具有分布导数的非经典反应扩散方程的指数吸引子

Exponential Attractor for Nonclassical Reaction-Diffusion Equation with Distributed Derivative

摘要: 本文利用构造挤压性的方法，研究了一类具有分布导数的非经典反应扩散方程在齐次Neumann边界条件下，当非线性项满足任意多项式增长时，该方程指数吸引子的存在性。

Abstract: In this paper, the existence of exponential attractor for a class of nonclassical reaction-diffusion equation with distributed derivative under homogeneous Neumann boundary conditions is studied by using the method of constructing extrusion property when the nonlinear term satisfies the growth of any polynomial.

1. 引言

本文主要考虑如下形式的非线性反应扩散方程

$\{\begin{array}{l}{u}_t-\Delta u_t-\Delta u+\eta u+f\left(u\right)=D_i{h}^i+h\left(x,t\right)\in \Omega \times R^{+}\\ u=0x\in \partial \Omega \\ u\left(x,0\right)=u_0\left(x\right)x\in \Omega \end{array}$ (1)

非线性反应扩散方程广泛应用于流体在多孔介质中的运动规律，如生物科学，燃烧理论，流体力学，固体力学和热传导等领域 [1] [2] 。1980年，Aifantis指出经典的反应扩散方程

$u_t-\Delta u=f\left(u\right)+g(x)$

忽略了固体扩散过程中的粘性，弹性和压力等影响因素，不能全面包含反应扩散方程的诸多方面 [1] 。而Aifantis进一步研究发现，该能量方程的具体构成虽然可以揭示扩散的全部过程，但也跟扩散物质的性质紧密相连。例如，固体母质有无弹性，压力，粘性或记忆等，其相应的方程都是不一样的。Aifantis通过研究更多实际问题，最终建立了非经典的反应扩散方程

$u_t-\Delta u_t-\Delta u=f\left(u\right)+g(x)$

后来非经典反应扩散方程的全局吸引子和指数吸引子的存在性问题受到许多教学工作者的关注 [3] - [8] 。在文献 [9] [10] 中Temam和Robinson研究了如下方程的全局吸引子

$\{\begin{array}{l}{u}_t-\Delta u+g\left(u\right)=D_i{f}^i+f\left(x,t\right)\in \Omega \times R^{+}\\ u=0x\in \partial \Omega \\ u\left(x,0\right)=u_0\left(x\right)x\in \Omega \end{array}$

而对于问题(1)指数吸引子的存在性还没有任何结果，类似于文献中构造挤压性的方法，本文将进一步研究f满足如下条件时该方程指数吸引子的存在性问题，其中方程中含有的导数项使得证明系统的指数吸引子更为复杂，同时也使研究更有意义。

在方程(1)中，其中 $\Omega \subset R^n$ 是具有光滑边界的有界区域， $\eta$ 为正常数，f满足任意多项式增长，且 $f\left(0\right)=0$， $D_i=\frac{\partial }{\partial x_i}$ 是弱导数， $h^i,h\in L^2\left(\Omega \right)$ ( $i=1,2,\cdots ,n$ ； $h^i$ 仅依赖于 $x_i$ )，且 $D_i{h}^i={\displaystyle \underset{i=1}{\overset{n}{\sum }}{D}_i{h}^i}$

我们假设f满足如下的结构性条件：存在正常数 $C_i\left(i=0,1,2,3\right)$ 以及l有

$f^{\prime }\left(s\right)\ge -l,\forall s\in R$ (2)

$C_1{\left|s\right|}^p-C_0\le f\left(s\right)s\le C_2{\left|s\right|}^p+C_3,p\ge 2,\forall s\in R$ (3)

2. 预备知识

2.1. 常用空间

记 $H=L^2\left(\Omega \right),V=H_0^1\left(\Omega \right)$， $\left(\cdot ,\cdot \right)$ 与 $\Vert \cdot \Vert$ 分别表示H中的内积和范数，用 $\Vert \cdot \Vert$ 表示V的范数。

