1. 引言
在著名的Hodge分解定理中,
算子可以进一步构建出外微分算子d、全纯微分算子
和反全纯微分算子
关于微分形式整体内积的伴随算子
、
、
及相应的椭圆型Laplace算子
、
、
。虽然
算子的构建想法来自于体积微元,但由于它的局部表达式含有一些稍繁杂的系数,特别是教材读本直接给出公理化定义,这给读者的认知和应用带来不少障碍。
在n维紧致定向
黎曼流形
上,r次外微分形式空间
上的
算子
使得
,而在复n维紧致复流形M上,双指标
型外微分形式空间
上定义的
算子
基于体积元
(这里
,
为M的一个Hermite度量)和局部内积
使得
或
(参阅 [1], pp. 82-83, [2], pp. 93-97)。
在经典的Morrow-Kodaira版本和Griffiths-Harris版本,
型形式
和
的局部表达式有所差异之下考虑如何给出合适的表达式的问题,本文结合 [1] 和 [2] 的定义方式,从自然余切标架
表示
形式
和
出发,用定理的方式揭示
算子满足3个美妙的结论:i)
;ii)
算子为实算子:
;iii)
。而考虑如何构造对系数因子如
、
、
等出现的根源问题,在推导过程中我们引进多重指标
、
、
、
、
、
、
、
给出Hermite度量矩阵
和
形式的分量指标升降。这是一个既有趣又要克服复杂符号变化的探索活动。在此基础上再给出
上
算子的局部表达式,我们就可以避免直接代数定义
算子带来的不友好以致惊恐于它系数的神秘色彩。
对照Griffths-Harris版本与当前的定义,可以照见它们分别基于
和
的微妙差异,我们认为前者更倾向于在代数角度来维系与实光滑r次微分形式空间
上
算子的一致性,后者更倾向于几何角度,遵循整体内积
和局部内积
的Hermite性质——复共轭的反对称性。进而基于
上的整体内积
给出d、
、
的伴随算子
、
、
,从它们与
算子及d、
、
的微妙关系中,我们也看到当前
算子的定义与Griffiths-Harris定义引发的进一步细微差异。最后我们拓展到三类Laplace算子
、
、
,它们一方面具有椭圆算子性质,另一方面在
之下与
算子可交换,而且当实
形式
为Kähler形式时,
。实际应用中,计算
从
算子的局部表达式出发,可以给出粗糙的Weitzenböck公式
( [1], pp. 97-98)。
2. 基本知识
2.1.
、
算子
设M为一个复n维紧致复流形,M上一点z处的余切空间
作复化分解为
(2.1)
其中,
为反全纯余切空间,
为全纯余切空间。在局部坐标系
下,
于是,n次外微分形式空间有如下分解
相应地,可记
(2.2)
其中,
(2.3)
一个形式
被称为
型外微分形式。
由于
,由(2.1)知
,故可定义两个算子
(2.4)
为
其中
和
分别为投影映射
这样,
。
在局部坐标
下,
的局部表达式写成
(2.5)
进而
(2.6)
(2.7)
特别地,一个
形式
若满足
,则
被称为全纯
形式,这意味着,局部坐标系下,由(2.5)、(2.6)知
其中
是全纯函数(即
),多重指标
。
2.2. Dolbeault上同调群
由于
,
,所以由(2.6)知
简记
;
简记
。
注意到
,而
,所以
。
由
,
,所以有
于是可定义商群为
前者称为Dolbeault上同调群。
2.3. 厄米特(Hermite)度量h与正的(1,1)形式
在维数为n的复流形M上的一个Hermite度量是指在任意
的全纯切空间
上给定的一个正的Hermite内积
是光滑函数,且
(2.8)
针对
的基底
,M的Hermite内积
由对应的Hermite度量
可表示为
满足1)
;
2)
,“=”成立当且仅当
(2.9)
Hermite度量
的一个余标架是一个
型形式的n元串
使得
(2.10)
这里
,
。
这意味着由全纯切空间
上的内积诱导全纯余切空间
上的Hermite内积之下,
是
的一个单位正交基底。显然余标架场
总是局部存在的;在全纯坐标系
下,对
,取
的全纯自然基底
,应用Gram-Schmidt正交化过程就可以构造一个余标架场。
下面讨论Hermite度量
的实部和虚部,诱导出实微分流形
上的两个特殊度量—黎曼度量和近Kähler形式度量。
由于有自然的实线性同构
,所以M上的Hermite度量
的实部
(2.11)
是M上的一个黎曼度量,称为Hermite度量
的诱导黎曼度量。同时也看出
的虚部
是交错的,它表示一个二次实微分形式,取
,称为Hermite度量的伴随
型形式。为给出
和
的显表达式,设
为
的一个标架,
,
,
,
为实微分形式,即
则
(2.12)
从而诱导黎曼度量和伴随
形式
可显式表示为
(2.13)
(2.14)
注意到
即
(2.14)可以改写为
(2.15)
从(2.15)知,Hermite度量
