1. 引言
已知某函数满足给定的关系式,要求出此函数,当这类问题作为独立的试题(或题目)出现时,不少人往往感觉到无从入手,解决这类问题也没有明确的思路。本文对几个实例进行了剖析解答。解答的过程本身给出了解决这类问题的思路和方法。
2. 几个实例
例1: [1] 函数
满足条件
,
求
。
解:当
时,有
,
得到
。 (1)
于是
,
即
。 (2)
将(1)代入(2),得
,所求
。
例2: [2] 设函数
于
上连续,
存在且满足关系式
,
试求此函数。
解:当
时,有
,
或
。
但
,否则取
时,对任意
,有
,
得出
,无意义。所以
(3)
于是
,
即
,
。 (4)
将(3)代入(4),得
,所求函数
。
例3: [2] 求具有性质
的函数
,已知
存在。
解:当
时,有
,
则
。 (5)
于是
。
而
,
,
所以
,
。 (6)
将(5)代入(6),得
,
,
。
例4: [3] 求满足关系式
的可微函数
。
解:当
时,有
,
则
或
。
当
时,由关系式得
,
,
因此
,这与题设
矛盾,所以
。 (7)
于是
。
这样,问题相当于
, (8)
(8)的通解为
,
即
, (9)
将(8)中初值条件代入(9),得
,于是所求函数
。
例5: [4] 证明:函数方程
有解
。
证:方程
两端对
求导,得
或
,
令
,即有
,
则
,
此方程的解为
。