2.2. 基本定义及定理

定义2.1 [11] 我们称半群 $S\left(t\right):X\to X,t>0$ 存在指数吸引子是指由这样的紧子集M满足： $A\subseteq M\subseteq B$ 为 $\left(S\left(t\right),B\right)$ 的指数吸引子如果：

1) M有有限的分形维数；

2) M为正不变集 $S\left(t\right)$ $S\left(t\right)M\subset M$， $\forall t>0$ ；

3) M为算子半群 ${\left\{S\left(t\right)\right\}}_{t\ge 0}$ 的指数吸引集，即存在常数 $\alpha ,\beta >0$ 使得对任意的 $u\in B$，

$dis{t}_H\left(S\left(t\right)u,M\right)\le \alpha {\text{e}}^{-\beta t},\forall t>0$

其中 $dist$ 表示两个集合间的非对称Hausdorff距离。

定义2.2 [11] 映射 $S:E\to E$ 被称为在子集 $B\subset E$ 上满足挤压性，如果存在E的有限维子空间 $E_N$ 以及正交投影 $P_N:E\to E_N$ ,使得对 $\forall u,v\in B$

${\Vert \left(1-P_N\right)\left(Su-Sv\right)\Vert }_E\le {\Vert P_N\left(Su-Sv\right)\Vert }_E$

或者

${\Vert \left(Su-Sv\right)\Vert }_E\le \frac{1}{8}{\Vert u-v\Vert }_E$

成立。

引理2.3 [11] 若 $B\subset E$ 有界， ${\left\{S\left(t\right)\right\}}_{t\ge 0}$ 是E上的半群，如果存在 $t_{\ast }>0$，使得映射 $S_{\ast }=S\left(t_{\ast }\right)$ 满足定义2.2中的挤压性，则称半群 ${\left\{S\left(t\right)\right\}}_{t\ge 0}$ 在B上满足离散挤压性。

引理2.4 [11] 假设映射 $S:E\to E$ 是Lipschitz连续映射， $B_1\subset E$ 是一非空紧的正不变子集，如果S在 $B_1$ 中满足定理2.3中的挤压性，则半群 $S_d:={\left(S^n\right)}_{n\in N}$ 在 $B_1$ 中存在一指数吸引子 ${\mathcal{M}}_{*}$ 。

3. $H_0^1$ 中的指数吸引子

引理3.1 设 $\Omega \subset R^n$ 是具有光滑边界的有界区域，f是 $C^1$ 函数， $f\left(0\right)=0$，且满足式(2)和(3)， $h^i,h\in L^2\left(\Omega \right)$ ( $i=1,2,\cdots ,n$ ； $h^i$ 仅依赖于 $x_i$ )， $D_i=\frac{\partial }{\partial x_i}$ 是弱导数。则对于任意初始值 $u_0\in H$ 和 $T>0$，系

统(1)都存在唯一的弱解 $u\left(x,t\right)$ 满足

$u\in C\left(\left[0,T\right],H\right);u\in L^2\left(\left[0,T\right];V\right)\cap L^p\left(\left(0,T\right);\Omega \right)$

并且 $u\left(t\right)$ 关于初值 $u_0$ 在H中是连续的。

证明 利用标准的Fatou-Galerkin方法可证明方程(1)的弱解的存在唯一性。具体可参考文献 [12] - [17] 等。

根据引理3.1可得，系统(1)的解可表示为：

$S\left(t\right)u_0=u\left(t\right),\forall t\ge 0$

其中 $S\left(t\right):H\to H$ 单参数族算子 ${\left\{S\left(t\right)\right\}}_{t\ge 0}$ 满足性质： $S\left(t\right)\cdot S\left(\tau \right)=S\left(t+\tau \right),\forall t,\tau \ge 0$ ； $S\left(0\right)=I$ (恒等算子)我们称 $S\left(t\right)$ 为系统(1)对应的半群。进一步，若 $S\left(t\right):H\to H\left(t\ge 0\right)$ 连续，则 $S\left(t\right)$ 为连续半群。