可以从伴随(1,1)形式中直接还原出来,即
(2.16)
若对
,取全纯坐标系
,任意全纯切向量
,有
则微分形式
是一个正的
形式。若
的系数矩阵
是一个正定的Hermite矩阵,则微分形式
是正的。
3. 星算子的构造性定义及局部表达式子
3.1. 体积元和整体内积
设
表示M上
型外形式的层,下面对
引入Hermite内积
,使得
成为一个内积空间。
前面在紧复流形M上引进Hermite度量
,伴随这个度量,就有近Kähler形式
和体积元
这里
,
。
记
的逆矩阵
为
,即
,则
切向量
的长度
,而
的局部内积
对于
,
的局部表达式为
(3.3)
(3.4)
则
和
的局部内积定义为
(3.5)
和整体内积定义为
(3.6)
满足:
1)
;
2)
,
;
3)
,
当且仅当
。
按照通常范数的表示,
的定义为
。
3.2. 多重指标记符的引进
为了简化(3.3)至(3.5)的符号,有必要引进如下一些多重指标等记符:
为
的一个置换。类似的,
,
,
,
,
,
。
(3.7)
这样,
可以简记为
(3.10)
(3.11)
(3.12)
其中,
(3.13)
再引进记号
(3.14)
则
,
的局部内积可表示为
. (3.15)
3.3. 星算子的构造与定义
为了便于从整体内积
的表达式(3.6)中构造互相伴随的算子,我们引进一种线性算子称为
算子。
定理3.1:存在一个线性算子
满足
i) 存在
(3.16)
ii)
,即
是一个实算子;
iii)
。
证明:1˚从(3.1)知
结合(3.8)和(3.9),将
换成
,
换成
,得
(3.17)
注意到
(3.17)可以改写为
(3.18)
结合(3.15),(3.18)变为
. (3.19)
2˚为了从(3.19)中分离出
,由(3.10)知应交换
和
,而
所以(3.19)可以改写为
. (3.20)
下面从(3.20)中的
引出(3.10)的
表达式。注意到
当且仅当
,
当且仅当
,
所以
代入(3.20)得
. (3.21)
对照所证的(3.16),只需定义
. (3.22)
结合(2.11)与(2.12)中的p与q的反转及(3.13)的因子
,
, (3.23)
或
. (3.23)'
3˚至于定理3.1(ii),由(3.23)得
(3.24)
由于
所以将(3.24)中的
换成
、
换成
,结合(3.22),得到
4˚为简化计算,我们逐点检验定理3.1(iii)。对
,可以假定通过坐标变化使得
。因在
的邻域内不一定成立
,只能假定在
处满足。于是
从而(3.23)中
其中
,
(3.25)
进而由
的分量
代入(3.25),得
故
(3.26)
为了得到定理3.1(iii)的结果,需要对(3.23)或(3.23)'的定义增添一个常数,才能抵消(3.26)中的
。为此定义
(3.27)
则
定义3.2:对于n维紧致复流形M上的
型
形式空间
,定义一个整体的
算子
使得
即
若
则由(3.27)的定义
(3.28)
根据定理3.1(iii),知
即
(3.29)
3.4. 星算子的性质和相关的伴随算子
命题3.3:
,有
(3.30)
证明:由于
根据(2.15)知
为实形式,
,
为Hermite内积,
所以
而由定理3.1(ii)知
故
有了
算子,就可以定义
、
和d的伴随算子。
定义3.4:对于
,分别定义3类线性算子如下:
,
,
命题3.5:设M为紧致的n维复流形,则有
1)
,
,
;
2)
,
,
;
3)
,
,
.
证明:根据整体内积与
算子的关系,结合分部积分来证明。
设
,则
,这时
,
。于是由Stokes公式,有
(3.31)
利用
,
,
,
(3.31)可写作
同理可证命题3.5(2)和(3)。
注记3.6:在应用
算子时,要特别注意两个版本的差异:
1) Griffiths and Harris的《代数几何原理》定义的
算子( [1], p. 82])为
,取
,则
, (3.32)
其中,
,
是下列置换的符号
即
这保持了紧致可定向光滑流形上
的
算子形式(参阅 [3], p. 346-348)。而这里定义3.2采用Morrow-Kodaira ( [2], p. 93)定义
,产生的过程主要兼顾Hermite内积的局部性质
,
,
。
2) 定义的差异引起的
,
的伴随算子
,
与
算子的表达差异。Griffiths和Harris版本的
算子恰好有
,
,而Morrow和Kodaira版本的
算子恰好有
,
。后者出现
与
,
与
对应,这个共轭的差异,虽不如前者在代数基础和谐,但在几何意义注重了与整体内积
满足
相对应。
基金项目
课题部分受到项目2017KJQD00,2019GXNSFAA245043,gxun-chxzs2019029的资助。