1. 引言及主要结论
本文主要研究一类拟线性的N-拉普拉斯方程多解的存在性
(1.1)
其中
为N-拉普拉斯算子,参数
,我们做如下假定
(
) 存在
使得在
中
。此外
,
;或者更为一般化对每个
,
。“其中meas”为
上Lebesgue测度。
(
) 奇函数
,
,
且存在
,
,
使得
(1.2)
其中
(1.3)
(
) 存在
和
使得
(1.4)
其中
,在
函数上
递增且有
。
(
) 存在
和
使得
(1.5)
在过去的几十年间大量的学者都在研究拟线性的Schrödinger方程,详情可参考文献 [1] [2]。在 [3] 中,作者利用约束极小化方法,得出拟线性的Schrödinger方程正基态解的存在性结论。在 [4] 中,运用变量替换把拟线性问题转化为半线问题,在Orlicz空间中借助山路引理得出解的存在性结论。在 [5] 中作者考虑了N = 2的情形,其中非线性项具有临界指数增长,即当
时形如
,运用
上Trudinger-Moser不等式结合山路定理得出解的存在性。特别的在 [4] [6] [7] 中,研究了具有参数 的方程正基态解
(1.6)
其中
,
,
。
据作者了解,关于方程(1.1)的多解存在性鲜有相关文献及结论,本文主要借助文献 [5] [8] 中的思路。由于拟线性项
的存在,使得紧嵌入不再成立,因此我们需要考虑合适的工作空间也就需要更为细致的估测。
本文记
并且
具备范数
(1.7)
主要结论如下
定理1.1:假设(
)和(
)~(
)成立。则方程(1.1)在E中存在无穷多个解。
2. 使用须知
为了方便证明需要引入下列引理
引理2.1:(有界区域上的Trudinger-Moser不等式) [9] [10]。设
。为一有界区域,则有
此外,存在
使得
其中
且
为
-球体的
-维测度。
引理2.2:(无界区域上的Trudinger-Moser不等式) [5] [11]。设
,则有
此外,如果有
和
,则存在正常数
使得
其中
。
与此同时,联合以上两个引理以及Holder不等式,假如
那么
(2.1)
更确切的,当
时,如果有
成立,则存在
使得
(2.2)
其中
Sobolev空间
的范数。
引理2.3 [12]:设
,其中
为任意区域,那么对
会有
. (2.3)
为最佳指数,特别的有,
(2.4)
注2.1:由上面的引理可知,当
时
为连续嵌入且有
考察方程(1.1)所对应的能量泛函
(2.5)
需要指出的是
在X中无法定义,为了克服这一困难需引入变量替换 [2]
或者
,其中f为
(2.6)
引理2.4:函数
满足
(
)
唯一确定且在 上可逆,
(
)
,
,
(
)
,
,
(
) 当
时,
,
(
)
,
(
)
以及
,
(
)
使得
,
(
)
使得
通过变量替换后
变为
(2.7)
易见在假设(
)~(
)的条件下,
在X上有定义。
若
为泛函J的临界点,即对所有的
有
其中
那么v方程
(2.8)
的解,其中
,
。
由此可知
为方程(1.1)的弱解。
引理2.5:假设(
)和(
)成立如果
为一PS序列,那么
在E中有界。
证:不失一般性,对所有的
假设
。令
,则由引理2.4可得
由于
为一PS序列,则
使得
(2.9)
由
可推出序列
以及
有界,亦如此,其中
(2.10)
可得
在
中有界,接下来证明
在
中有界。因为
(2.11)
注意由条件(
),可知
使得
,
,因此有
应用条件(
)
,对某些
,有
由此可得出
在
中有界,因此在E中有界。利用文献 [13] 类似的方法,可知
使得
(2.12)
于是
在E中有界,同样适用于
的子序列仍记为
,使得
以及
(2.13)
引理2.6:假设(
)和(
)~(
)成立。如果序列
满足(2.13)则
(2.14)
证:由条件(
)~(
)对任意小的
,
使得
以及
说明
(2.15)
其中
记为可测子集
的特征函数,这样对
可以得到
,
以及
(2.16)
其中
还有
此外,
说明
。由此可以断定对所有的
,具有一致性。首先我们来证明
(2.17)
事实上,如果不成立,则
使得
不失一般性令
显然有
。
记
,易见
那么会有
(2.18)
以及序列
,产生矛盾。于是极限(2.17)证毕。
其次,说明极限(2.17)的一致性。实际上由(2.3)可知
在
上
几乎处处成立,因此对于任意小的
使得对
有
(2.19)
对该
选择
使得
和
(2.20)
由Fatou引理,可得对任意
,会有
(2.21)
于是
(2.22)
注意对
,可得
,即得
对
具有一致性。
此外,由积分的决定连续性可知对
,存在常数
使得对
有
以及
(2.23)
那么由(2.16)和(2.23)可推出
(2.24)
和
(2.25)
另一方面,由(2.17)对所有的
,
(2.26)
那么从(2.24)~(2.26),可推出(2.14)。
引理2.7:假设(
)和(
)~(
)成立,令
为一PS序列,则有
(2.27)
和
(2.28)
证:对
,可选择函数
使得
(2.29)
由于序列
在中E有界,则序列
,
,也在E中有界,那么会有
,即
(2.30)
其中
以及
那么(2.30)的极限说明
(2.31)
其中
,可推出
。
此外,该极限还可得
(2.32)
便有,
(2.33)
由于
中,
,则有
(2.34)
对
,极限(2.32)~(2.34)产生
. (2.35)
接下来证明(2.28),由
和
可得
(2.36)
有由
可得
那么对
使得
,
(2.37)
于是
(2.38)
以及
(2.39)
由于在
中
以及在
中
几乎处处成立。则有
以及
。
因此极限(2.28)成立。
最后来证明在E中
强收敛于v。
引理2.8 [13] 存在常数
使得对
,
其中
为
中数量积。
因为
在E中有界以及
。
直接计算可得
其中
由以上引理可得
对于
由
以及在
中
,可推出
,于是在E中
。
3. 定理证明
引理3.1 [14] 令E无限维实Banach空间,
为偶的且满足(PS)条件,
。如果
,其中U为有限维空间,J满足
(
)
使得在
上有
(
) 对任一有限维子空间
,有
使得在
上有
,其中
那么,J产生无界的临界点序列。
定理1.1证明:显然泛函J在E中为偶且满足
和(PS)c条件。接下来论证在条件(
)~(
)下,有(
)和(
)成立。
, (3.1)
首先验证(
),由相应条件可得
和
, (3.2)
其中
在(2.4)中给定以及
又由
充分小可得
(3.3)
正序列
收敛。于是
使得
那么可得
(3.4)
其中
,则得到
。条件
得证。
其次验证(
)。对有限维子空间
,会
使得在
上有
。否则会存在序列
使得
和
成立。于是对某些
有
(3.5)
令
。假设在E中
。记
。假定
在
中显然有
,那么有
以及
(3.6)
产生矛盾,于是
以及在
中
几乎处处成立。由范数的等价性,在
中,
使得
(3.7)
于是得到
这是不可能的。最后由引理3.1可知存在无穷多个解
于是
为方程(1.1)的无穷多个解。定理1.1证毕。
致谢
作者对同行评阅人的意见和建议表示深深的感谢。