1. 引言
本文研究非线性四阶常微分方程边值问题
(1)
其中r是一个正参数,非线性项
为连续函数。该方程的实际应用背景是平衡状态下的弹性梁,其一端固定而另一端自由。对于该类问题的可解性,许多学者用不同的方法研究过 [1] - [7]。比如,文献 [1] [3] [4] 运用锥上的不动点定理研究了其正解的存在。文献 [2] 通过单调迭代方法获得了其单调正解的存在性。然而,文献 [1] - [7] 虽然都得到了问题(1)解或正解的存在性,但由于所使用的工具的局限性,均无法得到问题(1)正解的全局结构。
2005年,Ma [8] 率先研究了四阶两点边值问题
(2)
其中非线性项f满足:
(C1)
为连续函数,且存在常数
满足
,使得
,当
时
对
一致成立,及
,当
时
对
一致成立,这里
。
(C2)
对
,
。
(C3) 存在常数
满足
,使得
.
设
是广义线性特征值问题
的正特征值。
在满足以上假设的条件下,文献 [8] 得到如下结果:
定理A 假设条件(C1)~(C3)成立。若下列条件之一成立:
i)
;
ii)
,
则问题(2)至少存在一个正解。
值得注意的是,文献 [8] 不仅得到了问题(2)正解的存在性,而且运用全局分歧理论得到了问题(2)正解的全局结构。现在自然要问,对于问题(1),是否也可以通过运用分歧理论,在非线性项f满足一定的条件下,得到问题(1)正解的全局结构呢?受文献 [8] 启发,本文通过运用全局分歧理论,获得了问题(1)正解的全局结构。
本文总假定:
(H1)
为连续函数,且存在常数
满足
,
,使得
,当
时
对
一致成立,及
,当
时
对
一致成立,这里
。
(H2)
对
,
。
(H3) 存在常数
满足
使得
,
。
2. 预备知识
设
为实值连续函数构成的空间,其在范数
下构成Banach空间。
令
,其在范数
下构成Banach空间。
设
是一个Banach空间,
是E中的一个锥。
是一个非线性算子。如果
,则称非线性算子A是正的。若A是连续的且A将
中的有界集映为E中的准紧子集,则称非线性算子A是K-全连续的。设
是一个正线性算子,如果
对
成立,则称V是关于A的线性弱函数。
设B是E上的线性连续算子,令
为B的谱半径,定义集合
存在
且
,使得
。
引理1 [9] 假设
i) K有非空的内部,且
,
ii)
是K-全连续的正算子,对
,
且
,
其中
是线性强正紧算子且
,
满足当
时,
对
局部一致成立,则集合
存在一个无界连通分支
且
。更进一步,如果V是A的一个线性弱函数,且存在
,使得
且
,则
.
引理2 [9] (Krein-Rutman定理)设E是一个Bannach空间,
是一个锥满足
。设
是一个紧的正算子,并且
,则
是T的具有正特征函数的正特征值。
引理3 若
,则线性边值问题
存在唯一解
,
其中
而
,
其中
为了研究问题(2),需要考虑线性特征值问题
(3)
其中
均为常数且满足
。
定义1 [9] 如果
使得问题(3)有非平凡解,则称
是问题(3)的广义特征值。
接下来,定义锥
,
则P是正规的且有非空内部,
。
对于线性特征值问题
(4)
定义算子
为
.
下证
且
是全连续的。
引理 4
。
证明 根据锥P的定义
意味着
,由边界条件
知,此时
,故对任意的
,
.
因此
,即
。
引理5
是全连续的。
证明 对任意的
,若存在一列
于P,有
这表明当
时,有
,由Heine定理,T连续且在P中一致有界。
对任意的
,存在
,使得
及
时,有
因此T等度连续。由Arzela-Ascoli定理,T全连续。
由引理4,T是强正算子,故T一定是正算子,又由引理5,T是紧算子。结合引理2,T存在一个正特征值
,且
具有正特征函数
。同理证得广义特征值问题
(5)
存在一个正特征值
,且
具有正特征函数
。
3. 主要结果
定理1 假设(H1)~(H3)成立。若下列条件之一成立:
i)
;
ii)
,
则问题(1)至少存在一个正解。
定义算子
为
其中
。结合引理5知,算子
是紧的。
令
使得
显然,由(H1)知
,对
一致成立,
,对
一致成立。
令
,
则
非减且
。
考虑分歧问题
(6)
从平凡解
处产生的分歧。由引理3,问题(6)等价于
.
定义
为
.
由引理4,B是X上的强正算子,又根据引理5,
全连续。故由文献 [10] (定理3.2)知,
.
定义
为
.
则对任意有界的
,
则
,
即
关于
局部一致。
结合条件(H2),引理1和引理4,若
且
是(6)的一个非平凡解,则
且存在集合
的一个无界连通分支
使得
。
定理1的证明 显然,问题(6)的任意一个形如
的解均是问题(1)的解u。将证明在
中,连通分支
穿过超平面
。为此只需证
连接
到
。令
满足
.
注意到,对于任意的
,
。 因为当
时,问题(6)仅有平凡解,且
。
情形1
。
在这种情况下,证明
.
第一步。证明若存在一个常数
使得
, (7)
则
连接
到
。
由式(7)知,
。下面考虑问题
,
令
,因为在X中是有界的,所以对于
,存在
(这里仍用
代表它的收敛子列)且
。进一步,由于
是非减的,于是
,
注意到
,
因此
,
这里
(这里仍用
代表它的收敛子列)。因此
,
而
,因此
连接
和
。
第二步。将证明确实存在一个常数M,使得对于任意的
有
。由引理1,仅需要证明A有一个线性弱函数V且存在
,使得
且
。
由(H3),存在常数
满足
,使得
对于
。令
.
则V是A的一个线性弱函数。进一步,存在
使得
且
。事实上,
因此,由引理1,
.
情形2
。
在这种情况下,若存在
使得
,
且
,
则
,
且
.
假设存在
,使得对任意
,有
.
类似于情形1的第一步的证明过程,有
因此
连接
和
。