)}^0\tau {\left(xfy\right)}^0\bar{H}xfy$，进而 $xey\bar{H}\tau \bar{H}xfy$，从而 $\tau \subseteq \lambda$，显然 $\tau \subseteq tr\lambda$，反之，若 $gt\tau \lambda h$，则 $g\bar{H}\tau \bar{H}h$，进而存在 $p,q\in E\left(S\right)$ 使得 $g\bar{H}p\tau q\bar{H}h$，从而 $gHp\tau qHh$。但一个H-类最多含有一个幂等元，从而 $g=p,h=q$，故 $g\tau h$，这样 $tr\lambda \subseteq \tau$。现在证明了： $\tau =tr\lambda$。

(ii)⇒(iii)。用(i)⇒(ii)证明中的符号，仅需证明： $\lambda$ 为 $L^{*}$ -酉同余。

令 $x\in S$，由 $x=x{x}^0$，知 $x\lambda =\left(x\lambda \right)\left(x^0\lambda \right)$。对于任意的 $u,v\in S$，

1) 若 $\left(x\lambda \right)\left(u\lambda \right)=\left(x\lambda \right)\left(v\lambda \right)$，即 $\left(xu\right)\lambda =\left(xv\right)\lambda$，则对于任意的 $a,b\in S^1$， $axub\bar{H}\tau \bar{H}axvb$，从而存在 $e,f\in E\left(S\right)$ 使得 $axub\bar{H}e\tau f\bar{H}axvb$。但 $\bar{H}$ 为S上的同余，于是

$a{x}^{0}ub\bar{H}axub\bar{H}e\tau f\bar{H}axvb\bar{H}a{x}^{0}ub$。

因此 $\left(x^0\lambda \right)\left(u\lambda \right)=\left(x^{0}u\right)\lambda =\left(x^{0}v\right)\lambda =\left(x^0\lambda \right)\left(v\lambda \right)$。

2) 若 $\left(x\lambda \right)\left(u\lambda \right)=\left(xu\lambda \right)=x\lambda$，则 $\left(x\lambda \right)\left(u\lambda \right)=\left(x\lambda \right)\left(x^0\lambda \right)$，再根据(1)，有

$\left(x^0\lambda \right)\left(u\lambda \right)=\left(x^0\lambda \right)\left(x^0\lambda \right)=\left(x^0{x}^0\right)\lambda =x^0\lambda$

综合(1)，(2)，已经证明了：对于任意的 $u\lambda ,v\lambda \in {\left(S/\lambda \right)}^1$，

$\left(x\lambda \right)\left(u\lambda \right)=\left(x\lambda \right)\left(v\lambda \right)\Rightarrow \left(x^0\lambda \right)\left(u\lambda \right)=\left(x^0\lambda \right)\left(v\lambda \right).$

从而 $x\lambda L^{*}{x}^0\lambda$，故 $\lambda$ 为 $L^{*}$ -同余。

设 $x\lambda =y\lambda$，那么 $g,h\in E\left(S\right)$ 使得 $x\bar{H}g\tau h\bar{H}y$，进而 $x^0\bar{H}x\bar{H}g\tau h\bar{H}y\bar{H}{y}^0$，于是 $x^{0}Hg\tau hH{y}^0$，从而 $x^0=g$， $y^0=h$，因此 $\left(x^0,y^0\right)\in \tau \subseteq tr\lambda \subseteq \lambda$。故 $\lambda$ 为酉同余。

(iii)⇒(iv)。明显， ${\tau }^{*}={\left(tr\rho \right)}^{*}\subseteq \rho$，进而 $tr{\tau }^{*}\subseteq tr\rho$。若 $\left(e,f\right)\in tr\rho$，则，从而 $e{\tau }^{*}f$，这样 $tr\rho \subseteq tr{\tau }^{*}$，故 $tr{\tau }^{*}=tr\rho =\tau$。

(iv) ⇒(i)。因为

$e\tau f\Rightarrow e{\tau }^{*}f$

$\Rightarrow xey{\tau }^{*}xfy$ 对于任意 $x,y\subseteq S^1$

$\Rightarrow {\left(xey\right)}^0{\tau }^{*}{\left(xfy\right)}^0$ (由于 ${\tau }^{*}$ 为酉同余)

$\Rightarrow {\left(xey\right)}^0\tau {\left(xfy\right)}^0$

所以 $\tau$ 为正规等价关系。

现在假设条件(i)~(iv)成立。令 $\rho$ 为S上的 $L^{*}$ -同余，且 $\tau =tr\rho$，则 ${\tau }^{*}={\left(tr\rho \right)}^{*}\subseteq \rho$。对于任意的 $a,b\in S$，且 $a\rho b$，由 $a\bar{H}{a}^0\tau b^0\bar{H}b$，从而 $a\bar{H}\tau \bar{H}b$，因此 $\rho \subseteq \bar{H}\tau \bar{H}$，进而 $\rho \subseteq {\left(\bar{H}\tau \bar{H}\right)}^0$。反之，若 ${\tau }^{*}\subseteq \rho \subseteq {\left(\bar{H}\tau \bar{H}\right)}^0$，则由条件(ii)，(iv)，

$\tau =tr{\tau }^{*}\subseteq tr\rho \subseteq tr{\left(\bar{H}\tau \bar{H}\right)}^0=\tau$

