关于∞ / ∞未定式L’Hospital法则的一个注记

A Note on L’Hospital Rule of Indeterminate Form ∞ / ∞

摘要: L’Hospital法则是求解极限问题中未定式的一种经典而有效的方法。本文从未定式常见类型∞ / ∞出发，研究了一类拓展型未定式∗ / ∞，在一定条件下将L’Hospital法则进行了推广，给出了广义L’Hospital法则。

Abstract: L’Hospital rule is a classical and effective method to solve indeterminate form in limit problem. This paper studies a class of extended indeterminate form ∗ / ∞ based on common indeterminate form ∞ / ∞, generalizes L’Hospital rule under certain conditions and obtains generalized L’Hospital rule.

1. 引言

函数之比求极限是一类典型且常见的极限问题，通常利用商的极限运算法则可以计算一般情形下的

极限。而对于分子、分母不趋于有限值的情形，该法则不适用。如对于 $\frac{\infty }{\infty }$ 未定式，便不能直接用“商的

极限等于极限的商”这一简单法则来计算。此类未定式的一种简便有效的计算方法是L’Hospital法则。

例如，极限过程 $x\to a$ 下的 $\frac{\infty }{\infty }$ 未定式的L’Hospital法则为

引理(L’Hospital法则) 设

(1) 当 $x\to a$ 时，函数 $f\left(x\right)$ 与 $g\left(x\right)$ 均趋于无穷大；

(2) 在点a的某去心邻域内， $f^{\prime }\left(x\right)$ 与 $g^{\prime }\left(x\right)$ 都存在且 $g^{\prime }\left(x\right)\ne 0$ ；

(3) $\underset{x\to a}{\lim }\frac{f^{\prime }\left(x\right)}{g^{\prime }\left(x\right)}$ 存在(或为无穷大)，

则

$\underset{x\to a}{\lim }\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}=\underset{x\to a}{\lim }\frac{f^{\prime }\left(x\right)}{g^{\prime }\left(x\right)}$ 。

该法则对其它极限过程 $x\to a^{-},x\to a^{+},x\to \infty ,x\to -\infty ,x\to +\infty$ 均适用。

这种在一定条件下通过分子、分母分别求导再求极限来确定未定式的值的方法，称为L’Hospital法则。引理的一个关键性条件是要求分子、分母均趋于无穷大，这使得L’Hospital法则在使用时具有一定的局限性。考察以下引例：

引例已知函数 $f\left(x\right)$ 在 $\left[0,+\infty \right)$ 内连续且 $\underset{x\to +\infty }{\lim }f\left(x\right)=1$ ，求 $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{{\displaystyle {\int }_0^x{\text{e}}^{t}f\left(t\right)\text{d}t}}{{\text{e}}^x}$ 。

这是一个典型的 $\frac{\infty }{\infty }$ 未定式求极限的问题，求解的主要思路是利用L’Hospital法则。

解法一 由 $\underset{x\to +\infty }{\lim }f\left(x\right)=1$ 知，存在 $X_0>0$ ,当 $x>X_0$ 时，有 $f\left(x\right)>\frac{1}{2}$ ，故

$\begin{array}{c}{\displaystyle {\int }_0^x{\text{e}}^{t}f\left(t\right)\text{d}t}={\displaystyle {\int }_0^{X_0}{\text{e}}^{t}f\left(t\right)\text{d}t}+{\displaystyle {\int }_{X_0}^x{\text{e}}^{t}f\left(t\right)\text{d}t}\ge {\displaystyle {\int }_0^{X_0}{\text{e}}^{t}f\left(t\right)\text{d}t}+{\displaystyle {\int }_{X_0}^x\frac{1}{2}{\text{e}}^{X_0}\text{d}t}\\ ={\displaystyle {\int }_0^{X_0}{\text{e}}^{t}f\left(t\right)\text{d}t}+\frac{1}{2}{\text{e}}^{X_0}\left(x-X_0\right)\end{array}$ ，

