1. 准备工作
定义1 [1] :若时滞微分方程中未知函数的最高阶导数含有两个不同的变元值,称之为中立型时滞微分方程;
考虑时滞微分系统:
(1.1)
其中
,
,
,
,
,
为常数,给定初始函数:
,
连续可微 (1.2)
我们总假定(1.1)满足初始条件(1.2)的解存在唯一,并用
表示(1.1)满足条件(1.2)的解。
定义2 [2] :称(1.1)的平凡解关于部分变元y是Lipschitz稳定的,如果存在常数
和
,使当
(对
)时,有:
于
成立,简记为LS;
定义3 [3] [4] :称(1.1)的平凡解关于部分变元y是一致Lipschitz稳定的,若定义2中的M和
均与
无关,简记为ULS;
引理1:设如下条件于
成立
(I):常数
;
(II):
其中:
,
,
,
,
,
,
均为
上非负连续函数,
且:
,
,
均为大于1的常数,
,
,
令:
,
(III) 设
且
,
,
,
则有:
注:该引理已在文献 [5] 中证明。
2. 一类非线性时滞微分系统的稳定性
考虑如下微分系统:
(2.1)
其中:
,
,
,
有界,
,
,于
由引理1,可得与系统(2.1)的解等价的积分系统的解:
(2.2)
主要结论:对于系统(2.1)而言,假设下列条件于
时成立:
1)
,
,
2)
3) 其中
,
,
,
,
如 [6] 中定理
3.1.1
所设,且单调不增。
4)
且
,且,
其中
如 [7] [8] [9] 中引理所设
则系统(2.1)的零解在
中一致Lipschitz渐近稳定。
证明:由系统(2.1)的等价系统(2.2):
由条件1),2),得到:
(2.3)
于是有:
(2.4)
令
,由
,注意到
,故可设
,由此可得:
(2.5)
令:
,
,
令:
显然
单调不减,且由
的定义,有
,因此:
(2.6)
其中
注意到定理条件,由引理可得;
其中:
,注意到
的定义,可得:
注意到定理的条件,有如下事实:
,
,
,
,且有:
,于是令:
于是,对一切
时,有
一致的成立。于是,可得结论成立。
基金项目
内蒙古自治区高等学校科学研究项目(NJZY16141,NJZY17064)。
参考文献
NOTES
*通讯作者。