引理3.2 设 $\Omega \subset R^n$ 是具有光滑边界的有界区域，f是 $C^1$ 函数， $f\left(0\right)=0$，且满足式(2)和(3)， $h^i,h\in L^2\left(\Omega \right)$ ( $i=1,2,\cdots ,n$ ； $h^i$ 仅依赖于 $x_i$ )， $D_i=\frac{\partial }{\partial x_i}$ 是弱导数。则由问题(1)生成的连续半群 ${\left\{S\left(t\right)\right\}}_{t\ge 0}$ 在H中存在有界吸收集 $B_0$ 和全局吸引子A。

因此

$B=\overline{{\displaystyle \underset{0\le t\le T}{\cup }S\left(t\right)B_0}}$

是H中正的紧不变集。

引理3.3 [11] 存在 $M>0$ 和 $T=T\left(B\right)$，对于任意有界集 $B\subset H$，有：

${\left|S\left(t\right)u_0\right|}_p^2\le M,\forall t\ge T,u_0\in B$

由引理3.3我们可以得到以下引理：

引理3.4 存在 $L>0$，有：

$\underset{u_0\in B}{\sup }{\Vert u_t\left(t\right)\Vert }^2\le L,\forall t\ge 0$

证明 对系统(1)关于时间t求导，且令 $v=u_t$ 有：

$v_t-\Delta v_t-\Delta v+f^{\prime }\left(u\right)v=0$ (4)

对上式用 $-\Delta v$ 作用，结合结构性条件(2)可得：

$\frac{\text{1}}{\text{2}}\frac{\text{d}}{\text{d}t}\left({\Vert \nabla v\Vert }^2+{\Vert \Delta v\Vert }^2\right)+{\Vert \Delta v\Vert }^2+\eta {\Vert \nabla v\Vert }^2\le l{\Vert \nabla v\Vert }^2$ (5)

结合Gronwall引理，引理得证。

引理3.5 设 $\Omega \subset R^n$ 是具有光滑边界的有界区域，f是 $C^1$ 函数， $f\left(0\right)=0$，且满足式(2)和(3)， $h^i,h\in L^2\left(\Omega \right)$ ( $i=1,2,\cdots ,n$ ； $h^i$ 仅依赖于 $x_i$ )， $D_i=\frac{\partial }{\partial x_i}$ 是弱导数。 $u\left(t\right),v\left(t\right)$ 是满足初始条件 $u\left(0\right),v\left(0\right)\in B$ 的系统(1)的两个解，故下式成立：

$\Vert u\left(t\right)-v\left(t\right)\Vert \le {\text{e}}^{c_{2}t}\Vert u\left(0\right)-v\left(0\right)\Vert$ (6)

证明 令 $\omega \left(t\right)=u\left(t\right)-v\left(t\right)$，则 $\omega \left(\text{0}\right)=u\left(\text{0}\right)-v\left(\text{0}\right)$ 满足：

${\omega }_t-\Delta {\omega }_t-\Delta \omega +\eta \omega =f\left(v\right)-f\left(u\right)$ (7)

用 $-\Delta \omega$ 与式(7)在H中作内积

$\left(-\Delta \omega ,{\omega }_t\right)+\left(\Delta \omega ,\Delta {\omega }_t\right)+\left(\Delta \omega ,\Delta \omega \right)-\left(\Delta \omega ,\eta \omega \right)=\left(f\left(v\right)-f\left(u\right),-\Delta \omega \right)$ (8)

即：

$\frac{\text{1}}{\text{2}}\frac{\text{d}}{\text{d}t}\left({\Vert \nabla \omega \Vert }^2+{\Vert \Delta \omega \Vert }^2\right)+{\Vert \Delta \omega \Vert }^2+\eta {\Vert \nabla \omega \Vert }^2=\left(f\left(v\right)-f\left(u\right),-\Delta \omega \right)$ (9)