从而 $\underset{x\to +\infty }{\lim }{\displaystyle {\int }_0^x{\text{e}}^{t}f\left(t\right)\text{d}t}=+\infty$ 。由L’Hospital法则得

$\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{{\displaystyle {\int }_0^x{\text{e}}^{t}f\left(t\right)\text{d}t}}{{\text{e}}^x}=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{{\text{e}}^{x}f\left(x\right)}{{\text{e}}^x}=\underset{x\to +\infty }{\lim }f\left(x\right)=1$ 。

上述求解过程较为繁琐，原因在于为使用L’Hospital法则，应先明确所求极限为 $\frac{\infty }{\infty }$ 未定式，即证明

分子趋于无穷大。该事实看似显然，但其论证方法并不直接，往往不容易想到。

事实上，若仅分母趋于无穷大，不考虑分子的变化趋势(此时将 $\lim \frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}$ 记作 $\frac{\ast }{\infty }$ 未定式)，在一定条件下仍可通过分子、分母分别求导以求极限，即L’Hospital法则可进一步推广，得到 $\frac{\ast }{\infty }$ 未定式的广义

L’Hospital法则 [1] 。

2. $\frac{\ast }{\infty }$ 未定式的广义L’Hospital法则

以下定理仅以极限过程 $x\to a^{+}$ 为例，其它过程结论类似。

定理1 (广义L’Hospital法则) 设 $f\left(x\right)$ 和 $g\left(x\right)$ 在 $\left(a,b\right)$ 上均可导(其中 $-\infty \le a<b\le +\infty$ )且满足：(1)

$g^{\prime }\left(x\right)\ne 0,x\in \left(a,b\right)$ ；(2) $\underset{x\to a^{+}}{\lim }g\left(x\right)=+\infty$ ；(3) $\underset{x\to a^{+}}{\lim }\frac{f^{\prime }\left(x\right)}{g^{\prime }\left(x\right)}=A$ (A为有限数或 $-\infty$ , $+\infty$ )，则

$\underset{x\to a^{+}}{\lim }\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}=\underset{x\to a^{+}}{\lim }\frac{f^{\prime }\left(x\right)}{g^{\prime }\left(x\right)}$ 。

证明 (i) 当A为有限数时。

(证法一) 由 $\underset{x\to a^{+}}{\lim }\frac{f^{\prime }\left(x\right)}{g^{\prime }\left(x\right)}=A$ ，则对 $\forall \epsilon >0,\exists \delta >0$ ，使得当 $x\in \left(a,a+\delta \right)$ 时，有

$\left|\frac{f^{\prime }\left(x\right)}{g^{\prime }\left(x\right)}-A\right|<\epsilon$ ，

即 $A-\epsilon <\frac{f^{\prime }\left(x\right)}{g^{\prime }\left(x\right)}<A+\epsilon$ 。

现任取 $x_0,x\in \left(a,a+\delta \right)$ 且 $x_0<x$ ，由Cauchy中值定理， $\exists \xi \in \left(x_0,x\right)\subset \left(a,a+\delta \right)$ 使得

$\frac{f\left(x\right)-f\left(x_0\right)}{g\left(x\right)-g\left(x_0\right)}=\frac{f^{\prime }\left(\xi \right)}{g^{\prime }\left(\xi \right)}$ (1)

进一步地，由条件(1)、(2)，不妨设 $g^{\prime }\left(x\right)>0,x\in \left(a,b\right)$ ,则必有 $g\left(x\right)$ 在 $\left(a,b\right)$ 内恒大于零，此时由(1)式得 [2]

$A-\epsilon <\frac{\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}-\frac{f\left(x_0\right)}{g\left(x\right)}}{1-\frac{g\left(x_0\right)}{g\left(x\right)}}=\frac{f^{\prime }\left(\xi \right)}{g^{\prime }\left(\xi \right)}<A+\epsilon$ ，

