1. 引言与预备知识
在文献 [1] 中提出了弱网与拟网的概念,并且系统地讨论了弱网与拟网的收敛性。除此之外,类比拓扑空间中子网的概念,引入了弱子网与拟子网的概念,对弱网与拟网与其各类型子网之间的收敛关系进行了简单刻画。在文献 [3] - [10] 中,网在拓扑空间中的收敛已经取得了一些成果;文献 [11] [12] [13] [14] [15] 中讨论了子网收敛。那么有关弱网与其各类型子网之间是否有更多的联系?收敛关系能否进行更深层的刻画?本文将就这些问题进行探究。
定义1 [1] 一个传递序集
称为是一个弱定向集,如果
,
,使得
且
;具有自反性的弱定向集称为拟定向集,即拟序集
称为是一个拟定向集,如果
,
,使得
且
。
定义2 [1] 设X是一个非空集合,称映射
是X上的一个弱网(或者拟网),如果
是一个弱定向集(或者拟定向集)。记为
,其中:
(
)。
定义3 [1] 设
和
为拓扑空间X中任何类型的两个网,若存在映射
,使得
,有
,并且满足下列两个条件:
,若
,则
;
,使得
。
根据
的类型,称
为
的子网、拟子网或弱子网。
定理1 [1] (1) 具有自反性的传递序集是拟序集;(2) 具有反称性的拟序集是偏序集。
定理2 [2] 设X为一拓扑空间,
,则
当且仅当
,
;其中
是点x的邻域系,
为A的闭包。
在本文中,如果没有特别申明,所涉及的其它符号、概念、定理都来自于文献 [2]。
2. 拟网(弱网)与其子网
定义4设
是n个传递集,在笛卡尔积
上定义的关系“
”称为n-乘积序,如果对于
,
,
当且仅当
,有
。这时称有序偶
是
的乘积,并且每个都称为是
其的乘积因子(简称因子)。其中:n是不小于2的自然数或者是正无穷大
。
根据上述定义,有如下定理:
定理3有限个或者可数个弱定向集(拟定向集,定向集)的乘积也是弱定向(拟定向,定向)的。
证明 仅对n是不小于2的自然数进行证明。当
时,证明方法完全类似。
(1) 设每个
是弱定向集
。因为对于
,
,
,如果
并且
,由定义4,
并且
,再由弱定向的传递性,有
。因此,
。从而,
是弱定向的。
(2) 要证明n个拟定向集的乘积是拟定向集,由定理1,只需证明:乘积序
是自反的。事实上,
,因为每个
是拟定向的,即每个
自反,因此
,所以
。乘积序
具有自反性。
同上面(2)的情形一样,要证明n个定向集的乘积也是定向集,只需证明:乘积序
具有反称性。事实上,不难证明:乘积对反称性是保持的。因此,结论不证自明。
现在,引入弱网与拟网接触点以及收敛的概念:
定义5 设
是拓扑空间X中的一个拟网(或者弱网),
,称
终在U内,如果
,使得
时恒有
;若
终在
的每一个领域内,则称
收敛于
。
定义6 设
是空间X中的一个拟网(或者弱网),
并且
。称
是常在U中的,如果
使得
,并且
;若
常在
的每一个领域内,则称
是
的一个接触点。
由此,我们得到了弱网(或者拟网)与其各类型子网之间的收敛关系的如下一些结果:
定理4 设
是空间X中的一个拟网,
,它使得
常在
的每个元内并且还使得
内任意两个元之交包含
的一个元,则
有一个拟子网(或者弱子网)终在
的每个元内。
证明 因为拟子网是弱子网,存在拟子网即存在弱子网,所以仅以拟子网为例进行证明。
因为
内任意两个元之交包含
的一个元,所以
关于
为拟定向集,令
,由定理1可知,E关于
的乘积序为拟定向集。定义映射
,其中
,即
。那么
是
的一个拟子网并且终在
的每个元内。事实上,
,
,由于
常在A中,所以存在
使得
,并且
。所以
且
,所以
是
的一个拟子网。又因为
,当
时,有
,所以
终在
的每个元内。