由结构性条件(2)：

$\begin{array}{c}\left|{\displaystyle {\int }_{\Omega }\left(f\left(v\right)-f\left(u\right)\right)\left(-\Delta \omega \right)\text{d}x}\right|\le {\displaystyle {\int }_{\Omega }\left|f^{\prime }\left(\theta v+\left(1-\theta u\right)\right)\right|{\left|\Delta \omega \right|}^2\text{d}x}\left(0<\theta <1\right)\\ \le c{\displaystyle {\int }_{\Omega }l{\left|\Delta \omega \right|}^2\text{d}x}\le c_1{\left|\Delta \omega \right|}^2\end{array}$ (10)

故有：

$\frac{\text{d}}{\text{d}t}\left({\Vert \nabla \omega \Vert }^2+{\Vert \Delta \omega \Vert }^2\right)\le c_2\left({\Vert \nabla \omega \Vert }^2+{\Vert \Delta \omega \Vert }^2\right)$ (11)

根据Gronwall引理可得：

${\Vert \nabla \omega \left(t\right)\Vert }^2+{\Vert \Delta \omega \left(t\right)\Vert }^2\le {\text{e}}^{c_{2}t}\left({\Vert \nabla \omega \left(0\right)\Vert }^2+{\Vert \Delta \omega \left(0\right)\Vert }^2\right)$ (12)

引理3.6 假设引理2.5的条件满足，则对任意的 $T>0$，映射 $\left(t,u\right)\mapsto S\left(t\right)u$ 在 $\left[0,T\right]\times B$ 上是Lipschitz连续的。

证明 对任意的 $u_1,u_2\in B,t_1,t_2\in \left[0,T\right]$，我们有：

${\Vert S\left(t_1\right)u_1-S\left(t_2\right)u_2\Vert }_{\text{2}}\le {\Vert S\left(t_1\right)u_1-S\left(t_1\right)u_2\Vert }_{\text{2}}+{\Vert S\left(t_1\right)u_2-S\left(t_2\right)u_2\Vert }_{\text{2}}$ (13)

上述不等式的第一项可用引理2.5估计。再由引理2.4，我们可以得到如下估计：

${\Vert u\left(t_1\right)-u\left(t_2\right)\Vert }_{\text{2}}\le \left|{\displaystyle {\int }_{t_1}^{t_2}{\Vert u_t\left(y\right)\Vert }_2\text{d}y}\right|\le L\left|t_1-t_2\right|$ (14)

因此

${\Vert S\left(t_1\right)u_1-S\left(t_2\right)u_2\Vert }_{\text{2}}\le L\left[\left|t_1-t_2\right|+{\Vert u_1-u_2\Vert }_{\text{2}}\right]$ (15)

其中 $L=L\left(T\right)\ge 0$ 。

引理3.7 假设f满足结构性条件(2)和(3)， $u\left(t\right),v\left(t\right)$ 是系统(1)关于初值 $u\left(0\right),v\left(0\right)\in B$ 的两个解，则系统(1)生成的半群 $S\left(t\right)$ 满足离散的挤压性，即：存在 $t_{\ast }\left(>0\right)$ 和 $N=N_0=N\left(t_{\ast }\right)\left(>0\right)$ 使得当：

${\Vert \left(1-P\right)\left(S\left(t_{\ast }\right)u_0-S\left(t_{\ast }\right)v_0\right)\Vert }_2>{\Vert P\left(S\left(t_{\ast }\right)u_0-S\left(t_{\ast }\right)v_0\right)\Vert }_2$

则有

${\Vert S\left(t_{\ast }\right)u_0-S\left(t_{\ast }\right)v_0\Vert }_2\le \frac{1}{8}{\Vert u_0-v_0\Vert }_2$