从而

$\left(A-\epsilon \right)\left(1-\frac{g\left(x_0\right)}{g\left(x\right)}\right)+\frac{f\left(x_0\right)}{g\left(x\right)}<\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}<\left(A+\epsilon \right)\left(1-\frac{g\left(x_0\right)}{g\left(x\right)}\right)+\frac{f\left(x_0\right)}{g\left(x\right)}$ (2)

又由 $\underset{x\to a^{+}}{\lim }g\left(x\right)=+\infty$ ，(2)式两边同时取上下极限得

$A-\epsilon \le \underset{x\to a^{+}}{\underset{\_}{\lim }}\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}\le \underset{x\to a^{+}}{\bar{\lim }}\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}\le A+\epsilon$ ，

再令 $\epsilon \to 0^{+}$ ，得

$A\le \underset{x\to a^{+}}{\underset{\_}{\lim }}\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}\le \underset{x\to a^{+}}{\bar{\lim }}\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}\le A$ ，

故 $\underset{x\to a^{+}}{\lim }\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}=A$ ，即

$\underset{x\to a^{+}}{\lim }\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}=\underset{x\to a^{+}}{\lim }\frac{f^{\prime }\left(x\right)}{g^{\prime }\left(x\right)}$ 。

(证法二) 由 $\underset{x\to a^{+}}{\lim }\frac{f^{\prime }\left(x\right)}{g^{\prime }\left(x\right)}=A$ ，则对 $\forall \epsilon >0,\exists \delta >0$ ，使得当 $x\in \left(a,a+\delta \right)$ 时，有

$\left|\frac{f^{\prime }\left(x\right)}{g^{\prime }\left(x\right)}-A\right|<\epsilon$ ，

即 $A-\epsilon <\frac{f^{\prime }\left(x\right)}{g^{\prime }\left(x\right)}<A+\epsilon$ 。

现任取 $x_0,x\in \left(a,a+\delta \right)$ 且 $x_0<x$ ，则由Cauchy中值定理， $\exists \xi \in \left(x_0,x\right)\subset \left(a,a+\delta \right)$ 使得

$\frac{f\left(x\right)-f\left(x_0\right)}{g\left(x\right)-g\left(x_0\right)}=\frac{f^{\prime }\left(\xi \right)}{g^{\prime }\left(\xi \right)}$ ，

从而

$A-\epsilon <\frac{f\left(x\right)-f\left(x_0\right)}{g\left(x\right)-g\left(x_0\right)}<A+\epsilon$ 。

又

$\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}-A=\left(1-\frac{g\left(x_0\right)}{g\left(x\right)}\right)\cdot \left(\frac{f\left(x\right)-f\left(x_0\right)}{g\left(x\right)-g\left(x_0\right)}-A\right)+\frac{f\left(x_0\right)-Ag\left(x_0\right)}{g\left(x\right)}$ ，

故

$\left|\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}-A\right|\le \left|1-\frac{g\left(x_0\right)}{g\left(x\right)}\right|\cdot \left|\frac{f\left(x\right)-f\left(x_0\right)}{g\left(x\right)-g\left(x_0\right)}-A\right|+\left|\frac{f\left(x_0\right)-Ag\left(x_0\right)}{g\left(x\right)}\right|<\epsilon +\epsilon =2\epsilon$ ，

即 $\underset{x\to a^{+}}{\lim }\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}=A$ ,从而 $\underset{x\to a^{+}}{\lim }\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}=\underset{x\to a^{+}}{\lim }\frac{f^{\prime }\left(x\right)}{g^{\prime }\left(x\right)}$ 。

(ii) 当A为 $+\infty$ 时。

由 $\underset{x\to a^{+}}{\lim }\frac{f^{\prime }\left(x\right)}{g^{\prime }\left(x\right)}=+\infty$ ，则对 $$ ， $\exists \delta >0$ ，使得当 $x\in \left(a,a+\delta \right)$ 时，有 $\frac{f^{\prime }\left(x\right)}{g^{\prime }\left(x\right)}>3M$ ，进一步地，

