1. 引言
Weitzenböck公式在研究黎曼流形上曲率对调和形式的影响起了很大的作用,本文主要研究它在Bochner公式以及Gårding不等式证明上的应用。Gårding不等式说明了Dirichlet范数等价于
上的Sobolev 1-范数,它可以证明Hodge定理。本文首先证明了紧致光滑流形上的向量丛E值p形式的Weitzenböck公式、复流形上的
-Laplace算子的Weitzenböck恒等式,在实现了它们在Gårding不等式上的应用后,证明了整体理论的Hodge定理。
2. 相关知识
定义2.1 [1] (外微分算子)定义向量丛值微分形式上的外微分算子
如下:对任意
以及
,
(2.1)
注记:对普通外微分形式的外微分算子有
。但是,对向量丛值微分形式所定义的外微分算子,不具有这个性质。从(2.1)式,可以推出
(2.2)
定义2.2 [1] (余微分算子)定义向量丛值微分形式上的余微分算子
如下:对任意
以及
,
(2.3)
其中
是M上的局部幺正标架场。规定
,即
。
定义2.3 [1] Hodge-Laplace算子为
(2.4)
它将任何一个E值p形式映照成E值p形式。
3. Weitzenböck公式
3.1. 向量丛E值p形式的Weitzenböck公式
命题3.1 [1] (Weitzenböck公式)对任意一个向量丛值p形式
有
(3.1.1)
其中
表示Laplace算子的迹,即迹-Laplace算子,且对任意的
,
(3.1.2)
证明:在M上的任何一点q附近取局部幺正标架场
,并且
。那么,对
,
(3.1.3)
因为
,所以
(3.1.4)
由余微分算子的定义得
(3.1.5)
其中由
知,
(3.1.6)
由此
(3.1.7)
另一方面,
(3.1.8)
从而
(3.1.9)
即
□
3.2. 向量丛E值p形式的Weitzenböck公式的应用
由Weitzenböck公式可推导出调和映照的能量密度的Bochner公式 [1]。
对光滑映照
,取
,对
,
(3.2.1)
命题3.2:设
是调和映照,那么证明下式成立,
(3.2.2)
证明:取M上的任何一点q附近局部幺正标架场
,并且
,因为
因此
(3.2.3)
又由Weitzenböck公式可得,
(3.2.4)
考虑到f是调和映照,
,因此就可得到所证公式,即
□
3.3. Weitzenböck恒等式
命题3.3:复流形M上
-Laplace算子
的Weitzenböck恒等式为:
(3.3.1)
其中
,
(3.3.2)
其中
对指标
和
是反对称的,对
是Hermite度量
的局部幺正余标架。
精确的Weitzenböck公式与低阶项有关。对于一个一般的厄米特度量,
是在它的第一阶项中包含挠率的麻烦的算子。然而,当度量是Kähler度量时,它们消失了,并且
是一个代数算子,
其中
是Ricci曲率。
证明:令
是
的对偶向量标架场,记
。对于函数f,
,对于张量
,它的
-协变微分
的分量为
,为方便,使用“
”表示“模掉低价项”,则有
。
设
,下面只需证
(不求和)时,(3.3.1)式成立。
由于
的作用尤如向量丛指标,我们将假定
,根据式(3.3.1)的对称性,取
,有
则
(3.3.3)
(3.3.4)
(3.3.5)
(3.3.6)
对另一项
,同理得
(3.3.7)
(3.3.8)
(3.3.9)
(3.3.10)
注意到
,
,模掉
中的一阶项,便得
这就证明了Weitzenböck公式。 □
3.4. Gårding不等式的证明
已证得的Weitzenböck公式形如:
(3.4.1)
记
为体积形式,其中
,
,设
(3.4.2)
这表明
是整体定义的,并且因为它有
型,
,
,所以
,由Stokes定理有
又
所以,由Weitzenböck公式,
(3.4.3)
其中,
是张量
的
协变微分的
-范数,
是包括
的
微分的第一阶算子,利用不等式
,有
(3.4.4)
即
(3.4.5)
将上面的讨论重复到
通过Dirichlet范数,由
去估计z微分的
-范数
。那么,
(3.4.6)
这就是Gårding不等式。
注:在Kähler情形,可以利用精确的Weitzenböck公式和分部积分运算来证明Kodaira恒等式
(3.4.7)
其中,对
和重复指标求和,得
如果
是调和的,并且Hermite形式
是正定的,那么我们推到出
。由Hodge定理,
(3.4.8)
这是著名的Kodaira消没定理的特殊情形。