证明 由于算子 $A=-\Delta$ 是自伴的有紧逆的正算子，由经典的谱理论，存在一列特征值 ${\lambda }_1,{\lambda }_2,{\lambda }_3,\cdots$，使得当 $N\to \infty$ 时

$0<{\lambda }_1\le {\lambda }_2\le {\lambda }_3\le \cdots \le {\lambda }_N\le \cdots ,{\lambda }_N\to \infty$

在H中存在特征向量 ${\left\{{\omega }_i\right\}}_{i=1}^{\infty }$ 组成的一完全集，使得对应的特征值满足：

$A{\omega }_i={\lambda }_i{\omega }_i,i=1,2,\cdots$ (16)

令 $H_N=Span\left\{{\omega }_1,{\omega }_2,\cdots ,{\omega }_N\right\}$ 则 $P_N:H\to H_N$ 是正交投影，记 $Q_N=1-P_N$ 是在 $H_N$ 上正交完备化的正交投影， $\omega =P_N\omega +Q_N\omega \triangleq p+q$ 。假设 $\left|P_N\omega \left(t\right)\right|\le \left|Q_N\omega \left(t\right)\right|$ 。

用 $-\Delta q$ 与式(7)在H中作内积，

$\left(-\Delta q,{\omega }_t\right)+\left(\Delta q,\Delta {\omega }_t\right)+\left(\Delta q,\Delta \omega \right)-\left(\Delta q,\eta \omega \right)=\left(f\left(v\right)-f\left(u\right),-\Delta q\right)$ (17)

即：

$\frac{\text{1}}{\text{2}}\frac{\text{d}}{\text{d}t}\left({\Vert \nabla q\Vert }^2+{\Vert \Delta q\Vert }^2\right)+{\Vert \Delta q\Vert }^2+\eta {\Vert \nabla q\Vert }^2=\left(f\left(v\right)-f\left(u\right),-\Delta q\right)$ (18)

由结构性条件(2)：

$\left|{\displaystyle {\int }_{\Omega }\left(f\left(v\right)-f\left(u\right)\right)\left(-\Delta q\right)\text{d}x}\right|\le c_3{\displaystyle {\int }_{\Omega }\left|\omega \right|\left|\Delta q\right|\text{d}x}\le \frac{{\Vert \Delta q\Vert }^2}{2}+\frac{c_3}{2}{\Vert \omega \Vert }^2$ (19)

由(18) (19)式可得：

$\frac{\text{d}}{\text{d}t}\left({\Vert \nabla q\Vert }^2+{\Vert \Delta q\Vert }^2\right)+{\Vert \Delta q\Vert }^2\le c_3{\Vert \omega \Vert }^2$ (20)

根据引理3.5和Poincare不等式可得：

$\begin{array}{l}\frac{\text{d}}{\text{d}t}\left({\Vert \nabla q\Vert }^2+{\Vert \Delta q\Vert }^2\right)+\frac{{\Vert \Delta q\Vert }^2}{\text{2}}+\frac{{\lambda }_{N+1}}{\text{2}}{\Vert \nabla q\Vert }^2\\ \le c_3{\Vert \omega \Vert }^2\le c_3{\Vert p+q\Vert }^2\le 2c_3{\Vert q\Vert }^2\le 2c_3{\lambda }_{N+1}^{-1}{\Vert \nabla q\Vert }^2\\ \le c_4{\lambda }_{N+1}^{-1}{\Vert \Delta \omega \Vert }^2\le c_4{\lambda }_{N+1}^{-1}{\text{e}}^{c_{2}t}{\Vert \Delta \omega \left(0\right)\Vert }^2\end{array}$ (21)

又因为 ${\lambda }_{\text{1}}\le {\lambda }_{N+1}$，我们可以得到：

$\frac{\text{d}}{\text{d}t}\left({\Vert \nabla q\Vert }^2+{\Vert \Delta q\Vert }^2\right)+\frac{{\Vert \Delta q\Vert }^2}{\text{2}}+\frac{{\lambda }_1}{\text{2}}{\Vert \nabla q\Vert }^2\le c_4{\lambda }_{N+1}^{-1}{\text{e}}^{c_{2}t}{\Vert \Delta \omega \left(0\right)\Vert }^2$ (22)