对 $\forall x_0,x\in \left(a,a+\delta \right)$ 且 $x_0<x$ ，由Cauchy中值定理， $\exists \xi \in \left(x_0,x\right)\subset \left(a,a+\delta \right)$ 使得 [3]

$\frac{f\left(x\right)-f\left(x_0\right)}{g\left(x\right)-g\left(x_0\right)}=\frac{f^{\prime }\left(\xi \right)}{g^{\prime }\left(\xi \right)}>3M$ 。

此外，由 $\underset{x\to a^{+}}{\lim }g\left(x\right)=+\infty$ 易知 $\underset{x\to a^{+}}{\lim }\frac{g\left(x_0\right)}{g\left(x\right)}=0$ 及 $\underset{x\to a^{+}}{\lim }\frac{f\left(x_0\right)}{g\left(x\right)}=0$ 。从而由极限定义得

$\frac{g\left(x_0\right)}{g\left(x\right)}<\frac{1}{2}$ ， $\frac{f\left(x_0\right)}{g\left(x\right)}>-\frac{1}{2}M$ ， $x\in \left(a,a+\delta \right)$ 。

故

$\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}=\frac{g\left(x\right)-g\left(x_0\right)}{g\left(x\right)}\cdot \frac{f\left(x\right)-f\left(x_0\right)}{g\left(x\right)-g\left(x_0\right)}+\frac{f\left(x_0\right)}{g\left(x\right)}>\frac{1}{2}\cdot 3M-\frac{1}{2}M=M$ ，

即 $\underset{x\to a^{+}}{\lim }\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}=+\infty$ ，从而 $\underset{x\to a^{+}}{\lim }\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}=\underset{x\to a^{+}}{\lim }\frac{f^{\prime }\left(x\right)}{g^{\prime }\left(x\right)}$ 。

(iii) 当A为 $-\infty$ 时。

令 $f_1\left(x\right)=-f\left(x\right)$ 。由 $\underset{x\to a^{+}}{\lim }\frac{f^{\prime }\left(x\right)}{g^{\prime }\left(x\right)}=-\infty$ 知 $\underset{x\to a^{+}}{\lim }\frac{{f^{\prime }}_1\left(x\right)}{g^{\prime }\left(x\right)}=+\infty$ 。进一步地，由(ii)之结论可得 $\underset{x\to a^{+}}{\lim }\frac{f_1\left(x\right)}{g\left(x\right)}=+\infty$ ，即 $\underset{x\to a^{+}}{\lim }\frac{-f\left(x\right)}{g\left(x\right)}=+\infty$ ，故 $\underset{x\to a^{+}}{\lim }\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}=-\infty$ 。从而 $\underset{x\to a^{+}}{\lim }\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}=\underset{x\to a^{+}}{\lim }\frac{f^{\prime }\left(x\right)}{g^{\prime }\left(x\right)}$ 。

综合(i) (ii) (iii)，定理得证。

3. 结论

利用 $\frac{\ast }{\infty }$ 未定式的广义L’Hospital法则，引例的解法可进行改进：

解法二 由 $\frac{\ast }{\infty }$ 未定式的广义L’Hospital法则得

$\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{{\displaystyle {\int }_0^x{\text{e}}^{t}f\left(t\right)\text{d}t}}{{\text{e}}^x}=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{{\text{e}}^{x}f\left(x\right)}{{\text{e}}^x}=1$ 。

显然，解法二比解法一简便得多。因本例满足 $\frac{\ast }{\infty }$ 未定式广义L’Hospital法则的条件，从而不必论证

分子的变化趋势，只要分母趋于无穷大即可。这就省去了解法一中繁杂且不易实现的分子趋于无穷大的证明环节。

本文给出的广义L’Hospital法则并不要求分子趋于无穷大，而只要分母趋于无穷大即可。这在一定

程度上拓宽了原有 $\frac{\infty }{\infty }$ 未定式L’Hospital法则的适用范围，使得通过分子、分母求导以求极限这一简便方

法能够应用于更多看似复杂而又难以入手的极限问题。