故 $\tau =tr\rho$。

3. 几类L^*-酉同余

本节考虑密码rpp半群上的几类重要同余。

半群S上的同余 $\rho$ 称为幂等元分离(idempotent-separating)，如果对于任意 $e,f\in E\left(S\right)$， $e\rho f$ 蕴含着 $e=f$。等价地说， $\rho$ 为幂等元分离同余的充分必要条件是 $tr\rho =\epsilon$ (E(S)上的恒等关系)。

命题3.1：令S为密码rpp半群， $\rho$ 为S上的 $L^{*}$ -酉同余，则 $\rho$ 为幂等元分离同余的充分必要条件是 $\rho \subseteq \bar{H}$。

证明：(充分性)设 $\rho \subseteq \bar{H}$。对于任意的 $e,f\in E\left(S\right)$，若 $e\rho f$，进而 $eHf$，从而 $e=f$，故 $\rho$ 为幂等元分离同余。

(必要性)设 $\rho$ 为幂等元分离同余，那么 $tr\rho =\epsilon$，据定理2.5， $\rho \subseteq {\left(\bar{H}tr\rho \bar{H}\right)}^0={\left(\bar{H}\epsilon \bar{H}\right)}^0\subseteq \bar{H}$。

半群S上的同余 $\rho$ 称为左消幺半群同余(left cancellative monoid congruence)，如果 $S/\rho$ 为左消幺半群。不难验证，对于rpp半群，任一左消幺半群同余都是 $L^{*}$ -酉同余。

命题3.2：令S为密码rpp半群， $\rho$ 为S上的 $L^{*}$ -酉同余，则 $\rho$ 为左消幺半群同余的充分必要条件是 $tr\rho =\omega$。

证明：设 $\rho$ 为左消幺半群同余，则 $S/\rho$ 有且仅有一个幂等元。易知，对于任意的 $e\in E\left(S\right)$， $e\rho$ 是 $S/\rho$ 的幂等元，因此 $\omega \subseteq \rho$，故 $\omega \subseteq tr\rho \subseteq \omega$，于是 $tr\rho =\omega$。

反之，若 $tr\rho =\omega$，则根据引理1.5， $S/\rho$ 有且仅有一个幂等元。因此 $S/\rho$ 为幺半群。但 $S/\rho$ 为强rpp半群，所以 $S/\rho$ 为左消幺半群，故为S上的左消幺半群同余。

下面是命题3.2的直接推论。

推论3.3：令S为密码rpp半群，则 ${\omega }^{*}$ 是S上的最小左消幺半群 $L^{*}$ -酉同余。

Rpp半群S称为C-rpp半群，如果E(S)在S的中心内。等价地，一个半群为C-rpp半群的充分必要条件是它为一些左消去幺半群的强半格。值得指出，一个C-rpp半群的所有正则元构成一个子半群，并且为Clifford半群(即，所有幂等元都在其中心的正则半群)。关于Clifford半群，参见( [24] , p. 93)。

半群S上的同余 $\rho$ 称为S上的C-rpp半群同余，如果 $S/\rho$ 为C-rpp半群。

引理3.4：令S为密码rpp半群， $\rho$ 为S上的 $L^{*}$ -酉同余。对于任意的 $a,b\in S$，若 $a\bar{R}b$，则 $a\rho \bar{R}b\rho$。

证明：由定义，知 $a^{0}R{b}^0$，于是 $a^0\rho R{b}^0\rho$。据引理1.5， ${\left(a\rho \right)}^0=a^0\rho$， ${\left(b\rho \right)}^0=b^0\rho$。因此 ${\left(a\rho \right)}^{0}R{\left(b\rho \right)}^0$，从而 $a\rho \bar{R}b\rho$。

命题3.5：令S为密码rpp半群， $\rho$ 为S上的 $L^{*}$ -酉同余，则 $$ 为C-rpp半群同余的充分必要条件是 $tr\rho =tr{D}^{\left(l\right)}$。

证明：(必要性)设 $\rho$ 为C-rpp半群同余，若 $\left(e,f\right)\in D^{\left(l\right)}$，于是存在 $c\in S$ 使得 $eLcRf$，从而 $e\rho LcRf\rho$。但 $S/\rho$ 的所有正则元组合Clifford子半群，所以 $e\rho =f\rho$，因此 $tr{D}^{\left(l\right)}\subseteq tr\rho$。反之，记RegS为S的所有正则元组合的集合。由S为密码rpp半群，知S为超rpp半群，于是RegS为完全正则子半群，易知， $\rho |RegS$ 为RegS上的Clifford半群同余，再据( [23] , p. 257, Exercises VI.2.13(i))， $tr\rho |RegS=trD$。若有 $\left(e,f\right)\in tr\rho$，显然， $\left(e,f\right)\in tr\rho |RegS$，于是 $\left(e,f\right)\in D\subseteq D^{\left(l\right)}$，从而 $tr\rho \subseteq tr{D}^{\left(l\right)}$。故 $tr\rho =tr{D}^{\left(l\right)}$。

(充分性)假设 $tr\rho =tr{D}^{\left(l\right)}$。注意到，RegS为密码群，再根据引理1.5，要证 $S/\rho$ 为C-rpp半群，仅需证： $RegS/\rho |RegS$ 为Clifford半群。又 $tr\rho =tr{D}^{\left(l\right)}$ 蕴含着 $tr\rho |RegS=trD|RegS$，再由( [23] , p. 257, Exercises VI.2.13(i))， $RegS/\rho |RegS$ 为Clifford半群。从而 $S/\rho$ 为C-rpp半群，即 $\rho$ 为C-rpp半群同余。

基金项目

国家自然科学基金项目(11761034, 11361027, 11661042)和江西省自然科学基金项目(20161BAB201018)资助。