1. 引言
超几何(超比)方程或Gauss方程,它是具有
三个正则奇点的Fuchs型原型方程,其解超比函数或Gauss函数,是一类重要的特殊函数 [1]。我们知道:凡是具有三个正则奇点的Fuchs型方程的解都可以用超比函数表达 [1]。且在数学物理中,富克斯方程(Fuchs Equation)有很广的应用背景,所以研究超几何方程问题很是重要。
自2013年起,研究了在
处的欧拉超几何微分方程的第一、二类边值问题 [2]、在无穷大处的欧拉超几何微分方程的第一、二类边值问题 [3]、在
处的欧拉超几何微分方程的第三类边值问题 [4] 和超几何方程的一类非齐次边值问题 [5] 等,得到了这些边值问题解的相似结构。
本文研究以下复合超几何微分方程的边值问题:
(1)
其中
均为实数,
不是正整数,
。
2. 预备知识
超几何方程
(2)
在奇点
处的通解 [1] 为
(3)
其中
是方程(2)的两个线性无关的解,
是任意常数。
根据超几何函数的微分性质 [1]
(4)
可以求出
(5)
为了求解复合超几何微分方程的边值问题,我们构造引解函数
(6)
且
(7)
(8)
(9)
根据以上引解函数的定义,有
(10)
3. 主要定理
定理若复合超几何微分方程的边值问题(1)在奇点
处有唯一解,那么其左区(
)解有如下相似结构:
(11)
右区(
)解为:
(12)
其中
是右相似核函数,且
(13)
是左相似核函数,且
(14)
是引解函数。
证明:由预备知识可知超几何方程的通解为(3)式,且其导数为(5)式。则根据左边值条件
有
(15)
由衔接条件
有
(16)
(17)
由右边值条件
有
(18)
联立方程(15)、(16)、(17)、(18),利用(6)~(10)式化简可得
(19)
(20)
(21)
(22)
(23)
再根据Cramer法则:
,即可证明复合超几何微分方程的边值
问题(1)的左和右区解分别为(11)和(12)式。
4. 相似构造法
根据以上求解复合超几何微分方程边值问题的过程,归纳出求解边值问题(1)的相似构造法的步骤 [6] 如下:
第一步由超几何方程的任意一组线性无关的解,构造出引解函数
,如(6)~(9)式;
第二步将
及右边值条件
的系数组合,生成右相似核函数,即(13)式;
第三步将
及
处的衔接条件
的系数组合,生成左相似核函数,即(14)式;
第四步由左边值条件
的系数和
组装可得左区(
)和右区(
)解,即(11)和(12)式。
5. 举例
根据相似构造法的步骤,求解下列边值问题(
,
):
(24)
第一步由方程
的两个线性无关的解,作引解函数
由方程
的两个线性无关的解,作引解函数
第二步由
及右边值条件
的系数,生成右相似核函数:
(25)
第三步由
及交界点的衔接条件
的系数,生成
左相似核函数:
(26)
第四步由左边值条件
的系数和
组装可得左区(
)解:
(27)
和右区(
)解:
(28)
致谢
感谢审稿人的审阅及对文章的意见和建议。
基金项目
本项研究由西华大学人才引进项目(编号:Z201076)资助。