4. 正则性引理
引理4.1 [2] (正则性引理)假设
,并且对所有
,在
的意义上,
是方程
(4.1)
的弱解。那么
。
5. Hodge定理的证明:整体理论
在环面
上,Sobolev s-范数由加权Fourier级数或由
-范数
给出。设
,并且U相对于V是紧致的。U上具有紧致支集的函数可以看作
上的函数。假设
是V上处处线性无关的
矢量场,
是V上的正定函数。对
,Sobolev 0-范数和1-范数分别等价于
,
(5.1)
注意到交换子
是一个阶为1的算子,其中一个阶为s的算子最多包含s次微分。表达式
和模阶
的算子的顺序无关。所以
的Sobolev s-范数等价于
。
假设
是紧致流形M上的矢量丛。若
是E和M的切丛TM上的联络,
是E的局部标架,
是TM的局部标架,
是TM的余标架,则
的截面
的协变微分
定义为
我们得到
(5.2)
其中,
是包括联络矩阵阶为0的算子。
把这些讨论应用到
,定义
,则有
假设E和
有度量,并且
是正交标架。截面
的整体Sobolev s-范数定义为
(5.3)
其中,
用
表示在这个范数
的完备化。那么由单位分解,整体的Sobolev范数诱导了一个范数,这个范数与某点邻域中有紧致支集的截面上的通常Sobolev范数等价,我们可以得到:
引理5.1 [2] (整体Sobolev引理)
,它是M上可微类的截面,并且
(5.4)
引理5.2 [2] (整体Rellich引理)对于
,包含映射:
是一个紧致算子。
现在,设M是一个在切丛上有Hermite联络的紧致Hermite流形,
表示
在Sobolev s-范数
下的完备化,把Dirichlet内积和Dirichlet范数分别定义为
理论中的基本估计来自
Gårding不等式:对
,
(5.5)
我们注意到,不只是Laplace算子
,而是算子
被采用,这是因为
意味着
没有核,并且因此我们可以求它的逆。
Gårding不等式的一个用处就是证明定理4.1,例如,假设
是Laplace算子的特征函数,意思就是,对常数
,方程
(5.6)
在弱解的意义上成立,那么,由正则性引理,对所有的s有
,并且由整体Sobolev引理,我们得到,任意
的本征函数是光滑的。
我们注意到,任意的本征函数
,并且
在弱解上的意义是调和的。由正则性和Sobolev引理,任意这样的弱解调和形式在通常意义上是和
调和的。
下面我们将假定Gårding不等式和正则性引理成立,继续来完成Hodge定理的证明。
基本的Hilbert空间的工具是紧致自伴算子的谱定理,以及通过与一个固定向量取内积而表示有界线性函数的原理,形式如下:
引理5.3 [3] 给定
,存在一个唯一的
,使得对所有的
,有
(5.7)
从
到
的映射
是有界的,并且从而映射
是紧致和自伴的。
证明:从Gårding不等式得到,Dirichlet范数
等价于
上的Sobolev 1-范数
。利用
(5.8)
线性泛函
扩张到有Dirichlet范数的
上的有界线性形式。从而方程
(5.9)
有唯一解
,其特征为
因为I和
是自伴的,所以T是自伴的。从不等式
有
(5.10)
则我们可以推导出
(5.11)
也就是说,从
到
的映射T是有界的,并且由引理5.2 (整体Rillich引理),T是紧致的。 □
按照紧致自伴算子的谱定理 [4],有一个Hilbert空间分解
其中
是T的本特征值并且
是有限维特征空间。因为T是一对一的,所以所有的
,而且方程
与
是一样的,它意味着在弱的意义上,
(5.12)
因此,T和
的特征空间是一样的,并且是由
形式组成的有限维向量空间。
的特征值
和T的特征值
有下列关系
假设
其中当
时,
趋于
,
趋于0。调和空间
对应于
,对
,
并且如果我们把Green算子定义为
那么G是紧致自伴算子,并且有谱分解
,其中,
至此,我们已经证明了Hodge定理。本质的想法是由Hilbert空间技巧产生Green算子,再根据基本估计来证明它是紧致光滑算子。实际上,G是形式
(5.13)
的积分算子,其中
是
上的好核,沿着对角
有一定的奇异。Hilbert空间方法的缺点是没有在这种形式中给出Green算子。如果我们使用分布而不只是
-范数,那么,我们通过解
(5.14)
这种类型的分布方程来得到
,其中,
是在y处的
函数,
是阶为
的算子。
基金项目
课题部分受到项目2017KJQD00,2019GXNSFAA245043,gxun-chxzs2019029的资助。
参考文献