记 $c_5=\min \left\{\frac{1}{2},\frac{{\lambda }_1}{2}\right\}$，有：

$\frac{\text{d}}{\text{d}t}\left({\Vert \nabla q\Vert }^2+{\Vert \Delta q\Vert }^2\right)+c_5\left({\Vert \nabla q\Vert }^2+{\Vert \Delta q\Vert }^2\right)\le c_4{\lambda }_{N+1}^{-1}{\text{e}}^{c_{2}t}{\Vert \Delta \omega \left(0\right)\Vert }^2$ (23)

由Gronwall引理可得：

$\begin{array}{c}{\Vert \nabla q\left(t\right)\Vert }^2+{\Vert \Delta q\left(t\right)\Vert }^2\le {\text{e}}^{-c_{5}t}({\Vert \nabla q\left(0\right)\Vert }^2+{\Vert \Delta q\left(0\right)\Vert }^2)+c_6{\lambda }_{N+1}^{-1}{\text{e}}^{c_{2}t}{\Vert \Delta \omega \left(0\right)\Vert }^2\\ \le c_7\left({\text{e}}^{-c_{5}t}+c_8{\lambda }_{N+1}^{-1}{\text{e}}^{c_{2}t}\right){\Vert \Delta \omega \left(0\right)\Vert }^2\end{array}$ (24)

故：

${\Vert \Delta \omega \left(t\right)\Vert }^2\le \text{2}{\Vert \Delta q\left(t\right)\Vert }^2\le c_{\text{9}}\left({\text{e}}^{-c_{5}t}+c_{\text{10}}{\lambda }_{N+1}^{-1}{\text{e}}^{c_{2}t}\right){\Vert \Delta \omega \left(0\right)\Vert }^2$ (25)

设 $t_{\ast }>0$，使得 $c_9{\text{e}}^{-c_5{t}_{\ast }}\le \frac{1}{128}$，固定 $t_{\ast }$，且N足够大，使得 $c_9{c}_{10}{\lambda }_{N+1}^{-1}{\text{e}}^{c_2{t}^{\ast }}\le \frac{1}{128}$ 。有：

$\Vert \Delta \omega \left(t_{\ast }\right)\Vert \le \frac{\text{1}}{\text{8}}\Vert \Delta \omega \left(0\right)\Vert$ (26)

定理3.8 设 $\Omega \subset R^n$ 是具有光滑边界的有界区域，f是 $C^1$ 函数， $f\left(0\right)=0$，且满足式(2)和(3)， $h^i,h\in L^2\left(\Omega \right)$ ( $i=1,2,\cdots ,n$ ； $h^i$ 仅依赖于 $x_i$ )， $D_i=\frac{\partial }{\partial x_i}$ 是弱导数。则系统(1)生成的半群 ${\left\{S\left(t\right)\right\}}_{t\ge 0}$ 在V中存在指数吸引子M。

证明 由引理3.7可得，存在 $t_{\ast }>0$ 使得 $S\left(t_{\ast }\right)$ 满足离散的挤压性，由文献 [11] 中定理1.1可知，存在指数吸引子 $M_{\ast }$，设：

$M={\displaystyle \underset{0\le t\le t_{\ast }}{\cup }S\left(t\right)M_{\ast }}$

又由引理3.6可得： $\left(t,u\right)\mapsto S\left(t\right)u$ 从 $\left[0,T\right]\times B$ 到B是Lipschitz连续的，由文献 [11] 中定理2.1可知，M为 $\left({\left\{S\left(t\right)\right\}}_{t\ge 0},B\right)$ 相应的指数吸引子。

基金项目

国家自然科学基金(11872264)。

NOTES

^*通讯作者。