用完全相同的方法,可得如下推论:
推论1 设
是空间X中的一个弱网,
,它使得
常在
的每个元内并且还使得
内任意两个元之交包含
的一个元,则
有一个弱子网终在
的每个元内。
定理5 设
是空间X中的一个拟网,
,则
为
的接触点当且仅当存在
的拟子网(或者弱子网)收敛于
。
证明 因为拟子网是弱子网,存在拟子网即存在弱子网,所以仅以拟子网为例进行证明。
必要性。设
为
的接触点,,则的任意两个元相交为的一个元并且网
常在
的每一个领域内,由定理4可知
有一个拟子网终在的每个元内,则该拟子网收敛于
。
充分性。设
有拟子网
收敛于
,则
,
,当
时,有
。对于
,由
可知
,使得
,再由定向性,
,使得
且
,则存在
,并且
。所以
是
的一个接触点。
同理可得如下推论:
推论2 设
是空间X中的一个弱网,
,则
为
的接触点当且仅当存在
的弱子网收敛于
。
定理6 设
是空间X中的一个弱网(或者拟网)。
,令
,则
为
的接触点当且仅当
,
。
证明 仅以弱网为例进行证明,拟网情形同理可证。
必要性。设
为
的接触点,则
,
,
使得
,并且
;由
的定义,
,由定理2可知,
。
充分性。反证。若
不是
的接触点,则存在
使得
不常在U内,那么
,
,当
时,有
;由
的定义,
,即
,则
;这与
矛盾,所以
为
的接触点。
定理7 设X为拓扑空间,X为紧空间当且仅当X中的任意拟网都有收敛的拟子网(或者弱子网)。
证明 必要性。设
是空间X中的一个拟网。
,令
,则
是X上具有有限交性质的非空闭集族。
事实上,对于S中的任意有限子集
。由S的定向性,
,使得
。因此
,所以
具有有限交性质。由X的紧性,
,取
,即
,
;由定理6可知,
为
的接触点;再由定理5可知,
的拟子网(或者弱子网)收敛于
。
充分性。设
是X的具有有限交性质的一个闭集族。为证
有非空交,我们构造X上的一个网如下:令
,则
是一个拟定向集。
,由于
的有限交性质,则
。取
,则
为X中的一个拟网。那么
有收敛的拟子网,假设收敛于
,则
为
的接触点。现证
。
事实上,
,有
。由接触点的定义,
,
,使得
,有
。因为
,故
。则
。因此
,所以
有非空交,X为紧空间。
3. 严格拟网与严格弱网
定义7 称不满足反称性的拟定向集为严格拟定向集;称不满足自反性的弱定向集为严格弱定向集。
定义8 称
是一个严格拟网,若
是严格拟定向集;称
是一个严格弱网,若
是严格弱定向集。
根据上述定义,我们得到了如下一系列结果:
定理8 拓扑空间中任一网都存在一个严格拟子网。
证明 设
是一个网,构造集合
,在
中定义偏序关系“
”:
,定义
当且仅当
,则
为一个严格拟定向集,
为严格拟网。
设
,其中
;
,若
,则
,故
真。又因为
,
,使得
,故
真。所以
为
的拟子网。
定理9 严格拟网不存在子网。
证明 反证。设
为一严格拟网,
为
的一个子网;则
,
使得
,
;由反称性,当
,
,有
,此时有
,
,
;这与
是严格拟网矛盾,所以严格拟网不存在子网。
定理10 严格弱网不存在子网和拟子网。
证明 因为子网就是拟子网,不存在拟子网即不存在子网,所以仅以拟子网为例进行证明。
反证。设
为一严格弱网,
为
的一个拟子网;则
,使得
;由
可知,当
时,有
;这与
是严格弱网矛盾,所以严格弱网不存在拟子网。
4. 结束语
在引入了弱子网与拟子网的基础上,继续对弱网与拟网的收敛性进行研究,得到了几个有关子网收敛的等价条件。在此基础上赋予拟网与弱网更为严格的定义,引出严格拟网与严格弱网的概念,并得到了严格型网与其子网的几个存在刻画。
基金项目
国家自然科学青年基金(11501391)。